1、EXIT 4.1、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響 4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流 4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系） 4.5、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 4.6、流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則、流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則 EXIT 1、流體的粘滯性、流體的粘滯性 在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn)在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對(duì)于不同種流動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對(duì)于不同種流 體所承受剪力大

2、小是不同的。體所承受剪力大小是不同的。 流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下抵抗流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下抵抗 剪切變形能力。剪切變形能力。 流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn) 動(dòng)。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相動(dòng)。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相 對(duì)運(yùn)動(dòng)能力。對(duì)運(yùn)動(dòng)能力。 EXIT 流體抵抗剪切變形能力，可通過(guò)流層之間的剪流體抵抗剪切變形能力，可通過(guò)流層之間的剪 切力表現(xiàn)出來(lái)。（這個(gè)剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。流切力表現(xiàn)出來(lái)。（這個(gè)剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。流 體在流動(dòng)過(guò)程中，必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此體在流動(dòng)過(guò)程中，必然要克服內(nèi)

3、摩擦力做功，因此 流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。 牛頓的內(nèi)摩擦定律（牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年）年） F=AU/h F h U EXIT =/ 流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。量綱量綱 =L2/T ， 單位單位m2/s 。 水：水： 1.139 10-6，空氣：，空氣：1.461 10-5 。 h U A F 流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無(wú)關(guān)。流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無(wú)關(guān)。 設(shè)設(shè) 表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力）， 則則 流體的動(dòng)力粘性系數(shù)。量綱流體的動(dòng)力粘性系數(shù)

4、。量綱=M/L/T，單位，單位 Ns/m2=Pas 。水：。水：1.139 10-3，空氣：，空氣：1.7894 10-5 。 EXIT 一般流層速度分布不是直線，如下圖所示。一般流層速度分布不是直線，如下圖所示。 u yy F=Adu/dy =du/dy du/dy 表示單位高度流層的速度增量，稱為流表示單位高度流層的速度增量，稱為流 速梯度。速梯度。 EXIT 速度梯度速度梯度du/dy物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形 速度，如圖所示。速度，如圖所示。 d =dudt/dy d /dt=du/dy 流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為 n

5、 dy du BA d dy dudt u+du u EXIT 1 = 0+du/dy 2 =（du/dy）0.5 3 =du/dy 4 =(du/dy)2 5 理想流體理想流體 1-bingham流體，泥漿、血漿、牙膏等流體，泥漿、血漿、牙膏等 2-偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等 3-牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等 4-脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等 5-理想流體，無(wú)粘流體。理想流體，無(wú)粘流體。 du/dy 1 2 3 4 5 0 EXIT 自然界中流體都是有粘性的，因此粘性對(duì)流體自然界中流體都是有

6、粘性的，因此粘性對(duì)流體 運(yùn)動(dòng)的影響是普遍存在的。但對(duì)于具體的流動(dòng)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)的影響是普遍存在的。但對(duì)于具體的流動(dòng)問(wèn)題 ，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空，粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空 氣這樣的小粘性流體，對(duì)于某些問(wèn)題忽略粘性的作氣這樣的小粘性流體，對(duì)于某些問(wèn)題忽略粘性的作 用可得到滿意的結(jié)果。因此為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，提出了用可得到滿意的結(jié)果。因此為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，提出了 理想流體的概念和理論。理想流體的概念和理論。 2、粘性流體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、粘性流體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 以下用若干流動(dòng)事例說(shuō)明粘性流動(dòng)與無(wú)粘流動(dòng)以下用若干流動(dòng)事例說(shuō)明粘性流動(dòng)與無(wú)粘流動(dòng) 的差別。的差別。 EXIT （1）繞過(guò)平板的均直

7、流動(dòng)）繞過(guò)平板的均直流動(dòng) 當(dāng)理想流體繞過(guò)平板（無(wú)厚度）時(shí)，平板對(duì)流當(dāng)理想流體繞過(guò)平板（無(wú)厚度）時(shí)，平板對(duì)流 動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，在平板表面，允許流體質(zhì)點(diǎn)滑動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，在平板表面，允許流體質(zhì)點(diǎn)滑 過(guò)平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條過(guò)平板，但不允許穿透平板（通常稱作為不穿透條 件）。平板對(duì)流動(dòng)無(wú)阻滯作用，平板阻力為零。件）。平板對(duì)流動(dòng)無(wú)阻滯作用，平板阻力為零。 EXIT L f dxD 0 0 2 但如果是粘性流體，情況就不同了。由于存在粘但如果是粘性流體，情況就不同了。由于存在粘 性，緊貼平板表面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上，與平板性，緊貼平板表面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上，與平板 表面不存

