1、2001年高考全國卷理科數學真題及答案 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至9頁。共150分。考試時間120分鐘。第I卷（選擇題 60分）注意事項：1 答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3考試結束，監考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數的積化和差公式正棱臺、圓臺的側面積公式其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長臺體的體積公式其中、分別表示上、下底面積，表示高一、 選擇題

2、：本大題共12小題；第每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1） 若，則在（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第一、四象限 （D）第二、四象限（2）過點且圓心在直線上的圓的方程是（A） （B）（C） （D）（3）設是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（A）1 （B）2 （C）4 （D）6（4）若定義在區間內的函數滿足，則的取值范圍是（A）（0，） （B）（0， （C）（，+） （D）（0，+）(5)極坐標方程的圖形是（A） （B） （C） （D）（6）函數的反函數是（A） （B）（C） （D）（7）若橢圓經過原點，且焦

3、點為，則其離心率為（A） （B） （C） （D）（8）若，則（A） （B） （C） （D）（9）在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（A）60 （B）90 （C）105 （D）75（10）設都是單調函數，有如下四個命題：若單調遞增，單調遞增，則單調遞增；若單調遞增，單調遞減，則單調遞增；若單調遞減，單調遞增，則單調遞減；若單調遞減，單調遞減，則單調遞減；其中，正確的命題是（A） （B） （C） （D）（11）一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為.若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（A）（B）（C）（D）（12）如圖，小圓圈表示網絡的結點，

4、結點之間的連線表示它們有網線相聯。連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量。現從結點向結點傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞。則單位時間內傳遞的最大信息量為 （A）26 （B）24（C）20 （D）19第II卷（非選擇題 90分）注意事項：1 第II卷共7頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。2 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。二填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。（13）若一個橢圓的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個橢圓的側面積是 （14）雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上.若，則點到x軸的距離為 .（15）設是公比為的等比數列，是它的前

5、n項和.若是等差數列，則 .（16）圓周上有2n個等分點（），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為 .三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分) 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，面，.()求四棱錐的體積；()求面與面所成的二面角的正切值.(18) (本小題滿分12分)已知復數.()求及；()當復數滿足，求的最大值.（19）(本小題滿分12分)設拋物線的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于兩點. 點在拋物線的準線上，且x軸. 證明直線經過原點.（20）(本小題滿分12分)已知是正整數，且.()證明 ；()證明 .(21) (本小題

6、滿分12分)從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少. 本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加. ()設n年內（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業總收入為萬元. 寫出的表達式；()至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入?(22) (本小題滿分14分)設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，對任意，都有，且.()求及;()證明是周期函數；()記，求.參考解答及評分標準說明：一. 本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或

7、幾種解法供參考，如果考生物解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則二. 對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定部分的給分，但不得超過該部分正確解答得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分三. 解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數四. 只給整數分數選擇題和填空題不給中間分一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算每小題5分，滿分60分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空題：本題考

8、查基本知識和基本運算每小題4分，滿分16分（13）2 （14） （15）1 （16）2n (n1) 三.解答題：（17）本小題考查線面關系和棱錐體積計算，以及空間想象能力和邏輯推理能力滿分12分解：（）直角梯形ABCD的面積是M底面， 2分 四棱錐SABCD的體積是 M底面 4分（）延長BA、CD相交于點E，連結SE則SE是所求二面角的棱 6分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交線，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 10分 ，BC =1，BCSB，

9、 tanBSC 即所求二面角的正切值為 12分（18）本小題考查復數基本性質和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力滿分12分解：（）z1 = i (1i) 3 = 22i， 將z1化為三角形式，得， ， 6分 （）設z = cos i sin ，則zz1 = ( cos 2)(sin 2) i，()， 9分當sin() = 1時，取得最大值從而得到的最大值為 12分（19）本小題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力滿分12分證明一：因為拋物線y2 =2px (p0)的焦點為F (，0)，所以經過點F的直線的方程可設為； 4分代入拋物線方程得y2 2pmyp2 =

10、0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2 = p2 8分因為BCx軸，且點c在準線x = 上，所以點c的坐標為（，y2），故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經過原點O 12分證明二：如圖，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作ADl，D是垂足則ADFEBC 2分連結AC，與EF相交于點N，則， 6分根據拋物線的幾何性質， 8分 ，即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經過原點O 12分（20）本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力滿分12分（）證明： 對于1im有 = m(mi1)， 同

11、理 ， 4分 由于 mn，對整數k = 1，2，i1，有，所以 ，即 6分（）證明由二項式定理有， ， 8分由 ()知(1imn，而 ， 10分所以， (1imn因此，又 ， 即 (1m)n(1n)m 12分（21）本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力滿分12分解：（）第1年投入為800萬元，第2年投入為800（1）萬元，第n年投入為800（1）n1萬元所以，n年內的總投入為an = 800800（1）800（1）n1 = 40001()n； 3分第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400（1）萬元，第n年旅游業收入為40

12、0（1）n1萬元所以，n年內的旅游業總收入為bn = 400400（1）400（1）n1 = 1600 ()n1 6分（）設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此bnan0，即 1600（）n 140001（）n0化簡得 5（）n2（）n 70， 9分設（）n，代入上式得5x27x20，解此不等式，得，x1(舍去)即 （）n，由此得 n5答：至少經過5年旅游業的總收入才能超過總投入 12分（22）本小題主要考查函數的概念、圖像，函數的奇偶性和周期性以及數列極限等基礎知識；考查運算能力和邏輯思維能力滿分14分（）解：因為對x1，x20，都有f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以 f () f ()0，x0，1 f () = f () f () = f ()2， f ()f () = f () f () = f ()2 3分， f ()，f () 6分（）證明：依題設y = f (x)關于直線x = 1對稱，故 f (x) = f (11x)，即f (x) = f (2x)，xR 8分又由f (x)是偶函數知f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f (2x) ，xR，將上式中x以x代換，