1、離散數(shù)學(xué)習(xí)題解第二部分代數(shù)系統(tǒng)習(xí)題四 第四章代數(shù)系統(tǒng)1設(shè)i為整數(shù)集合。判斷下面的二元關(guān)系是否是i上的二元運(yùn)算a）+=（x，y），z|x，y，zi且z=x+yb）=（x，y），z）|x，y，zi且z=xyc）=（x，y），z）|x，y，zi且z=xyd）/=（x，y），z）|x，y，zi且z=x/ye）r=（x，y），z）|x，y，zi且z=xyf）=（x，y），z）|x，y，zi且z= g）min = （x，y），z）|x，y，zi且z=max（x，y）h）min = （x，y），z）|x，y，zi且z=min（x，y）i）gcd = （x，y），z）|x，y，zi且z= gcd（x，y）j）

2、lcm=（x，y），z）|x，y，zi且z= lcm（x，y）解 a）是。由于兩個(gè)整數(shù)之和仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一，故知+：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。 b）是。由于兩個(gè)整數(shù)之差仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一，故知一：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。 c）是。由于兩個(gè)整數(shù)這積仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一，故知x：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。 d）不是：例如若x=5，y=6，則z=x/y=5/6i；當(dāng)y=0時(shí)z=x|y=x/0無定義。 e）不是。例如若x=2，y= -2，則z=xy=2 2=；若x=y=0，則z=xy=0，則z=； g）是。由于兩個(gè)整數(shù)中最大者仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一。故知max：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。

3、 h）是。由于兩個(gè)整數(shù)中最小者仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一。故知min：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。 i）是。由于兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一。故知gcd：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。 j）是。由于兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)仍為整數(shù)，且結(jié)果唯一。故知lcd：i2i是i上的一個(gè)二元運(yùn)算。注：兩個(gè)整數(shù)a和b的最大公約數(shù)gcd（a，b）定義為同時(shí)除盡a和b的正整數(shù)中最大的一個(gè)；兩個(gè)數(shù)a數(shù)b的最小公倍數(shù)lcm（a，b）定義為同時(shí)是a和b的正倍數(shù)中最小的一個(gè)。2設(shè)x=x | x=2n，nn問普通數(shù)的加法是否是x上的二元運(yùn)算？普通數(shù)的乘法呢？答 普通的加法運(yùn)算不是x是x上的二元運(yùn)算，因?yàn)榇嬖谥鴛1=2x，x

4、2=22x，使x1+x2=2+22=6x。普通的乘法運(yùn)算是x上的二元運(yùn)算，因?yàn)閷τ谌我獾膞1=x，x2=x，這里n1，n2n，都有x1x2=x（因?yàn)閚1+n2n）。3設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算，若有元素elx，使，有el*x=x，則稱el是關(guān)于*的左幺元。若有元素erx，使，有x * el=x，則稱er是關(guān)于*的右幺元。a) 試舉出公含有左幺的代數(shù)系統(tǒng)的例子。b) 試舉出僅含有左幺的代數(shù)系統(tǒng)的例子。c) 證明：在代數(shù)系統(tǒng)中，若關(guān)于*有左幺元和右幺元，則左幺元等于右幺元。解 ：a) 構(gòu)造代數(shù)系統(tǒng)如下：令x=a，b，c，d，*：xxx，其運(yùn)算表如下：*abcdadabcbabcdcabccd

5、abcd則此代數(shù)系統(tǒng)含有左幺元b，d，但不含右幺元。b) 構(gòu)造代數(shù)系統(tǒng)如下：令x=1，2，3，4 *： xxx，其運(yùn)算表如下：*123411243221343341244423則此代數(shù)系統(tǒng)含有右幺元1，但不含左幺元。c) 證 因?yàn)榇鷶?shù)系統(tǒng)關(guān)于*運(yùn)算存在著左、右幺元，ei，erx 則el = el * er = er4設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算。若有元素olx，使xx，有ol*x=ol是關(guān)于*的左零元。若有元素orx，使xx，有x*or=or，則稱or是關(guān)于*的右零元。a) 試舉出公含有左零元的代數(shù)系統(tǒng)的例子。b) 試舉出僅含有左零元的代數(shù)系統(tǒng)的例子。c) 證明：在代數(shù)系統(tǒng)中，若關(guān)于*有左