8、在相對(duì)運(yùn)動(dòng)（既不允許穿透，也不允許滑動(dòng)表面不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)（既不允許穿透，也不允許滑動(dòng) ），這就是說(shuō)，在邊界面上流體質(zhì)點(diǎn)必須滿足不穿透），這就是說(shuō)，在邊界面上流體質(zhì)點(diǎn)必須滿足不穿透 條件和不滑移條件。條件和不滑移條件。 隨著離開平板距離的增大，流體速度由壁面處的隨著離開平板距離的增大，流體速度由壁面處的 零值迅速增大到來(lái)流的速度。這樣在平板近區(qū)存在著零值迅速增大到來(lái)流的速度。這樣在平板近區(qū)存在著 速度梯度很大的流動(dòng)，因此流層之間的粘性切應(yīng)力就速度梯度很大的流動(dòng)，因此流層之間的粘性切應(yīng)力就 不能忽略，對(duì)流動(dòng)起控制作用。這個(gè)區(qū)稱為邊界層。不能忽略，對(duì)流動(dòng)起控制作用。這個(gè)區(qū)稱為邊界層。 平板對(duì)流動(dòng)起阻

9、滯作用，平板的阻力不為零。即平板對(duì)流動(dòng)起阻滯作用，平板的阻力不為零。即 EXIT 沿平板的邊界層實(shí)驗(yàn)演示沿平板的邊界層實(shí)驗(yàn)演示 EXIT 無(wú)滑移實(shí)驗(yàn)演示無(wú)滑移實(shí)驗(yàn)演示 與物面的粘附條件（無(wú)滑移條件）是粘性與物面的粘附條件（無(wú)滑移條件）是粘性 流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志 EXIT （2）圓柱繞流）圓柱繞流 理想流體繞流圓柱時(shí)，在圓柱上存在前駐點(diǎn)理想流體繞流圓柱時(shí)，在圓柱上存在前駐點(diǎn)A， 后駐點(diǎn)后駐點(diǎn)D，最大速度點(diǎn)，最大速度點(diǎn)B、C。中心流線在前駐點(diǎn)分。中心流線在前駐點(diǎn)分 叉，后駐點(diǎn)匯合。叉，后駐點(diǎn)匯合。 EXIT 根據(jù)根據(jù)Bernoulli方程，在流

10、體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的流方程，在流體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的流 動(dòng)過(guò)程中，在動(dòng)過(guò)程中，在AB（C）區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)在）區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)流速點(diǎn)流速 為零，壓強(qiáng)最大，以后質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程減小，流速為零，壓強(qiáng)最大，以后質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程減小，流速 沿程增大，到達(dá)沿程增大，到達(dá)B（C）點(diǎn)流速最大，壓強(qiáng)最小。該）點(diǎn)流速最大，壓強(qiáng)最小。該 區(qū)屬于增速減壓區(qū)，是順壓梯度區(qū)。區(qū)屬于增速減壓區(qū)，是順壓梯度區(qū)。 EXIT 在在B（C）D區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程增大，區(qū)，流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)沿程增大， 流速沿程減小，到達(dá)流速沿程減小，到達(dá)D點(diǎn)壓強(qiáng)最大，流速為零。點(diǎn)壓強(qiáng)最大，流速為零。該該 區(qū)屬于減速增壓區(qū)，是逆壓梯度區(qū)。區(qū)屬于減速增壓區(qū)，是逆壓梯

11、度區(qū)。 EXIT 0)cos( 2 R s dspD 在流體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的過(guò)程中，只有動(dòng)能、壓在流體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的過(guò)程中，只有動(dòng)能、壓 能的相互轉(zhuǎn)換，而無(wú)機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無(wú)機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓 強(qiáng)分布對(duì)稱，無(wú)阻力存在。（著名的達(dá)朗貝爾佯謬強(qiáng)分布對(duì)稱，無(wú)阻力存在。（著名的達(dá)朗貝爾佯謬 或達(dá)朗貝爾疑題）?；蜻_(dá)朗貝爾疑題）。 EXIT 對(duì)于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很對(duì)于粘性流體的繞流，與理想流體繞流存在很 大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物大的差別。由于流體與固壁表面的粘附作用，在物 面近區(qū)將產(chǎn)生邊界層。面近區(qū)將產(chǎn)生邊界層。 EXIT 受流體粘性的

12、阻滯作用，流體質(zhì)點(diǎn)在由受流體粘性的阻滯作用，流體質(zhì)點(diǎn)在由A點(diǎn)到點(diǎn)到B點(diǎn)的點(diǎn)的 流程中，將消耗部分動(dòng)能用之克服摩擦阻力做功，流程中，將消耗部分動(dòng)能用之克服摩擦阻力做功， 以至使其無(wú)法滿足由以至使其無(wú)法滿足由B點(diǎn)到點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，壓點(diǎn)壓力升高的要求，壓 強(qiáng)分布與理想流體繞流不同。強(qiáng)分布與理想流體繞流不同。 EXIT 隨著雷諾數(shù)隨著雷諾數(shù) 的不同，繞流壓強(qiáng)分布也不同的不同，繞流壓強(qiáng)分布也不同 。 但它們與理想流動(dòng)的有一個(gè)共同區(qū)別在于粘性流但它們與理想流動(dòng)的有一個(gè)共同區(qū)別在于粘性流 動(dòng)中圓柱體的背風(fēng)面動(dòng)中圓柱體的背風(fēng)面Cp為負(fù)值。為負(fù)值。 DV Re 下圖給出了不同雷諾數(shù)時(shí)圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)下

