1、EXIT 4.1、流體的粘性及其對流動的影響、流體的粘性及其對流動的影響 4.2、雷諾實驗、層流與湍流、雷諾實驗、層流與湍流 4.3、粘性流體的應力狀態、粘性流體的應力狀態 4.4、廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）、廣義牛頓內摩擦定理（本構關系） 4.5、粘性流體運動方程、粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 4.6、流動相似及相似準則、流動相似及相似準則 EXIT 1、流體的粘滯性、流體的粘滯性 在靜止狀態下，流體不能承受剪力。但是在運在靜止狀態下，流體不能承受剪力。但是在運 動狀態下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流動狀態下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流 體所承受剪力大

2、小是不同的。體所承受剪力大小是不同的。 流體的粘滯性是指，流體在運動狀態下抵抗流體的粘滯性是指，流體在運動狀態下抵抗 剪切變形能力。剪切變形能力。 流體的剪切變形是指流體質點之間出現相對運流體的剪切變形是指流體質點之間出現相對運 動。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質點之間的相動。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質點之間的相 對運動能力。對運動能力。 EXIT 流體抵抗剪切變形能力，可通過流層之間的剪流體抵抗剪切變形能力，可通過流層之間的剪 切力表現出來。（這個剪切力稱為內摩擦力）。流切力表現出來。（這個剪切力稱為內摩擦力）。流 體在流動過程中，必然要克服內摩擦力做功，因此體在流動過程中，必然要克服內

3、摩擦力做功，因此 流體粘滯性是流體發生機械能損失的根源。流體粘滯性是流體發生機械能損失的根源。 牛頓的內摩擦定律（牛頓的內摩擦定律（Newton，1686年）年） F=AU/h F h U EXIT =/ 流體的運動粘性系數。流體的運動粘性系數。量綱量綱 =L2/T ， 單位單位m2/s 。 水：水： 1.139 10-6，空氣：，空氣：1.461 10-5 。 h U A F 流層之間的內摩擦力與接觸面上的壓力無關。流層之間的內摩擦力與接觸面上的壓力無關。 設設 表示單位面積上的內摩擦力（粘性切應力），表示單位面積上的內摩擦力（粘性切應力）， 則則 流體的動力粘性系數。量綱流體的動力粘性系數

4、。量綱=M/L/T，單位，單位 Ns/m2=Pas 。水：。水：1.139 10-3，空氣：，空氣：1.7894 10-5 。 EXIT 一般流層速度分布不是直線，如下圖所示。一般流層速度分布不是直線，如下圖所示。 u yy F=Adu/dy =du/dy du/dy 表示單位高度流層的速度增量，稱為流表示單位高度流層的速度增量，稱為流 速梯度。速梯度。 EXIT 速度梯度速度梯度du/dy物理上也表示流體質點剪切變形物理上也表示流體質點剪切變形 速度，如圖所示。速度，如圖所示。 d =dudt/dy d /dt=du/dy 流體切應力與速度梯度的一般關系為流體切應力與速度梯度的一般關系為 n

5、 dy du BA d dy dudt u+du u EXIT 1 = 0+du/dy 2 =（du/dy）0.5 3 =du/dy 4 =(du/dy)2 5 理想流體理想流體 1-bingham流體，泥漿、血漿、牙膏等流體，泥漿、血漿、牙膏等 2-偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等 3-牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等 4-脹塑性流體，生面團、濃淀粉糊等脹塑性流體，生面團、濃淀粉糊等 5-理想流體，無粘流體。理想流體，無粘流體。 du/dy 1 2 3 4 5 0 EXIT 自然界中流體都是有粘性的，因此粘性對流體自然界中流體都是有

6、粘性的，因此粘性對流體 運動的影響是普遍存在的。但對于具體的流動問題運動的影響是普遍存在的。但對于具體的流動問題 ，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空 氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作 用可得到滿意的結果。因此為了簡化起見，提出了用可得到滿意的結果。因此為了簡化起見，提出了 理想流體的概念和理論。理想流體的概念和理論。 2、粘性流體運動特點、粘性流體運動特點 以下用若干流動事例說明粘性流動與無粘流動以下用若干流動事例說明粘性流動與無粘流動 的差別。的差別。 EXIT （1）繞過平板的均直