6、零元和右右零元，則左零元等于右零元。解 a) 構(gòu)造代數(shù)系統(tǒng)如下：令x=a，b，c，*：xxx，其運(yùn)算表如下：*abcaaaabbbbcbca則a和b都是左零元，但沒有右零元。b) 構(gòu)造代數(shù)系統(tǒng)如下：令x=1，2，3，*：xxx，其運(yùn)算表如下：*123123323133123則3是右零元，但沒有左零元。c) 證 因?yàn)榇鷶?shù)系統(tǒng)關(guān)于*運(yùn)算存在著左、右零元，ol，orx，則ol=ol*or=or5當(dāng)給出一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的二元運(yùn)算表時(shí)，如何從表上判斷這個(gè)二元運(yùn)算是否滿足結(jié)合律，是否滿足交換律，是否有幺元，是否有零元，每個(gè)元素是否有逆元。答 在一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中，1） 運(yùn)算*滿足結(jié)合律，當(dāng)且僅當(dāng)在運(yùn)算表中，對任何

7、x，yx，x行每個(gè)元素與y的*積對應(yīng)的等于x與y列每個(gè)元素的*積。2） 運(yùn)算*滿足交換律，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表關(guān)于主對角線是對稱的。3） 運(yùn)算*有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)存在一元素，它所對應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。4） 運(yùn)算*有零元，當(dāng)且僅存在一元素，它所對應(yīng)的行和列中每個(gè)元素都是蛇自己。5） 若運(yùn)算*有幺元，x中每個(gè)元素x有逆元，當(dāng)且僅當(dāng)存在一元素yy，使得x所在行，y所在列的想元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。6設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算，e是關(guān)于*的幺元。對于x中的元素x，若存在yx，使得y*x=e，則稱y是x的左逆元。若存在zx，使得x*z=e，則稱z是x的右逆元。指出下表中

8、各元素的左、右逆元的情況。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace解 a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互為逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b；b有兩個(gè)左逆元c和d；e的右逆元是c，但e沒有左逆元；c有兩個(gè)左逆元b和e有兩個(gè)右逆元b，d。7設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算。x，yx，有x*y=x。問*是否滿足結(jié)合律，是否滿足交換律，是否有幺元，是否有零元，每個(gè)元素是否有逆元。解 a) *運(yùn)算滿足結(jié)合律因?yàn)閷θ魏蝬，y，zx，都有x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*zb) *運(yùn)算不滿足交換律因?yàn)閷τ诙€(gè)元素x，yx，有x*y=x，而y*x=y

9、。所以當(dāng)x包含多于一個(gè)元素時(shí)，能使xy，從而x*yy * x。c) 沒有幺元因?yàn)槿粲戌墼猠x存在，則對任何xx，應(yīng)有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，當(dāng)x中包含多于一個(gè)元素時(shí)，就會有x e，矛盾。d) 沒有零元，仿c) 保證。e) 對于每個(gè)元素都沒有逆元。因?yàn)闆]有幺元存在。并且若存在一個(gè)元素ax，使得對每個(gè)元素xx，都有一個(gè)元素yx，使y * x=x * y=a，則有y=x=a，當(dāng)x中包含多一個(gè)元素時(shí)，這將不總是成立的（只在x=a，且a具有冪等性時(shí)才成立）8設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是n上的二元運(yùn)算，x，yn，x * y=lcm（x，y）。問*是否滿足結(jié)合律，是否

10、滿足交換律，是否有幺元，是否有零元，每個(gè)元素是否有逆元。解 a) *運(yùn)算滿足結(jié)合律因?yàn)椋瑢τ谌魏蝬，y，zn，（x*y）* z =lcm (（x * y），z) = lcm (lcm（x，y），z) = lcm (（x，y，z） = lcm (（x，（y * z） = lcm (（x * y），z) = x * (y * z)注：關(guān)于lcm（lcm（x，y），z）= lcm（x，y，z）我們可證明如下：設(shè)c1=lcm（x，y，z），d= lcm（x，y），從而c1=lcm（d，z）， c2= lcm（x，y，z），因此只需證c1=c2即可，為此由于c2= lcm（x，y，z），故此x | c2

11、，y |c2，z | c2，因此由d= lcm（x，y）及x | c2，y |c2，從d2的最小性有dc2于是d |c2（否則c2=kd+r，0rd，由于x |d，y | d及x | c2，y | c2，故有x | r，y | r，這與d=lcm（x，y）的最小性矛盾）。即d|c2且z|c2故此由c1=lcm（d，z）的最小性，可知c1c2。另一方面，由c1= lcm（d，z）知d |c1，z|c1，又由d=lcm（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|c1，y|c1，并且z | c1。因而c2=lcm（x，y，z）的最小性可 知c2c1。所以，c1=c2。同理可證lcm（x，