13、圖給出了不同雷諾數(shù)時(shí)圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)Cp分布。分布。 EXIT 在下游點(diǎn)在下游點(diǎn)=0=0處處 Cp=+1.0 理想流體理想流體 Cp=-1.1 層流，層流， Cp=-0.7 湍流，湍流， Cp=-0.1 湍流，湍流， 5 109 . 1Re 6 104 . 8Re 5 107 . 6Re EXIT 背風(fēng)面的壓強(qiáng)小于迎風(fēng)面背風(fēng)面的壓強(qiáng)小于迎風(fēng)面 的壓強(qiáng)，壓強(qiáng)分布不對(duì)稱的壓強(qiáng)，壓強(qiáng)分布不對(duì)稱 使圓柱體受到流體給它的使圓柱體受到流體給它的 阻力，阻力的方向指向下阻力，阻力的方向指向下 游。游。 R s dspD 2 0 )cossin( 進(jìn)一步的研究表明，圓柱進(jìn)一步的研究表明，圓柱 表面的粘性流體

14、流動(dòng)在靠近尾表面的粘性流體流動(dòng)在靠近尾 部的某個(gè)區(qū)域?qū)a(chǎn)生邊界層分部的某個(gè)區(qū)域?qū)a(chǎn)生邊界層分 離，從而形成圓柱體下游一個(gè)離，從而形成圓柱體下游一個(gè) 由旋渦組成的尾流區(qū)。尾流區(qū)由旋渦組成的尾流區(qū)。尾流區(qū) 的流動(dòng)性質(zhì)隨的流動(dòng)性質(zhì)隨Re數(shù)的變化有所數(shù)的變化有所 不同。不同。 EXIT 繞球流動(dòng)的流場(chǎng)顯示繞球流動(dòng)的流場(chǎng)顯示 EXIT 無(wú)逆壓梯度的平板邊界層沿流向會(huì)變厚但不分離，無(wú)逆壓梯度的平板邊界層沿流向會(huì)變厚但不分離， 有摩擦阻力（平板邊界層流動(dòng)實(shí)驗(yàn)演示：）有摩擦阻力（平板邊界層流動(dòng)實(shí)驗(yàn)演示：） EXIT 有逆壓梯度時(shí)，邊界層變厚并可能分離有逆壓梯度時(shí)，邊界層變厚并可能分離 （低速擴(kuò)壓段中的邊界層與

15、分離實(shí)驗(yàn)演示：）（低速擴(kuò)壓段中的邊界層與分離實(shí)驗(yàn)演示：） EXIT 圓柱繞流有較大的逆壓梯度，必然分離圓柱繞流有較大的逆壓梯度，必然分離 （圓柱繞流分離細(xì)節(jié)實(shí)驗(yàn)演示：）（圓柱繞流分離細(xì)節(jié)實(shí)驗(yàn)演示：） EXIT 綜合上述所述，結(jié)論如下：綜合上述所述，結(jié)論如下： （1）粘性摩擦切應(yīng)力與物面的粘附條件（無(wú)滑移）粘性摩擦切應(yīng)力與物面的粘附條件（無(wú)滑移 條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要 標(biāo)志。標(biāo)志。 （2）粘性的存在是產(chǎn)生阻力的主要原因。）粘性的存在是產(chǎn)生阻力的主要原因。 （3）邊界層的分離必要條件是，流體的粘性和逆）邊界層的分離必要條件是，流體的

16、粘性和逆 壓梯度。壓梯度。 （4）粘性對(duì)于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦）粘性對(duì)于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦 的擴(kuò)散等問(wèn)題起主導(dǎo)作用，不能忽略。的擴(kuò)散等問(wèn)題起主導(dǎo)作用，不能忽略。 EXIT 雷諾（雷諾（Osborne Reynolds， 18421921，英國(guó)工程師兼物理學(xué)，英國(guó)工程師兼物理學(xué) 家，維多利亞大學(xué)教授）最早詳細(xì)家，維多利亞大學(xué)教授）最早詳細(xì) 研究了管道中粘性流體的流動(dòng)狀態(tài)研究了管道中粘性流體的流動(dòng)狀態(tài) 及其影響因素。及其影響因素。 1880年，年，用管用管徑徑2.54cm、長(zhǎng)度、長(zhǎng)度1.372m玻璃管進(jìn)玻璃管進(jìn) 行了著名的流態(tài)轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)，并于行了著名的流態(tài)轉(zhuǎn)捩試驗(yàn)，并于1883