7、流動）繞過平板的均直流動 當理想流體繞過平板（無厚度）時，平板對流當理想流體繞過平板（無厚度）時，平板對流 動不產生任何影響，在平板表面，允許流體質點滑動不產生任何影響，在平板表面，允許流體質點滑 過平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條過平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條 件）。平板對流動無阻滯作用，平板阻力為零。件）。平板對流動無阻滯作用，平板阻力為零。 EXIT L f dxD 0 0 2 但如果是粘性流體，情況就不同了。由于存在粘但如果是粘性流體，情況就不同了。由于存在粘 性，緊貼平板表面的流體質點粘附在平板上，與平板性，緊貼平板表面的流體質點粘附在平板上，與平板 表面不存

8、在相對運動（既不允許穿透，也不允許滑動表面不存在相對運動（既不允許穿透，也不允許滑動 ），這就是說，在邊界面上流體質點必須滿足不穿透），這就是說，在邊界面上流體質點必須滿足不穿透 條件和不滑移條件。條件和不滑移條件。 隨著離開平板距離的增大，流體速度由壁面處的隨著離開平板距離的增大，流體速度由壁面處的 零值迅速增大到來流的速度。這樣在平板近區存在著零值迅速增大到來流的速度。這樣在平板近區存在著 速度梯度很大的流動，因此流層之間的粘性切應力就速度梯度很大的流動，因此流層之間的粘性切應力就 不能忽略，對流動起控制作用。這個區稱為邊界層。不能忽略，對流動起控制作用。這個區稱為邊界層。 平板對流動起阻

9、滯作用，平板的阻力不為零。即平板對流動起阻滯作用，平板的阻力不為零。即 EXIT 沿平板的邊界層實驗演示沿平板的邊界層實驗演示 EXIT 無滑移實驗演示無滑移實驗演示 與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性 流體運動有別與理想流體運動的主要標志流體運動有別與理想流體運動的主要標志 EXIT （2）圓柱繞流）圓柱繞流 理想流體繞流圓柱時，在圓柱上存在前駐點理想流體繞流圓柱時，在圓柱上存在前駐點A， 后駐點后駐點D，最大速度點，最大速度點B、C。中心流線在前駐點分。中心流線在前駐點分 叉，后駐點匯合。叉，后駐點匯合。 EXIT 根據根據Bernoulli方程，在流

10、體質點繞過圓柱的流方程，在流體質點繞過圓柱的流 動過程中，在動過程中，在AB（C）區，流體質點在）區，流體質點在A點流速點流速 為零，壓強最大，以后質點的壓強沿程減小，流速為零，壓強最大，以后質點的壓強沿程減小，流速 沿程增大，到達沿程增大，到達B（C）點流速最大，壓強最小。該）點流速最大，壓強最小。該 區屬于增速減壓區，是順壓梯度區。區屬于增速減壓區，是順壓梯度區。 EXIT 在在B（C）D區，流體質點的壓強沿程增大，區，流體質點的壓強沿程增大， 流速沿程減小，到達流速沿程減小，到達D點壓強最大，流速為零。點壓強最大，流速為零。該該 區屬于減速增壓區，是逆壓梯度區。區屬于減速增壓區，是逆壓梯

11、度區。 EXIT 0)cos( 2 R s dspD 在流體質點繞過圓柱的過程中，只有動能、壓在流體質點繞過圓柱的過程中，只有動能、壓 能的相互轉換，而無機械能的損失。在圓柱面上壓能的相互轉換，而無機械能的損失。在圓柱面上壓 強分布對稱，無阻力存在。（著名的達朗貝爾佯謬強分布對稱，無阻力存在。（著名的達朗貝爾佯謬 或達朗貝爾疑題）。或達朗貝爾疑題）。 EXIT 對于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很對于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很 大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物 面近區將產生邊界層。面近區將產生邊界層。 EXIT 受流體粘性的

12、阻滯作用，流體質點在由受流體粘性的阻滯作用，流體質點在由A點到點到B點的點的 流程中，將消耗部分動能用之克服摩擦阻力做功，流程中，將消耗部分動能用之克服摩擦阻力做功， 以至使其無法滿足由以至使其無法滿足由B點到點到D點壓力升高的要求，壓點壓力升高的要求，壓 強分布與理想流體繞流不同。強分布與理想流體繞流不同。 EXIT 隨著雷諾數隨著雷諾數 的不同，繞流壓強分布也不同的不同，繞流壓強分布也不同 。 但它們與理想流動的有一個共同區別在于粘性流但它們與理想流動的有一個共同區別在于粘性流 動中圓柱體的背風面動中圓柱體的背風面Cp為負值。為負值。 DV Re 下圖給出了不同雷諾數時圓柱表面的壓強系數下