12、lcm（y，z）=lcm（x，y，z）。b) *運(yùn)算滿足交換律因?yàn)?對于任何x，yn，x * y=lcm（x，y） = lcm（y，x） =y * x（c）*運(yùn)算有幺元1n。因?yàn)椋瑢τ谌魏蝬n， x * 1=lcm（x，1） =x =lcm（1，x） =1 * x（d）*運(yùn)算沒有零元。因?yàn)? n。（e）對于每個(gè)元素xx，若x1，則對每個(gè)元素yn，都有x*y=y*x=lcm（x，y）x1，故此沒有逆元素。9設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算。x是x中的任一元素，若有x*x=x，則稱x是冪等元。若*是可結(jié)合的，且x，y x，當(dāng)x*y=y*x時(shí)，有x=y。證明：x中每個(gè)元素都是冪等元。證 對于任何xx

13、，令xi=x*x，xj=x，于是xi*xj=（x*x）*x =x*（x*x）（結(jié)合律） =xj*xi從而由所給性質(zhì)，有xi=xj，即x*x=x。因此，由x的任意性，可知x中每個(gè)元素都是冪等元。10設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，和分別是x上的兩上二元運(yùn)算。若xx，有xy=x。證明關(guān)于是可分配的。證 對于任何x，y，zxx（yz）=xy=（xy）（yz）（yz）x=yx=（yx）（zx）因此代數(shù)系統(tǒng)中關(guān)于是可分配的。11設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，和分別是x上的兩上二元運(yùn)算。e1和e2分別是關(guān)于和的幺元，且對于滿足分配律，對于滿足分配律。證明：xx，有xx=x，xx=x證 x=xe2 （e2為的幺元）=x（e2e1） （e1為

14、幺元）=x e2（e1e2） （e2為幺元）=x （e2e1）（e2e2） （對的分配律）= x （e2（e2e2） （e1為幺元）= x（e2e2） （e2為幺元）=（xe2）（xe2） （對分配律）=xx （e2為幺元）x=xe1（e1為的幺元）=x（e1e2） （e2為幺元）=x e1（e1e2） （e2為幺元）=x （e1e1）（e1e2） （對的分配律）= x （e1e1）e1 （e2為幺元）= x（e1e1） （e1為幺元）=（xe1）（xe1） （對分配律）=xx （e1為幺元）12設(shè)x=a，b，c，d，和分別是x上的兩個(gè)二元運(yùn)算，其運(yùn)算表如下：算表如下：abcdaaaaabab

15、abcaaccdabcdabcdaabcdbbbddccdcdddddd取s1=b，d，s2a，d，s3=b，c，問，分別是的子代數(shù)系統(tǒng)嗎？為什么？因此是的子代數(shù)。因，在s2=b，d內(nèi)封閉。bdbbddddbdbbbdbd解 abaaababcaadab因此是的子代數(shù)。因，在s3=b，d內(nèi)封閉。bdbbddddbcbbacaccaadabbcbbdcdccaadab13設(shè)*是x上的二元運(yùn)算。若a，b，cx，有a*a = a且（a*b）*（c*d）=（a*c）*（b*d）證明：a*（b*c）=（a*b）*（a*c）證 對任何a，b，cx，a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（冪等性a*a=a）

16、 =(（a*b）*（a*c）=（a*b）*（c*d）=（a*c）*（b*d）利用)14設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，*是x上的二元運(yùn)算，r是x上的等價(jià)關(guān)系。若a，b，c，dx當(dāng)（a，b）r且（c，d）r時(shí)，有（a*c，b*d）r，則稱r是x上關(guān)于*的同余關(guān)系，稱r產(chǎn)生的等價(jià)類是關(guān)于*的同余類。考察代數(shù)系統(tǒng)，i是整數(shù)集合，十是整數(shù)加法。問以下的元關(guān)系是i上的關(guān)于十的同余關(guān)系嗎？a) r=（x，y）|x，yi且（x0且y0)或（x0且y0）b) （x，y）|x，yi且（x0且|xy|10c) （x，y）|x，yi且（x=0且y=0）或（x0且y0）d) （x，y）|x，yi且xy解 a) 這不是一個(gè)同余關(guān)系，因?yàn)?/p>