17、年在一篇論文年在一篇論文 中明確指出了管中水流存在層流和湍流（紊流）兩中明確指出了管中水流存在層流和湍流（紊流）兩 種流態(tài)。種流態(tài)。 EXIT 層流是指流體質(zhì)點(diǎn)不互相混雜，流體質(zhì)點(diǎn)作有條層流是指流體質(zhì)點(diǎn)不互相混雜，流體質(zhì)點(diǎn)作有條 不紊的有序的運(yùn)動(dòng)。不紊的有序的運(yùn)動(dòng)。 紊流是一種雜亂無(wú)章、互相混摻，不規(guī)則的隨機(jī)紊流是一種雜亂無(wú)章、互相混摻，不規(guī)則的隨機(jī) 運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 EXIT EXIT 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同的流態(tài)對(duì)于流動(dòng)的摩擦阻力、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同的流態(tài)對(duì)于流動(dòng)的摩擦阻力、 壓力損失、速度分布等影響很大。壓力損失、速度分布等影響很大。 DV Re 流態(tài)從層流到湍流的過(guò)渡稱為轉(zhuǎn)捩。流態(tài)從層流到湍流的過(guò)渡稱

18、為轉(zhuǎn)捩。 實(shí)驗(yàn)表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個(gè)流實(shí)驗(yàn)表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個(gè)流 動(dòng)參數(shù)動(dòng)參數(shù)V ,等，而是取決于無(wú)量綱的組合量等，而是取決于無(wú)量綱的組合量 Re 這就是管道粘性運(yùn)動(dòng)的相似參數(shù)，雷諾數(shù)。這就是管道粘性運(yùn)動(dòng)的相似參數(shù)，雷諾數(shù)。 EXIT 在非管道流動(dòng)中，也存在這兩種不同的流態(tài)：在非管道流動(dòng)中，也存在這兩種不同的流態(tài)： 層流與湍流，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小層流與湍流，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小 有關(guān)。有關(guān)。 雷諾數(shù)之所以對(duì)流態(tài)起著重要作用，從而對(duì)粘雷諾數(shù)之所以對(duì)流態(tài)起著重要作用，從而對(duì)粘 性流體運(yùn)動(dòng)的其他特性起著重要作用，在于雷諾數(shù)性流體運(yùn)動(dòng)的其他特性起著重

19、要作用，在于雷諾數(shù) 具有很強(qiáng)的物理意義。具有很強(qiáng)的物理意義。 雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)代表作用在流體微雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)代表作用在流體微 團(tuán)上的慣性力與粘性力之比。團(tuán)上的慣性力與粘性力之比。 EXIT 慣性力正比于質(zhì)量乘加速度。慣性力正比于質(zhì)量乘加速度。 其中，質(zhì)量正比于密度乘尺度的其中，質(zhì)量正比于密度乘尺度的 3 次方次方: L L3 3 加速度正比于速度加速度正比于速度 2 2 次方和尺度次方和尺度1 1次方：次方：V V2 2L L-1 -1 從而慣性力正比于：從而慣性力正比于： V2L2 粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積。粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積。 其中，剪應(yīng)力正比于粘性系數(shù)乘速度其中，

20、剪應(yīng)力正比于粘性系數(shù)乘速度1次方和尺度的次方和尺度的 1次方次方: VL-1 -1 ， ， 面積正比于尺度面積正比于尺度2 2次方：次方：L L2 2 從而粘性力正比于：從而粘性力正比于： VL 因此慣性力與粘性力之比正比于：因此慣性力與粘性力之比正比于：VL/ , 此即雷此即雷 諾數(shù)。諾數(shù)。 EXIT 慣性力的作用是促使質(zhì)點(diǎn)失穩(wěn)，擾動(dòng)放大；粘性慣性力的作用是促使質(zhì)點(diǎn)失穩(wěn)，擾動(dòng)放大；粘性 力的作用是對(duì)質(zhì)點(diǎn)起約束作用的，是遏制擾動(dòng)的。力的作用是對(duì)質(zhì)點(diǎn)起約束作用的，是遏制擾動(dòng)的。 流動(dòng)為紊流時(shí)，流動(dòng)為紊流時(shí)，Re數(shù)較大，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)慣性力大數(shù)較大，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)慣性力大 于粘性力，流動(dòng)失去穩(wěn)定。于粘性力，流

21、動(dòng)失去穩(wěn)定。 流動(dòng)為層流時(shí)，流動(dòng)為層流時(shí)，Re數(shù)較小，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)粘性力大數(shù)較小，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)粘性力大 于慣性力，流動(dòng)穩(wěn)定，層次分明。于慣性力，流動(dòng)穩(wěn)定，層次分明。 EXIT 在管道紊流中，由于流體質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)脈動(dòng)，致在管道紊流中，由于流體質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)脈動(dòng)，致 使流層之間的動(dòng)量發(fā)生不斷的交換，快層流體速度使流層之間的動(dòng)量發(fā)生不斷的交換，快層流體速度 減慢，慢層流體速度增大，造成時(shí)均流速分布更加減慢，慢層流體速度增大，造成時(shí)均流速分布更加 均勻。均勻。 EXIT 層流與層流與 湍流的對(duì)比湍流的對(duì)比 管道雷諾實(shí)驗(yàn)管道雷諾實(shí)驗(yàn)平板邊界層：上：平板邊界層：上： 湍流湍流 下：層流下：層流 EXIT 層流與湍流的區(qū)

