1、應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（一）本文主要是對(duì)材料成形相關(guān)專業(yè)學(xué)習(xí)過程中對(duì)一些問題的思考，也許并不深刻，但卻是自己從初學(xué)時(shí)的迷惑到后來逐漸認(rèn)識(shí)的過程。相關(guān)還有： Levy-Mises 理論的思考從本科的材料成形原理教材上就認(rèn)識(shí)了應(yīng)力張量，然后一直出現(xiàn)在我們的視野里。初始，以一個(gè)基本定義記住了它，進(jìn)而有過疑惑，隨著矩陣論的學(xué)習(xí)又有了新的認(rèn)識(shí)。曾經(jīng)就有記錄下對(duì)其理解的想法，但因思路尚未完善而一再擱置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作為線性空間的證明，才終于開始詳細(xì)記錄。我將這部分思考分為以下三部分：應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（一）應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（二）應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（三）本文介紹第一部分應(yīng)力的基本知識(shí)和常規(guī)認(rèn)識(shí)。應(yīng)力初中物

2、理就已知道，因外力作用而在物體內(nèi)部產(chǎn)生的力成為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力即是應(yīng)力，表征內(nèi)力的強(qiáng)度。為了研究某一點(diǎn)P 處的應(yīng)力，用某個(gè)截面在P 點(diǎn)處切開物體，如下圖所示。根據(jù)定義可以得到P 點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力 ，他們的合成即為全應(yīng)力T。需要注意的是，一個(gè)確定的截面對(duì)應(yīng)了一組正應(yīng)力和切應(yīng)力。但是過描述 P 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)呢？P 點(diǎn)有無數(shù)的截面，那么如何才能真正應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是受力物體內(nèi)某一點(diǎn)各個(gè)截面上應(yīng)力的變化情況。上面已經(jīng)意識(shí)到過一點(diǎn)點(diǎn)有無數(shù)的截面，只有任意截面上的應(yīng)力分量都可以確定，才可以說應(yīng)力狀態(tài)是確定的。通常在無數(shù)的截面中，任意取三個(gè)互相垂直的截面，并以他們的法線方向建立笛卡爾坐標(biāo)系。也即

3、在 P 點(diǎn)截取一個(gè)無限小的平行六面體，稱為 單元體 。單元體無限小，視為一點(diǎn)，因此單元體上相互平行的兩個(gè)平面視為過該點(diǎn)的同一平面，也即他倆的應(yīng)力是相同的。這樣就只用三個(gè)互相垂直的截面上的應(yīng)力來分析問題。由于單元體處于靜力平衡狀態(tài)，由繞各軸合力矩為零可以得到切應(yīng)力互等定律。問題：既然單元體上相互平行的兩個(gè)平面視為過該點(diǎn)的同一平面，那為什么上圖平行的平面上應(yīng)力是相反的？單元體上相互平行的兩個(gè)平面視為過該點(diǎn)的同一平面，但是分別是被截開的的兩部分的平面，截開前他們是重合的，截開后成為了兩部分各自的表面，而外表面是有方向的。所以，從各自的方向上來看，應(yīng)力方向還是相同的。應(yīng)力張量根據(jù)上面的微單元體上的應(yīng)力

4、分量，是否可以求出任意截面的應(yīng)力分量？答案是肯定的。根據(jù)三個(gè)方向的靜力平衡就可以列式計(jì)算得到上圖的任意的法向?yàn)?n1,n2,n3) 的截面上的應(yīng)力分量。三個(gè)互相垂直的截面上的 9 個(gè)應(yīng)力分量可以確定任意截面的應(yīng)力，也就是說可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)了。同時(shí)從這三個(gè)截面的選取上來看，他們和坐標(biāo)系無關(guān)。于是我們把用上面九個(gè)應(yīng)力分量作為一個(gè)整體來描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的物理量叫作應(yīng)力張量，記作主應(yīng)力如果作用在某一截面上的全應(yīng)力和這一截面垂直，即該截面上只有正應(yīng)力，則這一截面稱為主平面，其法線方向稱為應(yīng)力主方向，其上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。如果三個(gè)坐標(biāo)軸方向都是主方向，則稱這一坐標(biāo)系為主坐標(biāo)系。求解方法依然是根據(jù)靜力

5、平衡條件。應(yīng)力張量不變量在求解主應(yīng)力的過程中會(huì)得到以主應(yīng)力為未知數(shù)的三次方程，叫做狀態(tài)方程 。狀態(tài)方程的三個(gè)系數(shù)唯一由主應(yīng)力確定，而一點(diǎn)的主應(yīng)力是唯一的，這樣就得到了不隨坐標(biāo)變化的三個(gè)量，叫作應(yīng)力張量不變量用一般應(yīng)力表示為主切應(yīng)力切應(yīng)力有極值的截面叫主切應(yīng)力平面，面上的切應(yīng)力叫作主切應(yīng)力。六個(gè)主切應(yīng)力中絕對(duì)值最大的叫作最大切應(yīng)力。通過計(jì)算可知，主切應(yīng)力平面與主應(yīng)力平面成45夾角。由于塑性變形是由切應(yīng)力引起的，所以最大切應(yīng)力可以作為判斷屈服的準(zhǔn)則。應(yīng)力張量分解將三個(gè)正應(yīng)力的平均值叫作平均應(yīng)力，靜水應(yīng)力，應(yīng)力張量減去這部分后得到應(yīng)力偏張量。應(yīng)力偏張量同樣有三個(gè)不變量。應(yīng)力張量分解的物理意義在于：物

6、體在應(yīng)力張量作用下的變形分為體積變化和形狀變化兩部分；前者取決于應(yīng)力球張量，后這取決于應(yīng)力偏張量；體積變化表征彈性變形，當(dāng)應(yīng)力偏張量滿足一定條件后，則物體發(fā)生塑性變形。應(yīng)力平衡微分方程以上說明的都是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，而物體內(nèi)部不同點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一般是不同的，那么如何描述相鄰點(diǎn)間的應(yīng)力變化關(guān)系呢？以物體內(nèi)某一點(diǎn)P(x,y,z) 為頂點(diǎn)截取邊長分別為dx,dy,dz 的直角平行六面體微元，另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)則為(x+dx,y+dy,z+dz)。根據(jù)靜力平衡方程，并處理掉高階小量，得到應(yīng)力平衡微分方程：?jiǎn)栴}：這部分中微六面體應(yīng)力狀態(tài)分析的圖與之前一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的圖即為相似，卻有不同，如何理解？二者的涵義完全不同。點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖強(qiáng)調(diào)的是同一個(gè)點(diǎn)在不同截面下的狀態(tài)，而微六面體應(yīng)力狀態(tài)分析強(qiáng)調(diào)的是相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的應(yīng)力關(guān)系?？梢哉f前者是靜態(tài)的