17、（-1，-2）r且（1，1）r，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）r。b) 這不是一個(gè)同余關(guān)系，因?yàn)樗皇且粋€(gè)等價(jià)關(guān)系。實(shí)際上它是自反的和對稱的，但不是傳遞的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =90，| 1-8 | = 710，故有（-8，1）r且（1，8）r。但| -8-8 | =1610，所以-8，8rc) 這不是一個(gè)同余關(guān)系，因?yàn)椋?1，-2）r且（1，1）r，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）rd) 這不是一個(gè)同余關(guān)系，因?yàn)樗皇且粋€(gè)等價(jià)關(guān)系。實(shí)際上它是自反的和傳遞的，但不是對稱的，例如取x=8，y=7，于是有87，從而（8，7）r，但78，故（7，8）r

18、。15設(shè)s=a，b，x=25，y=0，1，。證明：y是x的同態(tài)象。證 如下構(gòu)造的函數(shù)h是一個(gè)從x到y(tǒng)的同態(tài)：h：2s0，1h（）=0h（a）=0，h（b）=1，h（s）=1容易驗(yàn)證：h（ab）=h（a）h（b） h（ab）= h（a）h（b）（a，bs） h（a）=并且h顯然是滿射的，因此y是x同態(tài)象。16設(shè)r是實(shí)數(shù)集合，十和x是實(shí)數(shù)的加法和乘法。x=r，+，y=r，x，問y是否是x的同態(tài)象。答 y不是x的同態(tài)象。否則將存在著從x到y(tǒng)的滿同態(tài)函數(shù)h，從而對于0r，由h是滿射的，可知存在著r0r，使h（r0）=0，于是對任何rr，由于r-r0=r+（-r0）r，所以h（r）=h（r0+（r-r0

19、）=r| rr（err）（h(r)= r）=0r17設(shè)n是自然數(shù)集合，x是自然數(shù)乘法，x=n，x，y=0，1，x，證明：y是x的同態(tài)象。證 如下構(gòu)造的函數(shù)h是一個(gè)從x到y(tǒng)的同態(tài)h：n0，1于是 h（2m2n）=h（22mn）=0=00=h（2m）h（2n）h（2m（2n-1）=h（2m（2n-1）=0=01=h（2m）h（2n-1）h（2m-1）（2n-1）=h（2（mn-m-n+1）-1） =1=11=h（2m-1）h（2n-1）所以h滿足同態(tài)公式，另外h顯然是滿射，因而y是x的同態(tài)象。18設(shè)s=a，b，c，x= ，s，y=a，b，s，。問x和y是否同構(gòu)，為什么？答 x和y不同構(gòu)。因?yàn)閥=a

20、，b，s，不是代數(shù)系統(tǒng)，補(bǔ)運(yùn)算 關(guān)于a，b，s不封閉，這可見下表：a,bcs而如果存在著x和y的同構(gòu)，則從x是代數(shù)系統(tǒng)，知y也應(yīng)該是代數(shù)系統(tǒng)，矛盾。19設(shè)x，*和y，是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*和分別是x和y上的二元運(yùn)算，且滿足交換律，結(jié)合律。f1和f2都是從x，*到y(tǒng)，的同態(tài)函數(shù)。令h：xyh（x）=f1（x）f2（x） 證明：h是從x，*到y(tǒng)，的同態(tài)函數(shù)。證 對于任何a，bx，h（a*b）=f1（a*b）f2（a*b）（h的定義） =（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（f1和f2是同態(tài)函數(shù)） =（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（的結(jié)合律） =（f1（a）f2（a）（f1（b）f

21、2（b）（的結(jié)合律） =（f1（a）f2（a）（f1（b）f2（b）（的結(jié)合律） =h（a）h（b） （h的定義）20設(shè)x，f1，y，f2，z，f3是三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。f1，f2，f3分別是x，y，z上的二元運(yùn)算。證明：若h1是從x，f1到y(tǒng)，f2的同態(tài)函數(shù)，h2是從y，f2到z，f3的同態(tài)函數(shù)，則h2oh1是從x，f1到z，f3的同態(tài)函數(shù)。證 對于任何x，yx，（h2h1）（xf1y）= h2（h1（xf1y）= h2（h1（x）f2h1（y）（h1是x，f1到y(tǒng)，f2的同態(tài)）= h2（h1（x）f3h2（h1（y）（h2是x，f2到y(tǒng)，f3的同態(tài)）=（h2h1）（x）f3（h2 h1）（y）所