22、別層流與湍流的區(qū)別 層流層流 湍流湍流 1. 外觀外觀 色線規(guī)則，流動(dòng)分色線規(guī)則，流動(dòng)分 層，外表光滑層，外表光滑 流動(dòng)紊亂不規(guī)則，外表流動(dòng)紊亂不規(guī)則，外表 粗糙粗糙 2. Re較小較小較大較大 3. 質(zhì)量與質(zhì)量與 動(dòng)量交換動(dòng)量交換 層間只限于分子層間只限于分子 間的較小的擴(kuò)散間的較小的擴(kuò)散 宏觀微團(tuán)縱、橫向大宏觀微團(tuán)縱、橫向大 的質(zhì)量、動(dòng)量交換的質(zhì)量、動(dòng)量交換 4. 速度分速度分 布布 較尖瘦的拋物線分較尖瘦的拋物線分 布，壁面附近速度布，壁面附近速度 和梯度都相對(duì)較小和梯度都相對(duì)較小 較飽滿的對(duì)數(shù)分布，壁面較飽滿的對(duì)數(shù)分布，壁面 附近速度和梯度相對(duì)較大附近速度和梯度相對(duì)較大 5. 損失損失

23、隨隨Re增加而降低增加而降低 隨隨Re增加轉(zhuǎn)捩時(shí)損失增加增加轉(zhuǎn)捩時(shí)損失增加 6. 剪應(yīng)力剪應(yīng)力牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力牛頓應(yīng)力牛頓應(yīng)力 EXIT 1、理想流體和粘性流體作用面受力差別、理想流體和粘性流體作用面受力差別 流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力 和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 下流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但不具有抵抗剪切變形下流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但不具有抵抗剪切變形 的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正（法）的能力。

24、因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正（法） 向力，無(wú)切向力。向力，無(wú)切向力。 粘性流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn)粘性流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對(duì)運(yùn) 動(dòng)，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部動(dòng)，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部 任意面上力既有正向力，也有切向力。任意面上力既有正向力，也有切向力。 EXIT 在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，由于存在切向力，過(guò)任意一點(diǎn)單位在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，由于存在切向力，過(guò)任意一點(diǎn)單位 面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個(gè)方向的大小面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個(gè)方向的大小 也不一定相等。因此，作用于任意方

25、向微元面積上合應(yīng)力可也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可 分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。 4.3 粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解 為三個(gè)分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個(gè)與作為三個(gè)分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個(gè)與作 用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力 在坐標(biāo)軸向的投影分量。在坐標(biāo)軸向的投影分量。 2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài) EXIT kji xz

26、xyxxx kji yzyyyxy kji zzzyzxz 4.3 粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 由此可見(jiàn)，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位由此可見(jiàn)，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位 和投影方向表示清楚。其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方和投影方向表示清楚。其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方 向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。 如，對(duì)于如，對(duì)于x面的合應(yīng)力可表示為面的合應(yīng)力可表示為 y面的合應(yīng)力表達(dá)式為面的合應(yīng)力表達(dá)式為 z面的合應(yīng)力表達(dá)式為面的合應(yīng)力表達(dá)式為 EXIT 如果在同一點(diǎn)上給定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么如果在同一點(diǎn)上給

27、定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么 過(guò)該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過(guò)坐標(biāo)變換唯一確定。過(guò)該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過(guò)坐標(biāo)變換唯一確定。 上面這個(gè)結(jié)論可利用對(duì)微元六面體的動(dòng)量矩定理得到證明上面這個(gè)結(jié)論可利用對(duì)微元六面體的動(dòng)量矩定理得到證明 。 4.3 粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) zzzyzx yzyyyx xzxyxx 我們把三個(gè)坐標(biāo)面上的九個(gè)應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀我們把三個(gè)坐標(biāo)面上的九個(gè)應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀 態(tài)，由這九個(gè)應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張態(tài)，由這九個(gè)應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張 量）。量）。 這九個(gè)應(yīng)力分量并不全部獨(dú)力，其中的六個(gè)切向應(yīng)力

28、是兩兩這九個(gè)應(yīng)力分量并不全部獨(dú)力，其中的六個(gè)切向應(yīng)力是兩兩 相等的，所以獨(dú)力的一共是三個(gè)法向的，三個(gè)切向的。相等的，所以獨(dú)力的一共是三個(gè)法向的，三個(gè)切向的。 zyyzzxxzyxxy EXIT （1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等，）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等， 等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即 （2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的 法向應(yīng)力之和為一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為法向應(yīng)力之和為一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為 該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即 （3

29、）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。 p zzyyxx 3 zzyyxx p 0, 0 xzxy 4.3 粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) EXIT Stokes（1845年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)，（粘性流體作直年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)，（粘性流體作直 線層狀流動(dòng)時(shí)，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比）并在做了線層狀流動(dòng)時(shí)，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比）并在做了 一些合理的假設(shè)之后，一些合理的假設(shè)之后， 將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義 牛頓內(nèi)摩擦定理牛頓內(nèi)摩擦定理應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（或稱本構(gòu)關(guān)系

