1、1.2.11.2.1任意角的三角函數任意角的三角函數 第三課時 1掌握正弦、余弦、正切函數的定義域 2了解三角函數線的意義，能用三角函數線表 示一個角的正弦、余弦和正切 3能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數 問 有向線段：帶有方向的線段有向線段：帶有方向的線段 例：如右圖所示，角例：如右圖所示，角a a 是第二象限角是第二象限角 有向線段有向線段OM表示以點表示以點O為為 起點，點起點，點M為終點的線段，為終點的線段， 即即OM的方向與的方向與x軸的正方軸的正方 向相反的線段，向相反的線段， 我們規定，方向與坐標軸的我們規定，方向與坐標軸的 正向相同的有向線段表示一正向相同的有向線段表示一

2、 個正值，反之即為負值，個正值，反之即為負值， 故由故由|OM|=| x |可得可得 OM=x 同理可得，同理可得，MP=y x y O P(x,y) a a 的終邊的終邊 1-1M (0) x y O P(x,y) a 的終邊 1-1 M 練習：練習：如圖所示，角如圖所示，角a a 是第四象限角，試判斷下列四是第四象限角，試判斷下列四 個有向線段的值個有向線段的值. OM= ； MO= ； MP= ； PM= . x -x y -y x y O P(x,y) a a 的終邊的終邊 1-1 M x y O P(x,y) a a 的終邊的終邊 1-1 M |MP|=| y |=|sina a |

3、 |OM|=| x |=|cosa a | MP=y=sina a OM=x=cosa a x y O P(x,y) a a 的終邊的終邊 1-1 M x y O P(x,y) a a 的終邊的終邊 1-1 M x y O P(x,y) a 的終邊 1-1 M 探究：借助單位圓，你能找到一條如OM、MP一樣的線段 來表示tana 嗎？ A(1,0) T 例如，若角a 表示第一象限角， 過點A(1，0)作單位圓的切線， 設它與a 的終邊交于點T， tan yMP xOM a MPAT AT OMOA tanATa x y O P(x,y) a 的終邊 1-1 M A(1,0) 又如，若角又如，若

4、角a a 表示第二象限角，表示第二象限角， 仍過點仍過點A(1，0)作單位圓的切線，作單位圓的切線， 設它與設它與a a 終邊的反向延長線交于點終邊的反向延長線交于點T， tan yMP xOM a MPAT AT OMOA tanATa T 探究：借助單位圓，你能找到一條如OM、MP一樣的線段 來表示tana 嗎？ 當角的終邊不在坐標軸上時，我們把當角的終邊不在坐標軸上時，我們把 ，都看，都看 成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段 a OM MP 三角函數線三角函數線：用：用有向線段有向線段的數量的數量來表示。來表示。 sin( yMP M

5、P rOP a a正正弦弦線線) ) cos( xOM OM rOP a a余余弦弦線線) ) tan( yAT AT xOA a a正正切切線線) ) y Ox P M A T (1) 作出角的終邊，畫單位圓作出角的終邊，畫單位圓; 作作三角函數線三角函數線的步驟的步驟: (2) 設設a的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點P，作，作PMx軸于軸于M，則，則 有向線段有向線段MP是正弦線是正弦線,有向線段有向線段OM是余弦線是余弦線; (3) 設單位圓與設單位圓與x軸的正半軸交于點軸的正半軸交于點A， 過點過點A作作x軸的垂線與角軸的垂線與角a的終邊的終邊 (或其反向延長線或其反向延長線)

6、交于點交于點T， 則有向線段則有向線段AT是正切線是正切線. y Ox P M A T y Ox y Ox y Ox y Ox P a終邊終邊 M A TP MA T 正弦線正弦線 余弦線余弦線 正切線正切線 P P M A T P M A T a終邊終邊 a終邊終邊 a終邊終邊 1注意： 、正弦線、余弦線、正切線解釋了正弦 函數、余弦函數、正切函數的幾何意義。 2、正弦線的起點在x軸上，正弦線與y軸平行； 余弦線的起點在原點，余弦線在x軸上； 正切線的起點在A（1，0）,正切線與y軸平行. 3、當正弦線、余弦線、正切線的方向與 x軸或y軸的正方向相同時，對應的三角 函數值為正值；與x軸或y軸

7、的正方向相反 時，對應的三角函數值為負值。 幾何畫板演示幾何畫板演示 思考思考1 1：設設a為銳角，你能根據正弦線為銳角，你能根據正弦線 和余弦線說明和余弦線說明sin sin a cos cos a 1 1嗎？嗎？ P P O O x x y y M MPMPOMOMOP=1OP=1 思考思考2 2：對于不等式對于不等式 （其中（其中a為銳角），你能用數形結合為銳角），你能用數形結合 思想證明嗎？思想證明嗎？ si ntanaaa P P O O x x y y M M A A T T 幾何畫板演示幾何畫板演示 小結小結作已知角的正弦線、余弦線、正切線時，要確定已作已知角的正弦線、余弦線、正

8、切線時，要確定已 知角的終邊，再畫線，同時要分清所畫線的方向，對于以知角的終邊，再畫線，同時要分清所畫線的方向，對于以 后研究三角函數很有用處后研究三角函數很有用處 -1 x y 1 1-1 O T A 4 3 4 例例2 2 求使求使 成立的成立的的取值范圍的取值范圍. . 3 si n 2 a O O x x y y P P M M B BA A3 2 y= 幾何畫板演示幾何畫板演示 例例3 3求函數求函數 的定義域的定義域. . ( )2cos1f aa= O Ox x y y P P2 2 M M P P1 1 1 2 x= P P (2,2) 33 kkkZ 幾何畫板演示幾何畫板演示

9、 -1 x y 1 1-1 O 在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 2 1 sin1a 2 1 y 6 6 5 Zkkk) 6 5 2 , 6 2( -1 x y 1 1-1 O 在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 2 1 cos2a 2 1 x 3 3 5 Zkkk 3 5 2 , 3 2 -1 x y 1 1-1 O T A 在單位圓中作出符合條件的角的終邊在單位圓中作出符合條件的角的終邊: 1tan3a Zkkk ) 2 , 4 4 3 4 Zkkk ) 2 3 , 4 3 1.三角函數線是三角函數的一種幾何表示，即用有向三角函數線是三角函數的一種幾何表示，即用有向 線段表示三角函數值，是今后進一步研究三角函數線段表示三角函數值，是今后進一步研究三角函數 圖象的有效工具圖象的有效工具. 2.正弦線的始點隨角的終邊位置的變化而變化，余弦正弦線的始點隨角的終邊位置的變化而變化，余弦 線