13、圖給出了不同雷諾數時圓柱表面的壓強系數Cp分布。分布。 EXIT 在下游點在下游點=0=0處處 Cp=+1.0 理想流體理想流體 Cp=-1.1 層流，層流， Cp=-0.7 湍流，湍流， Cp=-0.1 湍流，湍流， 5 109 . 1Re 6 104 . 8Re 5 107 . 6Re EXIT 背風面的壓強小于迎風面背風面的壓強小于迎風面 的壓強，壓強分布不對稱的壓強，壓強分布不對稱 使圓柱體受到流體給它的使圓柱體受到流體給它的 阻力，阻力的方向指向下阻力，阻力的方向指向下 游。游。 R s dspD 2 0 )cossin( 進一步的研究表明，圓柱進一步的研究表明，圓柱 表面的粘性流體

14、流動在靠近尾表面的粘性流體流動在靠近尾 部的某個區域將產生邊界層分部的某個區域將產生邊界層分 離，從而形成圓柱體下游一個離，從而形成圓柱體下游一個 由旋渦組成的尾流區。尾流區由旋渦組成的尾流區。尾流區 的流動性質隨的流動性質隨Re數的變化有所數的變化有所 不同。不同。 EXIT 繞球流動的流場顯示繞球流動的流場顯示 EXIT 無逆壓梯度的平板邊界層沿流向會變厚但不分離，無逆壓梯度的平板邊界層沿流向會變厚但不分離， 有摩擦阻力（平板邊界層流動實驗演示：）有摩擦阻力（平板邊界層流動實驗演示：） EXIT 有逆壓梯度時，邊界層變厚并可能分離有逆壓梯度時，邊界層變厚并可能分離 （低速擴壓段中的邊界層與

15、分離實驗演示：）（低速擴壓段中的邊界層與分離實驗演示：） EXIT 圓柱繞流有較大的逆壓梯度，必然分離圓柱繞流有較大的逆壓梯度，必然分離 （圓柱繞流分離細節實驗演示：）（圓柱繞流分離細節實驗演示：） EXIT 綜合上述所述，結論如下：綜合上述所述，結論如下： （1）粘性摩擦切應力與物面的粘附條件（無滑移）粘性摩擦切應力與物面的粘附條件（無滑移 條件）是粘性流體運動有別與理想流體運動的主要條件）是粘性流體運動有別與理想流體運動的主要 標志。標志。 （2）粘性的存在是產生阻力的主要原因。）粘性的存在是產生阻力的主要原因。 （3）邊界層的分離必要條件是，流體的粘性和逆）邊界層的分離必要條件是，流體的

16、粘性和逆 壓梯度。壓梯度。 （4）粘性對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦）粘性對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦 的擴散等問題起主導作用，不能忽略。的擴散等問題起主導作用，不能忽略。 EXIT 雷諾（雷諾（Osborne Reynolds， 18421921，英國工程師兼物理學，英國工程師兼物理學 家，維多利亞大學教授）最早詳細家，維多利亞大學教授）最早詳細 研究了管道中粘性流體的流動狀態研究了管道中粘性流體的流動狀態 及其影響因素。及其影響因素。 1880年，年，用管用管徑徑2.54cm、長度、長度1.372m玻璃管進玻璃管進 行了著名的流態轉捩試驗，并于行了著名的流態轉捩試驗，并于1883

17、年在一篇論文年在一篇論文 中明確指出了管中水流存在層流和湍流（紊流）兩中明確指出了管中水流存在層流和湍流（紊流）兩 種流態。種流態。 EXIT 層流是指流體質點不互相混雜，流體質點作有條層流是指流體質點不互相混雜，流體質點作有條 不紊的有序的運動。不紊的有序的運動。 紊流是一種雜亂無章、互相混摻，不規則的隨機紊流是一種雜亂無章、互相混摻，不規則的隨機 運動。運動。 EXIT EXIT 實驗發現，不同的流態對于流動的摩擦阻力、實驗發現，不同的流態對于流動的摩擦阻力、 壓力損失、速度分布等影響很大。壓力損失、速度分布等影響很大。 DV Re 流態從層流到湍流的過渡稱為轉捩。流態從層流到湍流的過渡稱