30、）：應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（或稱本構(gòu)關(guān)系）： y v z w y v x u p yy 2)( 3 2 z w z w y v x u p zz 2)( 3 2 x u z w y v x u p xx 2)( 3 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 這個(gè)關(guān)系將六個(gè)應(yīng)力與微團(tuán)的變形率直接聯(lián)系（線性關(guān)系）。滿這個(gè)關(guān)系將六個(gè)應(yīng)力與微團(tuán)的變形率直接聯(lián)系（線性關(guān)系）。滿 足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。 EXIT 對(duì)于不可壓縮流體，上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡(jiǎn)為：對(duì)于不可壓縮流體，上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡(jiǎn)為： y v p yy 2 z w p zz 2

31、 x u p xx 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 4.4 廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系） EXIT 1、流體運(yùn)動(dòng)的基本方程、流體運(yùn)動(dòng)的基本方程 利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分 方程。向推導(dǎo)歐拉方程一樣，在流場(chǎng)中取一個(gè)微元六面體方程。向推導(dǎo)歐拉方程一樣，在流場(chǎng)中取一個(gè)微元六面體 進(jìn)行分析，以進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動(dòng)方程。方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動(dòng)方程。 作用在作用在ABCD和和ABCD兩個(gè)側(cè)面的兩個(gè)側(cè)面的 法向力差是：法向力差是： )(zyx x xx 作用在作

32、用在ABBA和和CDCD兩個(gè)側(cè)面的兩個(gè)側(cè)面的 切向力差是：切向力差是： )(zxy y yx EXIT Dt Du mFx Dt Du zyxzyx z zyx y zyx x zyxf zx yx xx x )()()()()( 作用在作用在ADAD和和BCBC兩個(gè)側(cè)面的切向力差是：兩個(gè)側(cè)面的切向力差是： )(yxz z zx 仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為：仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為：fx , fy , fz ,按照牛頓第二按照牛頓第二 定律：定律： Dt Du 是歐拉法表示的加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。是歐拉法表示的加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-

33、Stokes方程方程 EXIT zyx f Dt Du zx yx xx x 或：或： 同理：同理： zyx f Dt Dv zyyyxy y zyx f Dt Dw zz yz xz z 將反映粘性應(yīng)力與變形率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入將反映粘性應(yīng)力與變形率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入 上式右端，即得到粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程上式右端，即得到粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 NS 方程：方程： 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT u z w y v x u xx p f Dt Du x 2 3 1 v z w y v x u yy p f Dt Dv y 2

34、3 1 w z w y v x u zz p f Dt Dw z 2 3 1 其中其中 是拉普拉斯算子：是拉普拉斯算子： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 可見(jiàn)，對(duì)于理想流右端的粘性項(xiàng)為零，方程化為歐拉方程?？梢?jiàn)，對(duì)于理想流右端的粘性項(xiàng)為零，方程化為歐拉方程。 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 寫成向量形式寫成向量形式 為為VVpf Dt VD )( 3 1 EXIT 當(dāng)當(dāng)不可壓時(shí)，根據(jù)連續(xù)方程：不可壓時(shí)，根據(jù)連續(xù)方程： 0 z w y v x u 則不可壓粘流的則不可壓粘流的 NS方程寫為：方程寫為： u x p f Dt Du x 2 v y

35、 p f Dt Dv y 2 w z p f Dt Dw z 2 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT Vpf Dt VD 1 用用 三個(gè)方向的單位向量三個(gè)方向的單位向量 i 、j、k 分別乘上三式并相加，分別乘上三式并相加， 可得不可壓粘流可得不可壓粘流 N-S方程比較簡(jiǎn)捷的向量形式：方程比較簡(jiǎn)捷的向量形式： 2 2 2 2 2 2 2 zyx k z j y i x 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 kwj vi uV 其中其中為速度分量為速度分量 為哈密頓算子為哈密頓算子 為拉普拉斯算子為拉普拉斯算

36、子 kfjfiff zyx 為單位質(zhì)量的質(zhì)量力為單位質(zhì)量的質(zhì)量力 EXIT 與第二章一樣，這個(gè)方程中速度的隨體導(dǎo)數(shù)可以加以分與第二章一樣，這個(gè)方程中速度的隨體導(dǎo)數(shù)可以加以分 解，把渦量分離出來(lái)，寫成格羅米柯形式的方程也稱為解，把渦量分離出來(lái)，寫成格羅米柯形式的方程也稱為 Lamb型方程。這樣有利于研究流體的有旋性：型方程。這樣有利于研究流體的有旋性： VpfV V t V 1 2 2 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 2、 Bernoulli積分積分 與與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動(dòng)方程類似，積分積分理想流體運(yùn)動(dòng)方程類似，積分N-S方方 程假定程