22、以h2h1是從x，f1到z，f3的同態(tài)函數(shù)。21設(shè)s，*是有限含幺半群。證明：在*的運(yùn)算表中，任何兩行或任何兩列均不相同。證 因?yàn)閟，*是有限含幺半群，故可設(shè)s=s0=e，s1，sn-1則在*的運(yùn)算表中，對慶于任何si，sjs（sisj，0i，jn-1）的兩行為：si*s0，si*s1，si*sn-1；sj*s0，sj*s1，sj*sn-1為證此兩行互不相同，只需證明（k）（0kn-1si * sksj * sk）即可。而這樣的k是存在的，只需取k=0即得：si*s0=si*e=sisj=sj*e=sj*s0從而，由si，sjs的任意性，可知，在*運(yùn)算表中，任何兩行均互不相同。關(guān)于列的結(jié)論，同

23、理可證。22設(shè)k是一正數(shù)，nk=0，1，2，k-1，*k是nk上的一個(gè)二元運(yùn)算。a，bnk，a*kb=（ab）modk。a) 當(dāng)k=6時(shí)，寫出*6的運(yùn)算表；b) 證明：對任意的正整數(shù)k，nk，*k是半群。a) 解 *6012345000000010123452024024303030340420425054321b) 證 1）*k是nk上的二元運(yùn)算由于0（ab）modkk，故a*kbnk，即*k關(guān)于nk封閉，并且運(yùn)算結(jié)果唯一（因?yàn)槿粲衖=（ab）modk，j=（ab）modk，則0kk，0jk，ab=kr1+i，ab=kr2+j，于是有kr1+i=kr2+j不妨設(shè)ji從而k（r1-r2）=j-

24、i，故此k|j-i，但是0j-ik（因?yàn)閖i）故只能j-i=0，因此j=i。2）*k滿足結(jié)合律因?yàn)閷τ谌魏蝍，b，cnk（a *k b）*k c=（ab）modk *k c =（ab）modk cmodk =（abc）modk =a（bc）modk modk =a*k （bc）modk =a*k（b*k c）綜合1），2）可得nk，*k是半群23設(shè)s，*是半群，as。在s上定義二元運(yùn)算如下x，ys，xy=x * a * y證明：s，是半群。證 （a）是s 上的二元運(yùn)算由于s，*是半群，故*是s上的二元運(yùn)算，因此*運(yùn)算具有封閉性和運(yùn)算結(jié)果唯一性。因此由的定義可知具有封閉性和運(yùn)算結(jié)果唯一性。（b）

25、滿足結(jié)合律對于任何x，y，zs（xy）z =（x * a * y）z =（x * a * y）* a* z = x * a *（y * a * z）（*運(yùn)算的結(jié)合律） = x * a *（y z） =x（y z）綜合（a），（b）可知s，是半群。24設(shè)s，*是半群。證明：s中至少有一個(gè)冪等元。證 因?yàn)閟，*是半群，所以*運(yùn)算具有封閉性，因而可知對于任何元素ys，都有y2=y*ys，y3=y2*ys,。又由s，*是有限的，可知s是有限集，所以存在著ji，使得yj=yi，從而令p=j-i，那么就有yi=yj=yp+i=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，也就是對任何gi，都有yg=yp*

26、yg。所以，從p1總可找到k1，使kpi。故此，令x=ykps，則x就是s中的一個(gè)冪等元，推證如下：x * x=ykp * ykp =（yp+ * y(k-1) p）*ykp（利用上述性質(zhì)） =y(k-1) p * ykp = =yp * ykp =ykp =x25設(shè)r是實(shí)數(shù)集合。在r上定義二元運(yùn)算*如下 x，yr，x*y=x+y+xy證明：r，*是含幺半群。證 （1）*運(yùn)算是實(shí)數(shù)集r上的二元運(yùn)算。因?yàn)槠胀▽?shí)數(shù)加法+和乘法都是封閉的和運(yùn)算結(jié)果唯一的，因此由它們定義的*運(yùn)算也是封閉的、運(yùn)算結(jié)果唯一。（2）*運(yùn)算滿足結(jié)合律。對于任何x，y，zr，因?yàn)椋▁*y）*z =(x*y)+z+(x*y)z=