18、為轉捩。 實驗表明流態的轉捩不是單單取決于某一個流實驗表明流態的轉捩不是單單取決于某一個流 動參數動參數V ,等，而是取決于無量綱的組合量等，而是取決于無量綱的組合量 Re 這就是管道粘性運動的相似參數，雷諾數。這就是管道粘性運動的相似參數，雷諾數。 EXIT 在非管道流動中，也存在這兩種不同的流態：在非管道流動中，也存在這兩種不同的流態： 層流與湍流，從層流到湍流的轉捩也與雷諾數大小層流與湍流，從層流到湍流的轉捩也與雷諾數大小 有關。有關。 雷諾數之所以對流態起著重要作用，從而對粘雷諾數之所以對流態起著重要作用，從而對粘 性流體運動的其他特性起著重要作用，在于雷諾數性流體運動的其他特性起著重

19、要作用，在于雷諾數 具有很強的物理意義。具有很強的物理意義。 雷諾數的物理意義：雷諾數代表作用在流體微雷諾數的物理意義：雷諾數代表作用在流體微 團上的慣性力與粘性力之比。團上的慣性力與粘性力之比。 EXIT 慣性力正比于質量乘加速度。慣性力正比于質量乘加速度。 其中，質量正比于密度乘尺度的其中，質量正比于密度乘尺度的 3 次方次方: L L3 3 加速度正比于速度加速度正比于速度 2 2 次方和尺度次方和尺度1 1次方：次方：V V2 2L L-1 -1 從而慣性力正比于：從而慣性力正比于： V2L2 粘性力正比于剪應力乘面積。粘性力正比于剪應力乘面積。 其中，剪應力正比于粘性系數乘速度其中，

20、剪應力正比于粘性系數乘速度1次方和尺度的次方和尺度的 1次方次方: VL-1 -1 ， ， 面積正比于尺度面積正比于尺度2 2次方：次方：L L2 2 從而粘性力正比于：從而粘性力正比于： VL 因此慣性力與粘性力之比正比于：因此慣性力與粘性力之比正比于：VL/ , 此即雷此即雷 諾數。諾數。 EXIT 慣性力的作用是促使質點失穩，擾動放大；粘性慣性力的作用是促使質點失穩，擾動放大；粘性 力的作用是對質點起約束作用的，是遏制擾動的。力的作用是對質點起約束作用的，是遏制擾動的。 流動為紊流時，流動為紊流時，Re數較大，此時質點慣性力大數較大，此時質點慣性力大 于粘性力，流動失去穩定。于粘性力，流

21、動失去穩定。 流動為層流時，流動為層流時，Re數較小，此時質點粘性力大數較小，此時質點粘性力大 于慣性力，流動穩定，層次分明。于慣性力，流動穩定，層次分明。 EXIT 在管道紊流中，由于流體質點的隨機脈動，致在管道紊流中，由于流體質點的隨機脈動，致 使流層之間的動量發生不斷的交換，快層流體速度使流層之間的動量發生不斷的交換，快層流體速度 減慢，慢層流體速度增大，造成時均流速分布更加減慢，慢層流體速度增大，造成時均流速分布更加 均勻。均勻。 EXIT 層流與層流與 湍流的對比湍流的對比 管道雷諾實驗管道雷諾實驗平板邊界層：上：平板邊界層：上： 湍流湍流 下：層流下：層流 EXIT 層流與湍流的區

22、別層流與湍流的區別 層流層流 湍流湍流 1. 外觀外觀 色線規則，流動分色線規則，流動分 層，外表光滑層，外表光滑 流動紊亂不規則，外表流動紊亂不規則，外表 粗糙粗糙 2. Re較小較小較大較大 3. 質量與質量與 動量交換動量交換 層間只限于分子層間只限于分子 間的較小的擴散間的較小的擴散 宏觀微團縱、橫向大宏觀微團縱、橫向大 的質量、動量交換的質量、動量交換 4. 速度分速度分 布布 較尖瘦的拋物線分較尖瘦的拋物線分 布，壁面附近速度布，壁面附近速度 和梯度都相對較小和梯度都相對較小 較飽滿的對數分布，壁面較飽滿的對數分布，壁面 附近速度和梯度相對較大附近速度和梯度相對較大 5. 損失損失

