機器人技術基礎

第3章機器人力學

3.4拉格朗日法

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10323.4.1一般質點系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機械系統的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節目錄拉氏函數L=K-U自由度廣義坐標廣義力廣義速度一般質點系的拉格朗日方程以能量觀點來研究機械系統的真實運動規律；屬于分析力學范疇；區別于牛頓矢量力學；求解步驟規范、統一（確定廣義坐標，列出動能、勢能和廣義力的表達式，代入上式即可）。有關拉氏方程的推導步驟，可以選修研究生階段的機器人動力學43.4.1一般質點系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機械系統的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節目錄兩自由度機械系統的動力學分析若機械臂在垂直平面上，考慮重力若機械臂在垂直平面上，無重力X0Y0系統動能是各個連桿動能之和式中，第j個連桿的動能Kj可表示為

事實上，操作臂的動能可以寫成一般形式是操作臂慣性矩陣，

n╳n維，二次型，正定的，動能永遠為正（1）系統的動能兩自由度機械系統的動力學分析（2）系統的勢能系統勢能是各個連桿勢能之和

第j個連桿的勢能Pj可表示為式中，

注意：需要為系統定義一個重力勢能參考平面，而不要為每個廣義坐標定義一個重力勢能參考平面。兩自由度機械系統的動力學分析例：平面2R機械手的動力學建模選取2個轉角為廣義坐標。將兩個桿均看作是位于在各桿末端的集中質量（即各桿的質心在其末端）。桿1質心的位置和速度：桿2質心的位置和速度：還有其它廣義坐標的選擇嗎？兩自由度機械系統的動力學分析例：平面2R機械手的動力學建模兩桿的動能項兩桿的勢能項兩自由度機械系統的動力學分析例：平面2R機械手的動力學建模

兩自由度機械系統的動力學分析113.4.1一般質點系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機械系統的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節目錄操作臂的拉格朗日動力學方程（LagrangianDynamics）122025/6/1關于機械系統動力學的拉格朗日函數其中：

基于拉格朗日函數的動力學方程其中：τ

d為僅考慮慣量和重力的關節驅動力矢量132025/6/1機器人系統動能其中：

構件i

質心線速度動能構件i

角速度動能操作臂的拉格朗日動力學方程142025/6/1對于構件i的線速度和角速度項，根據速度雅可比矩陣可知：其中：

代入構件動能方程，得：Mi(Θ)為構件i的廣義質量矩陣，是Θ的函數操作臂的拉格朗日動力學方程152025/6/1于是，機器人系統的總動能可表達為：其中：M(Θ)為系統在關節空間中的廣義質量矩陣，n×n維，是Θ的函數我們知道，質點的動能表達式為：可見，機器人等多剛體機械系統的動能表達式，在形式上與質點的動能表達式類似操作臂的拉格朗日動力學方程162025/6/1機器人系統勢能

構件i重力勢能的構造定義一個零勢能參考坐標系{ref}勢能增量是重力做功的負值：其中：0gT=[0,0,-g]T為重力矢量

操作臂的拉格朗日動力學方程172025/6/1機器人系統勢能

由于：于是，得：使參考面勢能為零的項urefi其中：

操作臂的拉格朗日動力學方程182025/6/1完整的機器人拉格朗日動力學方程系統動能：系統勢能：

操作臂的拉格朗日動力學方程192025/6/1例：右圖所示兩自由度及機器人，關節1為旋轉關節，關節2為移動關節，l連桿1質心與關節1軸線距離為l1，連桿2質心與關節1軸線的距離為變量d2。兩連桿各自的慣性張量為：連桿1動能：連桿2動能：系統總動能：X0Y0X1Y1操作臂的拉格朗日動力學方程X0Y0X1Y1202025/6/1連桿1勢能：勢能參考點在θ1=－90°位置連桿2勢能：勢能參考點在θ1=－90°、d2=d2max（最大值）位置系統總勢能：根據拉格朗日方程：得：操作臂的拉格朗日動力學方程212025/6/1系統總勢能：根據拉格朗日方程：首先，對θ1項求偏微分：系統總動能：得到τ1的表達式：慣性力科氏力重力操作臂的拉格朗日動力學方程222025/6/1系統總勢能：根據拉格朗日方程：系統總動能：然后，對d2項求偏微分：得到τ2的表達式：慣性力向心力重力操作臂的拉格朗日動力學方程232025/6/1把系統動力學方程寫成矩陣形式：慣性力項M(Θ)n×n—廣義質量

向心力項C(Θ)n×n—向心系數重力項操作臂的拉格朗日動力學方程242025/6/1于是，可寫出機器人動力學方程通式：其中：慣性力項，反應了關節加速度對關節驅動力的影響M(Θ)稱為廣義質量矩陣，為n×n維矩陣，其各元素對于移動關節而言表示質量，對轉動關節是慣性矩/積其對角線元素稱為有效質量，表示各關節加速度對本關節驅動力的影響非對角線元素稱為耦合質量，表示各關節加速度之間的耦合影響科氏力項，反應了由于一對關節速度耦合對某關節驅動力的影響

向心力項，反應了角速度對關節驅動力的影響C(Θ)稱為向心系數，為n×n維矩陣重力項，反應了各構件重力關節驅動力的影響，為n×1維矩陣有時，為了簡潔，把第二、三兩項合并，表示為：操作臂的拉格朗日動力學方程252025/6/1上式為無末端接觸力的關節驅動力通式如果末端與環境有接觸力F0則，關節總驅動力為：則可根據靜力分析中的結論，計算末端接觸力引起的關節負載τ0計算末端負接觸力引起的關節負載τ0操作臂的拉格朗日動力學方程262025/6/1假設質量集中在桿末端點，質量矩陣為假設質量沿桿長均布，質量矩陣為3.在給定條件下，兩種假設下，比較質量矩陣M(1,1)的相對誤差：討論：集中質量假設vs均布質量假設操作臂的拉格朗日動力學方程牛頓-歐拉與拉格朗日方程的對比272025/6/1拉格朗日方程方便推導、利于理解可以直接得到封閉形式的動力學方程，利于進行動力學特性分析封閉形式方程的計算機求解運算量大僅能得出關節力/力矩，而沒有求出連桿間作用力，不能用于連桿受力分析、變形分析沒有給出各連桿速度、加速度的顯式解，不利于建立連桿上慣性傳感器與關節速度、加速度的關系牛頓-歐拉方程推導過程復雜、不利于理解