37、假定:（1）不可壓縮粘性流體；（）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動(dòng)；（）定常流動(dòng)；（3） 質(zhì)量力有勢(shì)；（質(zhì)量力有勢(shì)；（4）沿流線積分。）沿流線積分。 沿流線積分沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程 。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項(xiàng)因粘性引起。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項(xiàng)因粘性引起 的損失項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。的損失項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。 EXIT kdzjdyidxsd kujuiuu zyx 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 在粘性不可壓縮定常流動(dòng)中

38、，任取一條流線，在流線在粘性不可壓縮定常流動(dòng)中，任取一條流線，在流線 上某處取一微段上某處取一微段ds，該處所對(duì)應(yīng)的流速為，該處所對(duì)應(yīng)的流速為 對(duì)不可壓對(duì)不可壓N-S方程的三個(gè)分量分別乘方程的三個(gè)分量分別乘 dx、dy、dz后相加得：后相加得： sdVpfsd Dt VD dzw z p fdz Dt Dw dyv y p fdy Dt Dv dxu x p fdx Dt Du z y x 1 1 1 1 EXIT 定常情況下，上式左端即：定常情況下，上式左端即： wdyvdzwdxudzvdxudy dz w dy v dx u ，即：, )()()(wdzvdyudx z wwdzvdyu

39、dx y vwdzvdyudx x usd Dt VD 注意到沿流線有流線方程：注意到沿流線有流線方程： 前式右端第一項(xiàng)可由流線方程進(jìn)行變量替換，得：前式右端第一項(xiàng)可由流線方程進(jìn)行變量替換，得： wdx x wvdx x vudx x uwdzvdyudx x u )( dx V x dx wvu x2 ) 2 ( 2222 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 徹體力有勢(shì)徹體力有勢(shì)，因此有：，因此有： 不可壓縮流動(dòng)，有：不可壓縮流動(dòng)，有： 粘性項(xiàng)寫成為粘性項(xiàng)寫成為 dy V y dy V y2 , 2 22 ddz z dy y dx x dz

40、fdyfdxf zyx )( p ddz z p dy y p dx x p ) 111 ( )(dzvdyvdxv zyx 第二、三項(xiàng)同理可替換為：第二、三項(xiàng)同理可替換為： 三項(xiàng)之和為：三項(xiàng)之和為： 2222 2222 V ddy V y dy V y dx V x sd Dt vD 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)與粘與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)與粘 性有關(guān)的項(xiàng)，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所性有關(guān)的項(xiàng)，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所 做的功，代表機(jī)械能的損

41、失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)做的功，代表機(jī)械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng) 所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。 對(duì)于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)閷?duì)于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)?方程兩邊同除以方程兩邊同除以g，得到，得到 表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp gyd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx gg Vp yd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp d 從而不可壓從而不可壓N-S方程，在

42、定常沿流線條件下可寫為：方程，在定常沿流線條件下可寫為： 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 如果令如果令 能量方程變?yōu)槟芰糠匠套優(yōu)?單位重量流體所具有的機(jī)械能為單位重量流體所具有的機(jī)械能為 ；單位重量流體粘；單位重量流體粘 性力所做的功為性力所做的功為 。沿著同一條流線積分，得到：。沿著同一條流線積分，得到： )(wdzvdyudx g hd w 0) 2 ( 2 w hd g Vp yd g Vp y 2 2 w h d 2 1 2 22 2 2 11 1 22 w hd g Vp y g Vp y 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程

43、Navier-Stokes方程方程 EXIT 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 21 2 22 2 2 11 1 22 w h g Vp y g Vp y 上式說(shuō)明，在粘性流體中，沿同一條流線上單上式說(shuō)明，在粘性流體中，沿同一條流線上單 位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不 能保持守恒（理想流體時(shí)，總機(jī)械能是保持守恒的能保持守恒（理想流體時(shí)，總機(jī)械能是保持守恒的 ，無(wú)機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服，無(wú)機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服 粘性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能量。粘性流體的粘性應(yīng)力做

44、功所消耗的機(jī)械能量。粘性流體的 Bernoulli積分方程說(shuō)明，粘性流體在流動(dòng)中，無(wú)論積分方程說(shuō)明，粘性流體在流動(dòng)中，無(wú)論 勢(shì)能、壓能和動(dòng)能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減勢(shì)能、壓能和動(dòng)能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減 小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方 。 EXIT NS方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計(jì)方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計(jì) 算機(jī)用數(shù)值方法求解。而在一些簡(jiǎn)單的粘流問(wèn)題上，算機(jī)用數(shù)值方法求解。而在一些簡(jiǎn)單的粘流問(wèn)題上，NS 方程也有解析解。方程也有解析解。 例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動(dòng)，二壁固定。例