23、隨隨Re增加而降低增加而降低 隨隨Re增加轉捩時損失增加增加轉捩時損失增加 6. 剪應力剪應力牛頓應力及雷諾應力牛頓應力及雷諾應力牛頓應力牛頓應力 EXIT 1、理想流體和粘性流體作用面受力差別、理想流體和粘性流體作用面受力差別 流體處于靜止狀態，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力流體處于靜止狀態，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力 和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運動狀態和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運動狀態 下流體質點之間可以存在相對運動，但不具有抵抗剪切變形下流體質點之間可以存在相對運動，但不具有抵抗剪切變形 的能力。因此，作用于流體內部任意面上的力只有正（法）的能力。

24、因此，作用于流體內部任意面上的力只有正（法） 向力，無切向力。向力，無切向力。 粘性流體在運動狀態下，流體質點之間可以存在相對運粘性流體在運動狀態下，流體質點之間可以存在相對運 動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內部動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內部 任意面上力既有正向力，也有切向力。任意面上力既有正向力，也有切向力。 EXIT 在粘性流體運動中，由于存在切向力，過任意一點單位在粘性流體運動中，由于存在切向力，過任意一點單位 面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小 也不一定相等。因此，作用于任意方

25、向微元面積上合應力可也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應力可 分解為法向應力和切向應力。分解為法向應力和切向應力。 4.3 粘性流體的應力狀態粘性流體的應力狀態 如果作用面的法線方向與坐標軸重合，則合應力可分解如果作用面的法線方向與坐標軸重合，則合應力可分解 為三個分量，其中垂直于作用面的為法應力，另外兩個與作為三個分量，其中垂直于作用面的為法應力，另外兩個與作 用面相切為切應力，分別平行于另外兩個坐標軸，為切應力用面相切為切應力，分別平行于另外兩個坐標軸，為切應力 在坐標軸向的投影分量。在坐標軸向的投影分量。 2、粘性流體中的應力狀態、粘性流體中的應力狀態 EXIT kji xz

26、xyxxx kji yzyyyxy kji zzzyzxz 4.3 粘性流體的應力狀態粘性流體的應力狀態 由此可見，用兩個下標可把各個應力分量的作用面方位由此可見，用兩個下標可把各個應力分量的作用面方位 和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方 向，第二個下標表示應力分量的投影方向。向，第二個下標表示應力分量的投影方向。 如，對于如，對于x面的合應力可表示為面的合應力可表示為 y面的合應力表達式為面的合應力表達式為 z面的合應力表達式為面的合應力表達式為 EXIT 如果在同一點上給定三個相互垂直坐標面上的應力，那么如果在同一點上給

27、定三個相互垂直坐標面上的應力，那么 過該點任意方向作用面上的應力可通過坐標變換唯一確定。過該點任意方向作用面上的應力可通過坐標變換唯一確定。 上面這個結論可利用對微元六面體的動量矩定理得到證明上面這個結論可利用對微元六面體的動量矩定理得到證明 。 4.3 粘性流體的應力狀態粘性流體的應力狀態 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 我們把三個坐標面上的九個應力分量稱為該點的應力狀我們把三個坐標面上的九個應力分量稱為該點的應力狀 態，由這九個應力分量組成的矩陣稱為應力矩陣（或應力張態，由這九個應力分量組成的矩陣稱為應力矩陣（或應力張 量）。量）。 這九個應力分量并不全部獨力，其中的六個切向應力

28、是兩兩這九個應力分量并不全部獨力，其中的六個切向應力是兩兩 相等的，所以獨力的一共是三個法向的，三個切向的。相等的，所以獨力的一共是三個法向的，三個切向的。 zyyzzxxzyxxy EXIT （1）在理想流體中，不存在切應力，三個法向應力相等，）在理想流體中，不存在切應力，三個法向應力相等， 等于該點壓強的負值。即等于該點壓強的負值。即 （2）在粘性流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的）在粘性流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的 法向應力之和為一個不變量，并定義此不變量的平均值為法向應力之和為一個不變量，并定義此不變量的平均值為 該點的平均壓強的負值。即該點的平均壓強的負值。即 （3

29、）在粘性流體中，任意面上的切應力一般不為零。）在粘性流體中，任意面上的切應力一般不為零。 p zzyyxx 3 zzyyxx p 0, 0 xzxy 4.3 粘性流體的應力狀態粘性流體的應力狀態 EXIT Stokes（1845年）根據牛頓內摩擦定理的啟發，（粘性流體作直年）根據牛頓內摩擦定理的啟發，（粘性流體作直 線層狀流動時，流層之間的切應力與速度梯度成正比）并在做了線層狀流動時，流層之間的切應力與速度梯度成正比）并在做了 一些合理的假設之后，一些合理的假設之后， 將牛頓內摩擦定律進行推廣，提出廣義將牛頓內摩擦定律進行推廣，提出廣義 牛頓內摩擦定理牛頓內摩擦定理應力應變率關系（或稱本構關系