27、（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx（y*z）=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）=x+y+z+xy+xz+yz+xyz所以 （x*y）*z=x（y*z）（3）0r為幺元對于任何xr 因?yàn)?0*x=0+x+0x=xx*0=x+0+x0=x故此 0*x=x*0=x綜合（1）（2）（3）證得r，*是含幺半群。26設(shè)s，*是可交換半群。證明：x，ys，若x，y是冪等元，則有（x*y）*（x*y）=x*y。證 （x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可結(jié)合） =x*（x*y）*y （*可交換） =（x*x）*（y*

28、y） （*可結(jié)合） =x*y （x，y為冪等元）27設(shè)s，*是半群。，ys，若xy，則x*yy*x。證明：a) xs，有x*x=xb) x，ys，有x*y*x=x；c) x，zs，有x*y*z=x*z；證 對任何x，ys若x*y=y*x，則x=y（否則xy，于是x*yy*x，矛盾）。a) 對任何xs，因?yàn)椋▁*x）*x=x*（x*x） （*可結(jié)合）所以 x*x=x b) 對任何x，ys，（x*y*x）*x =x*y*（x*x） （*可結(jié)合）=x*y*x （由a）=（x*x）*y*x （由a）=x*（x*y*x） （*可結(jié)合）所以 x*y*x=x c) 對任何x，y，zs，有（x*y*z）*（x

29、*z） =x*y*（z*x*z）（*可結(jié)合） =x*y*z （由b） =（x*z*x）*y*z（由b） =（x*z）*（x*y*z）（*可結(jié)合）所以 x*y*z=x*z28設(shè)s，*是半群。證明：x，y，zs，若x*z=z*x且y*z=z*y，則（x*y）*z=z*（x*y）。證 對任何x，y，xs （x*y）*z =x*（y*z） （*可結(jié)合） =x*（z*y） （y與z可交換） =（x*z）*y （*可結(jié)合） =（z*x）*y （x與z可交換） =z*（x*y） （*可結(jié)合）29設(shè)x，y，*是半群，x*x=y。證明：a) x*y=y*x；b) y*y=y。證 a) x*y = x*（x*x）

30、 （因x*x=y）=（x*x）*x （*可結(jié)合）=y*x （因x*x=y）b) y*y=（x*x）*y （因x*x=y） =x*（x*y） （*可結(jié)合）根據(jù)*運(yùn)算的封閉性，可知x*y=x或者x*y=y若 x*y=x，則y*y=x* （x*y） =x*x （由x*y=x） =y （由x*x=y）若 x*y=y，則y*y=x*（x*y） =x*y（由x*y=y） =y（由x*y=y）因此 無論如何，y*y=y 。30s，*是半群。若有as，xs，u，qs，使得a*u=v*a=x證明：s，*是含幺半群。證 只需證明半群s，*中含有幺元即可。取x= a，那么，存在ua，vas，使a*ua=va*a=a

31、對于s中任一元素b，那么存在u b，vbs，使得 a*ub=vb*a=b于是 bua=（vb*a）*ua （因vb*a=b） =vb（a*ua） （*可結(jié)合） =vb*a （因aua=a） =b （因ub*a=b）所以ua是右幺元。并且 vab=va*（a*ub）（因a*ub=b） =（va*a）*ub（*可結(jié)合） =a*ub （因ua*a=a） =b （因a*ub=b）所以va是左幺元。但是將b*ua=b中的b取為ua，則有va* ua =va；將va*b=b中的b取為ua，則有va*ua=ua；故此，可得 ua=va。所ua（=va）是s，*的幺元。從而，s，*是含幺半群。31設(shè)s，*是含

32、幺半群。zs，z是關(guān)于*的左零元。證明：xs，x*z也是關(guān)于*的左零元。證 由于z是關(guān)于*的左零元，所以對于任意as，都有z * a=z因而 對任何xs，對任何as，都有 （x*z）*a=x*（z*a）（*可結(jié)合） =x*z（z為左零元，z*a=z）這說明x*z也為左零元。32設(shè)s，*是含幺半群。ss=f | f :ss，）是函數(shù)的合成運(yùn)算。a) 證明：s s，*是半群；b) 證明：存在從s，*到ss，的同態(tài)函數(shù)。證 a) 由于是函數(shù)的合成運(yùn)算，而ss=f | f:ss是所有從s到s的函數(shù)的集合，因此運(yùn)算封閉且運(yùn)算結(jié)果唯一；并且運(yùn)算當(dāng)然具有結(jié)合律，故此s s，是一半群。 b) 令h : sss