45、：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動(dòng)，二壁固定。 2b x y 解解: 設(shè)流動(dòng)定常，徹體力可略。設(shè)流動(dòng)定常，徹體力可略。 二維不可壓二維不可壓 NS NS 方程寫為：方程寫為： )( 1 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u )( 1 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u 3. N-S方程的解析解舉例方程的解析解舉例* 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 由于由于 ，第二個(gè)方程化為，第二個(gè)方程化為：0),(vyuu 0 y p 即在流動(dòng)橫截面壓強(qiáng)不變。又第一個(gè)方程化為即在流動(dòng)橫截面壓強(qiáng)不變。又

46、第一個(gè)方程化為： x p y u 2 2 對(duì)對(duì) y 積分，注意到積分，注意到 不是不是 y 的函數(shù)，對(duì)的函數(shù)，對(duì) y 積分時(shí)當(dāng)常數(shù)看積分時(shí)當(dāng)常數(shù)看 x p ) 2 )( 1 21 2 CyC y x p u 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 由邊界條件定常數(shù)由邊界條件定常數(shù) C1 和和 C2 ：y=b 處，處，u=0，定得，定得 C10， C2b2/2，于是：，于是： )( 2 1 22 yb x p u 即即 u 在在y 向作拋物線分布。中心點(diǎn)流速為：向作拋物線分布。中心點(diǎn)流速為： 表明沿表明沿x軸軸 是個(gè)負(fù)值，即壓強(qiáng)是逐步下降的。一段長(zhǎng)是

47、個(gè)負(fù)值，即壓強(qiáng)是逐步下降的。一段長(zhǎng) 度度 L 上的壓降是：上的壓降是： 2 max 2 1 b x p u x p 2 max /2bLup 這個(gè)壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。這個(gè)壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 管道平均流速為：管道平均流速為： max 2 0 3 2 )( 3 11 ub x p dyu b u b 壁面摩擦應(yīng)力為：壁面摩擦應(yīng)力為： b x p y u by 0 一段長(zhǎng)一段長(zhǎng) L 的壁面上摩擦應(yīng)力是：的壁面上摩擦應(yīng)力是： 兩側(cè)壁面上的總摩擦力是兩側(cè)壁面上的總摩擦力是 LL 00 ) 1( b

48、L x p L)(22 0 這個(gè)力剛好等于壓降乘以通道面積，說(shuō)明流動(dòng)的損失完全消耗這個(gè)力剛好等于壓降乘以通道面積，說(shuō)明流動(dòng)的損失完全消耗 在克服壁面摩擦上了。在克服壁面摩擦上了。 4.5 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)avier-Stokes方程方程 EXIT 4.6 流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則* 有了有了NS方程，我們可以看一看考慮粘性的作用在內(nèi)方程，我們可以看一看考慮粘性的作用在內(nèi) ，流動(dòng)要符合什么條件才能相似。要流動(dòng)相似，毫無(wú)疑問(wèn)，流動(dòng)要符合什么條件才能相似。要流動(dòng)相似，毫無(wú)疑問(wèn) 首先要求對(duì)流動(dòng)起擾動(dòng)作用的物體形狀要相似，即尺寸成首先要求對(duì)流動(dòng)起擾動(dòng)作用的物體形狀要相似，即

49、尺寸成 比例。假設(shè)有兩個(gè)流場(chǎng)，一個(gè)記為比例。假設(shè)有兩個(gè)流場(chǎng)，一個(gè)記為1，另一個(gè)記為，另一個(gè)記為2，兩個(gè)，兩個(gè) 流動(dòng)的各項(xiàng)參數(shù)之間的比例關(guān)系為：流動(dòng)的各項(xiàng)參數(shù)之間的比例關(guān)系為： ,. , 12 12 12 12 12 12 121212 xgx p v t lll frf r prp vrv r t rt zrzyryxrx 其中的其中的 r 是比例系數(shù)，下標(biāo)代表了是比例系數(shù)，下標(biāo)代表了 相應(yīng)的參數(shù)。相應(yīng)的參數(shù)。 1 2 EXIT 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 3 1 x z y x x x v z v y v x v xx p f Dt Dv 將上述比例

50、關(guān)系代入第二個(gè)流場(chǎng)的將上述比例關(guān)系代入第二個(gè)流場(chǎng)的x方向方向NS方程：方程： 可得：可得： 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 )( )( 3 11 )( )()( z v y v x v rr rr z v y v x v xrr rr x p rr r fr z v v y v v x v v r r t v r r xxx l v z y x l v l p xg z z x y x x l vx t v 4.6 流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則流動(dòng)相似及相似準(zhǔn)則* EXIT 方程的各不同類型的項(xiàng)都出來(lái)一個(gè)各比例常數(shù)所組成的數(shù)方程的各不同類型的項(xiàng)都出來(lái)一個(gè)各比例常數(shù)所組成的數(shù) ，如果這些數(shù)相等，那么流場(chǎng)，如果這些數(shù)相等，那么流場(chǎng) 2 的方程就變成流場(chǎng)的方程就變成流場(chǎng) 1 的方的方 程了。方程一樣，無(wú)量綱的邊界條件也一樣，流動(dòng)就相似程了。方程一樣，無(wú)量綱的邊界條件也