30、）：應力應變率關系（或稱本構關系）： y v z w y v x u p yy 2)( 3 2 z w z w y v x u p zz 2)( 3 2 x u z w y v x u p xx 2)( 3 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 這個關系將六個應力與微團的變形率直接聯系（線性關系）。滿這個關系將六個應力與微團的變形率直接聯系（線性關系）。滿 足上述關系的流體稱為牛頓流體。足上述關系的流體稱為牛頓流體。 EXIT 對于不可壓縮流體，上述應力應變率關系可化簡為：對于不可壓縮流體，上述應力應變率關系可化簡為： y v p yy 2 z w p zz 2

31、 x u p xx 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 4.4 廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）廣義牛頓內摩擦定理（本構關系） EXIT 1、流體運動的基本方程、流體運動的基本方程 利用牛頓第二定理推導以應力形式表示的流體運動微分利用牛頓第二定理推導以應力形式表示的流體運動微分 方程。向推導歐拉方程一樣，在流場中取一個微元六面體方程。向推導歐拉方程一樣，在流場中取一個微元六面體 進行分析，以進行分析，以x方向為例，建立運動方程。方向為例，建立運動方程。 作用在作用在ABCD和和ABCD兩個側面的兩個側面的 法向力差是：法向力差是： )(zyx x xx 作用在作

32、用在ABBA和和CDCD兩個側面的兩個側面的 切向力差是：切向力差是： )(zxy y yx EXIT Dt Du mFx Dt Du zyxzyx z zyx y zyx x zyxf zx yx xx x )()()()()( 作用在作用在ADAD和和BCBC兩個側面的切向力差是：兩個側面的切向力差是： )(yxz z zx 仍然設單位質量徹體力分量為：仍然設單位質量徹體力分量為：fx , fy , fz ,按照牛頓第二按照牛頓第二 定律：定律： Dt Du 是歐拉法表示的加速度或速度的物質導數。是歐拉法表示的加速度或速度的物質導數。 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-

33、Stokes方程方程 EXIT zyx f Dt Du zx yx xx x 或：或： 同理：同理： zyx f Dt Dv zyyyxy y zyx f Dt Dw zz yz xz z 將反映粘性應力與變形率關系的廣義牛頓內摩擦定理代入將反映粘性應力與變形率關系的廣義牛頓內摩擦定理代入 上式右端，即得到粘性流動的運動方程上式右端，即得到粘性流動的運動方程 NS 方程：方程： 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT u z w y v x u xx p f Dt Du x 2 3 1 v z w y v x u yy p f Dt Dv y 2

34、3 1 w z w y v x u zz p f Dt Dw z 2 3 1 其中其中 是拉普拉斯算子：是拉普拉斯算子： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 可見，對于理想流右端的粘性項為零，方程化為歐拉方程。可見，對于理想流右端的粘性項為零，方程化為歐拉方程。 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 寫成向量形式寫成向量形式 為為VVpf Dt VD )( 3 1 EXIT 當當不可壓時，根據連續方程：不可壓時，根據連續方程： 0 z w y v x u 則不可壓粘流的則不可壓粘流的 NS方程寫為：方程寫為： u x p f Dt Du x 2 v y

35、 p f Dt Dv y 2 w z p f Dt Dw z 2 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT Vpf Dt VD 1 用用 三個方向的單位向量三個方向的單位向量 i 、j、k 分別乘上三式并相加，分別乘上三式并相加， 可得不可壓粘流可得不可壓粘流 N-S方程比較簡捷的向量形式：方程比較簡捷的向量形式： 2 2 2 2 2 2 2 zyx k z j y i x 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 kwj vi uV 其中其中為速度分量為速度分量 為哈密頓算子為哈密頓算子 為拉普拉斯算子為拉普拉斯算