33、，對于所有的ash（a）=fa；這時(shí)fa : ss，對于任何xs有fa（a）=a*x由于s，*是半群，故*是s上的二元運(yùn)算。因此*運(yùn)算封閉，且運(yùn)算結(jié)果唯一，因此如上定義的fa后者唯一，是從s到s的函數(shù)，即fass。因此h的定義是良定義的。對于任何a，bs h（a*b）=fa*b而對于任何xs，（x）fa*b（x） =（a*b）*x =a*（b*x） （*的結(jié)合律） = a*（fb（x） = fa（fb（x） =（fafb）（x）所以，有 fa*b= fafb，因此，h（a*b）=fafb=h（a）h（b）。故此h滿足同態(tài)公式。因而存在從到ss，的同態(tài)函數(shù)。33設(shè)f是從半群x，*到y(tǒng)，的同態(tài)函數(shù)

34、，證明：若x是x中的冪等元，則y中也存在冪等元。證 由于f（x）f（x）=f（x*x） （f是同態(tài)函數(shù)，滿足同態(tài)公式）=f（x）（因x是冪等元，故x*x=x）且f（x）y，故此f（x）是y中的冪等元。即y中也存在冪等元。34設(shè)f是從半群x，*到y(tǒng)，的同態(tài)函數(shù)，問下列結(jié)論是否為真。 a) x，*在f下的同態(tài)象是y，的子代數(shù)系統(tǒng)； b) x，*在f下的同態(tài)象是半群； c) 若x，*是含幺交換半群，則x，*在f下的同態(tài)象也是含幺可交換半群。解 a) 真。因?yàn)?）f（x）y。這點(diǎn)是根據(jù)事實(shí)f : xy得出的。2）集合f（x）在運(yùn)算下是封閉的，即，如果a，bf（x），那么abf（x）。因?yàn)槿鬭，bf（x

35、），那么存在著x，yx，使得f（x）=a且f（y）=b。進(jìn)一步，由x在*運(yùn)算下封閉（因x，*為半群）可知存在著某一zx，使z=x*y因此ab=f（x）f（y） =f（x*y）（f是同態(tài)函數(shù)，滿足同態(tài)公式） =f（z） f（）運(yùn)算結(jié)果的唯一性是自動(dòng)遺傳，因?yàn)閥，至少是一代數(shù)系統(tǒng)，故應(yīng)是y上的二元運(yùn)算，具有運(yùn)算結(jié)果唯一性。故由1）和2），可知x，*在f下的同態(tài)象f（x），是y，的子代數(shù)系統(tǒng)。b) 真。因?yàn)?）運(yùn)算在集合f（x）上滿足結(jié)合律，即，如果a、b、cf（x），那么（ab）c=a（bc）。因若a，b，cf（x），那么存在著x，y，zx，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此（ab）

36、c=（f（x）f（y）f（z）=f（x*y）f（z） （f滿足同態(tài)公式）=f（x*y）*z） （f滿足同態(tài)公式）=f（x*（y*z） （x，*為半群，*運(yùn)算有結(jié)合律）=f（x）f（y*z） （f滿足同態(tài)公式）=f（x）（f（y）f（z） （f滿足同態(tài)公式）=a（bc）于是由a)的1），2）及這里的3），可知x，*在f下的同態(tài)象f（x），是半群。c) 真。因?yàn)?）f（x），含有幺元，即 若ex是含幺半群x，*的幺元，那么f（e）f（x）就是f（x），的幺元。因?yàn)閷θ魏蝍f（x），存在著xx，使f（x）=a，故此af（e）=f（x）f（e）=f（x*e） （f滿足同態(tài)公式）=f（x） （x*e=x

37、）=a同理可證f（e）a=a，因而af（e）=f（e）a=a。5）運(yùn)算在f（x）上滿足交換律，即，對任何a，bf（x），都有ab=ba。因若a，bf（x）則存在著x，yx，使f（x）=a且f（y）=b，因此ab=f（x）f（y）=f（x*y）（f滿足同態(tài)公式）=f（y*x）（x，*是含幺可交換半群，故*有交換律）=f（y）f（x）（f滿足同態(tài)公式）=ba綜合a) 的1） 2），b）的3），和這里的4）和5），可知，若x，*是含幺可交換半群，則x，*在f下的同態(tài)象f（x），也是含幺可交換半群。35設(shè)n6=0，1，2，3，4，5，n6上的+6運(yùn)算定義如下a，bn6，a+6b=（a+b）mod6求子