36、子 kfjfiff zyx 為單位質量的質量力為單位質量的質量力 EXIT 與第二章一樣，這個方程中速度的隨體導數可以加以分與第二章一樣，這個方程中速度的隨體導數可以加以分 解，把渦量分離出來，寫成格羅米柯形式的方程也稱為解，把渦量分離出來，寫成格羅米柯形式的方程也稱為 Lamb型方程。這樣有利于研究流體的有旋性：型方程。這樣有利于研究流體的有旋性： VpfV V t V 1 2 2 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 2、 Bernoulli積分積分 與與Bernoulli積分理想流體運動方程類似，積分積分理想流體運動方程類似，積分N-S方方 程假定程

37、假定:（1）不可壓縮粘性流體；（）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（）定常流動；（3） 質量力有勢；（質量力有勢；（4）沿流線積分。）沿流線積分。 沿流線積分沿流線積分N-S方程，可推導出粘性流體的能量方程方程，可推導出粘性流體的能量方程 。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項因粘性引起。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項因粘性引起 的損失項，表示流體質點克服粘性應力所消耗的能量。的損失項，表示流體質點克服粘性應力所消耗的能量。 EXIT kdzjdyidxsd kujuiuu zyx 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 在粘性不可壓縮定常流動中

38、，任取一條流線，在流線在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線 上某處取一微段上某處取一微段ds，該處所對應的流速為，該處所對應的流速為 對不可壓對不可壓N-S方程的三個分量分別乘方程的三個分量分別乘 dx、dy、dz后相加得：后相加得： sdVpfsd Dt VD dzw z p fdz Dt Dw dyv y p fdy Dt Dv dxu x p fdx Dt Du z y x 1 1 1 1 EXIT 定常情況下，上式左端即：定常情況下，上式左端即： wdyvdzwdxudzvdxudy dz w dy v dx u ，即：, )()()(wdzvdyudx z wwdzvdyu

39、dx y vwdzvdyudx x usd Dt VD 注意到沿流線有流線方程：注意到沿流線有流線方程： 前式右端第一項可由流線方程進行變量替換，得：前式右端第一項可由流線方程進行變量替換，得： wdx x wvdx x vudx x uwdzvdyudx x u )( dx V x dx wvu x2 ) 2 ( 2222 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 徹體力有勢徹體力有勢，因此有：，因此有： 不可壓縮流動，有：不可壓縮流動，有： 粘性項寫成為粘性項寫成為 dy V y dy V y2 , 2 22 ddz z dy y dx x dz

40、fdyfdxf zyx )( p ddz z p dy y p dx x p ) 111 ( )(dzvdyvdxv zyx 第二、三項同理可替換為：第二、三項同理可替換為： 三項之和為：三項之和為： 2222 2222 V ddy V y dy V y dx V x sd Dt vD 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項與粘與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項與粘 性有關的項，物理上表示單位質量流體質點克服粘性應力所性有關的項，物理上表示單位質量流體質點克服粘性應力所 做的功，代表機械能的損

41、失，不可能再被流體質點機械運動做的功，代表機械能的損失，不可能再被流體質點機械運動 所利用。故稱其為單位質量流體的機械能損失或能量損失。所利用。故稱其為單位質量流體的機械能損失或能量損失。 對于質量力只有重力的情況，方程的形式變為對于質量力只有重力的情況，方程的形式變為 方程兩邊同除以方程兩邊同除以g，得到，得到 表示單位重量流體總機械能量沿流線的變化。表示單位重量流體總機械能量沿流線的變化。 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp gyd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx gg Vp yd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp d 從而不可壓從而不可壓N-S方程，在

42、定常沿流線條件下可寫為：方程，在定常沿流線條件下可寫為： 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 如果令如果令 能量方程變為能量方程變為 單位重量流體所具有的機械能為單位重量流體所具有的機械能為 ；單位重量流體粘；單位重量流體粘 性力所做的功為性力所做的功為 。沿著同一條流線積分，得到：。沿著同一條流線積分，得到： )(wdzvdyudx g hd w 0) 2 ( 2 w hd g Vp yd g Vp y 2 2 w h d 2 1 2 22 2 2 11 1 22 w hd g Vp y g Vp y 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程

43、Navier-Stokes方程方程 EXIT 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 21 2 22 2 2 11 1 22 w h g Vp y g Vp y 上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單 位重量流體的所具有的機械能總是沿程減小的，不位重量流體的所具有的機械能總是沿程減小的，不 能保持守恒（理想流體時，總機械能是保持守恒的能保持守恒（理想流體時，總機械能是保持守恒的 ，無機械能損失），減小的部分代表流體質點克服，無機械能損失），減小的部分代表流體質點克服 粘性應力做功所消耗的機械能量。粘性流體的粘性應力做