38、半群n6，+6的運(yùn)算表如下：+6012345001234511234502234501334501244501235501234從運(yùn)算表看出n6，+6是一循環(huán)半群，生成元是1，5。因而除兩個(gè)平凡子半群0，+6及n6，+6外，任何包含1或5的子集都不能構(gòu)成真子半群。所以考慮0，2，3，4的子集，由于2+63=5，3+64=1，故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=4，3+63=0，4+64=2，故此單元素集上運(yùn)算+6不封閉。因而n6，+6的真子半群只有二個(gè)0，3，+6及0，2，4，+6，它們的運(yùn)算表如下：+6024002422404402+603003 33036證明：含幺半群的子

39、半群可以是一 個(gè)含幺半 群，但不一定是子含幺半群。 證 n6，+6是一 個(gè)含幺半群，其幺元為1。運(yùn)算表如下：x60123450000000101234520240243030303404204250543214，2，x6是n6，+6的子半群，并且是含幺半群，其幺元為4 運(yùn)算為但是它不是n6，+6的子含幺半群，因?yàn)閚6，+6的幺元| 4，2。x642442224幺元不遺傳37設(shè)s，*是含幺半群，幺元為es1=x| xs且ys（y*x）=e證明：s1，*是s1，*的子含幺半群。證 1）集合s1在運(yùn)算*下是封閉的，即，若x1，x2s1，則x1*x2s1。因若x1，x2s1則x1，x2s，存在著y1，

40、y2使y1*x1=e，y2*x2=e。于是有x1*x2s（s在*運(yùn)算下封閉，因s，*是半群），并且存在著z=y2*y1，使z*（x1*x2）=（y2*y1）（x1*x2）=y2*（y1*x1）*x2 （的結(jié)合律）=y2*（e*x2）=y2*x2（e是幺元，e*x2=x2）=e故此x1*x2s。2）*運(yùn)算在s1上滿足結(jié)合律，這點(diǎn)由*運(yùn)算在s上的結(jié)合律遺傳而來。3）s1，*含有s，*的幺元e。因?yàn)閑s，且存在著e使e*e=e，所以es1。綜合上述1），2），3），證得s1，*是s，*的子含幺半群。38寫出所有不同構(gòu)的一階，二階，三階，四階，五階，六階，七階，八階群。解 由于素?cái)?shù)階群是循環(huán)群，故此一

41、階，二階，三階，五階，七階群各只有一個(gè)，其運(yùn)算表分別如下：*eaeeaaae*eabeeabaabebbea*eee 一階群 二階群 三階群*eabcdeeabcdaabcdebbcdeaccdeabddeabc*eabcdfgeeabcdfgaabcdfgebbcdfgeaccdfgeabddfgeabcffgeabcdggeabcdf 五階群 七階群四階群已知有兩個(gè)，一個(gè)是循環(huán)群，一個(gè)是kiein4群，其運(yùn)算表如下：*eabceeabcaabcebbceacceab*eabceeabcaaecbbbceaccbae 四階循環(huán)群 klein四群而六階和八階的情況比較復(fù)雜。我們先來討論六階群的

42、情況：（一）（1）六階群g，*一定有三階子群。對于| g |=6，6的正因子只有1，2，3和6。若g=是6階循環(huán)群，則h=是一個(gè)三階子群；若g不是循環(huán)群，則g中非幺元的階只能是2或3。若g中有一個(gè)非幺元b的階是三，則h=是g的一個(gè)三階子群。若g中非幺元的階都是二，則對任何a，bg，并且a和b是不同的非幺元，就有 a2=e ，b2=e ， （）2=e從而 a-1=a ，b-1=b， （a*b）-1=a*b又因?yàn)椋╝*b）-1=b-1*a-1=b*a，所以a*b=b*a，所以g是交換群。現(xiàn)在來考察g的子集h=e，a，b，a*b，這里a，b是g中的兩個(gè)不同的非幺元。顯然a*be，a，b，（如a*be，否則，有a-1=b，又a-1=a，從而a=b 與a與b不同矛盾。余者同理可證）*關(guān)于h的運(yùn)算表如下：*eaba*beeaba*baaba*bbbba*bea*ba*bde （運(yùn)算表利用g的可交換性來編制）所以h在*運(yùn)算下封閉，實(shí)際上與klein四群同構(gòu)。于是h是g的一個(gè)