44、功所消耗的機械能量。粘性流體的 Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論積分方程說明，粘性流體在流動中，無論 勢能、壓能和動能如何轉化，但總機械能是沿程減勢能、壓能和動能如何轉化，但總機械能是沿程減 小的，總是從機械能高的地方流向機械能低的地方小的，總是從機械能高的地方流向機械能低的地方 。 EXIT NS方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計 算機用數值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上，算機用數值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上，NS 方程也有解析解。方程也有解析解。 例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動，二壁固定。例

45、：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動，二壁固定。 2b x y 解解: 設流動定常，徹體力可略。設流動定常，徹體力可略。 二維不可壓二維不可壓 NS NS 方程寫為：方程寫為： )( 1 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u )( 1 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u 3. N-S方程的解析解舉例方程的解析解舉例* 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 由于由于 ，第二個方程化為，第二個方程化為：0),(vyuu 0 y p 即在流動橫截面壓強不變。又第一個方程化為即在流動橫截面壓強不變。又

46、第一個方程化為： x p y u 2 2 對對 y 積分，注意到積分，注意到 不是不是 y 的函數，對的函數，對 y 積分時當常數看積分時當常數看 x p ) 2 )( 1 21 2 CyC y x p u 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 由邊界條件定常數由邊界條件定常數 C1 和和 C2 ：y=b 處，處，u=0，定得，定得 C10， C2b2/2，于是：，于是： )( 2 1 22 yb x p u 即即 u 在在y 向作拋物線分布。中心點流速為：向作拋物線分布。中心點流速為： 表明沿表明沿x軸軸 是個負值，即壓強是逐步下降的。一段長是

47、個負值，即壓強是逐步下降的。一段長 度度 L 上的壓降是：上的壓降是： 2 max 2 1 b x p u x p 2 max /2bLup 這個壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。這個壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 管道平均流速為：管道平均流速為： max 2 0 3 2 )( 3 11 ub x p dyu b u b 壁面摩擦應力為：壁面摩擦應力為： b x p y u by 0 一段長一段長 L 的壁面上摩擦應力是：的壁面上摩擦應力是： 兩側壁面上的總摩擦力是兩側壁面上的總摩擦力是 LL 00 ) 1( b

48、L x p L)(22 0 這個力剛好等于壓降乘以通道面積，說明流動的損失完全消耗這個力剛好等于壓降乘以通道面積，說明流動的損失完全消耗 在克服壁面摩擦上了。在克服壁面摩擦上了。 4.5 粘性流體運動方程粘性流體運動方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 4.6 流動相似及相似準則流動相似及相似準則* 有了有了NS方程，我們可以看一看考慮粘性的作用在內方程，我們可以看一看考慮粘性的作用在內 ，流動要符合什么條件才能相似。要流動相似，毫無疑問，流動要符合什么條件才能相似。要流動相似，毫無疑問 首先要求對流動起擾動作用的物體形狀要相似，即尺寸成首先要求對流動起擾動作用的物體形狀要相似，即

49、尺寸成 比例。假設有兩個流場，一個記為比例。假設有兩個流場，一個記為1，另一個記為，另一個記為2，兩個，兩個 流動的各項參數之間的比例關系為：流動的各項參數之間的比例關系為： ,. , 12 12 12 12 12 12 121212 xgx p v t lll frf r prp vrv r t rt zrzyryxrx 其中的其中的 r 是比例系數，下標代表了是比例系數，下標代表了 相應的參數。相應的參數。 1 2 EXIT 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 3 1 x z y x x x v z v y v x v xx p f Dt Dv 將上述比例

50、關系代入第二個流場的將上述比例關系代入第二個流場的x方向方向NS方程：方程： 可得：可得： 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 )( )( 3 11 )( )()( z v y v x v rr rr z v y v x v xrr rr x p rr r fr z v v y v v x v v r r t v r r xxx l v z y x l v l p xg z z x y x x l vx t v 4.6 流動相似及相似準則流動相似及相似準則* EXIT 方程的各不同類型的項都出來一個各比例常數所組成的數方程的各不同類型的項都出來一個各比例常數所組成的數 ，如果這些數相等，那么流場，如果這些數相等，那么流場 2 的方程就變成流場的方程就變成流場 1 的方的方 程了。方程一樣，無量綱的邊界條件也一樣，流動就相似程了。方程一樣，無量綱的邊界條件也