1、 不等式分式與分式方程【考綱說明】1. 了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據具體問題數量關系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質進行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進行二次根式的運算【趣味鏈接】【知識梳理】一不等式部分考點一、不等式的相關概念1不等式 用不等號連接起來的式子叫做不等式 常見的不等號有五種： “”、 “” 、 “” 、 “”、 “”2不等式的解與解集 不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解不等式的解集：一個含有未知數的不等式的解的全

2、體，叫做不等式的解集不等式的解集可以在數軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點：解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3解不等式 求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式.要點詮釋：不等式的解與一元一次方程的解是有區別的：不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數值考點二、不等式的性質性質1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變，即如ab，那么acbc性質2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即如果ab，c0，那么acbc（或）性質3：不等式兩邊乘以（或除

3、以）同一個負數，不等號的方向改變，即如果ab，c0，那么acbc（或）要點詮釋：（1）不等式的其他性質：若ab，則ba；若ab，bc，則ac；若ab，且ba，則a=b；若a20，則a=0；若ab0或，則a、b同號；若ab0或，則a、b異號.（2）任意兩個實數a、b的大小關系：a-bOab；a-b=Oa=b；a-bOab不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但ab可轉換為ba，cd可轉換為dc.考點三、一元一次不等式（組）1一元一次不等式的概念只含有一個未知數，且未知數的次數是1，系數不等于0的不等式叫做一元一次不等式其標準形式：ax+b0(a0)或ax+b0(a0) ，ax+b0(a0)或

4、ax+b0(a0)2一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號要改變方向 解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數為1 要點詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方3一元一次不等式組及其解集 含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組 一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集一元

5、一次不等式組的解集通常利用數軸來確定要點詮釋：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數相同；不等式組中不等式的個數至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多 4一元一次不等式組的解法 由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表不等式組（其中ab）圖示解集 口訣 （同大取大） （同小取小） （大小取中間）無解 （空集） （大大、小小找不到） 注：不等式有等號的在數軸上用實心圓點表示.要點詮釋：解不等式組時，一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解

6、集5一元一次不等式（組）的應用 列一元一次不等式（組）解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式（組）解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據問題情境，抓住應用問題中“不等”關系的關鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關系顯得十分重要要點詮釋：列一元一次不等式組解決實際問題是中考考查的一個重要內容，在列不等式解決實際問題時，應掌握以下三個步驟：（1）找出實際問題中的所有不等關系或相等關系（有時要通過不等式與方程綜合來解決），設出未知數，列出不等式組（或不等式與方程的混合組）；（2）解不等式組；（3）從不等式組（或不等式與方程的混合組）的解集中求出符合題意的答案6

7、一元一次不等式、一元一次方程和一次函數的關系一次函數，當函數值時，一次函數轉化為一元一次方程；當函數值或時，一次函數轉化為一元一次不等式，利用函數圖象可以確定的取值范圍.2 分式與分式方程考點一、分式的有關概念及性質1分式設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式沒有意義.2.分式的基本性質（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式中，A和

8、B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據它的原有形式進行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式中， 當B0時，分式有意義；當分式有意義時，B0 當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0 當B0且A = 0時，分式的值為零考點二、分式的運算1基本運算法則分式的運算法則與分數的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算 = 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.（2）乘法運算 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分

9、子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數 .3負整數指數 4分式的混合運算順序 先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6通分根據分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分要點詮釋： 約分需明確的問題：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提

10、取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母最低次冪的積通分注意事項：(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數的最小公倍數與所有因式的最高次冪的積 (2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉 (3)確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數，取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點三、分式方程及其應用1分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程 3分式方程的增根問題驗根

11、：因為解分式方程可能出現增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示未知量”等關鍵環節，從而正確列出方程，并進行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性要點詮釋： 解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果

12、為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應用題的基本步驟：(1)審仔細審題，找出等量關系；(2)設合理設未知數；(3)列根據等量關系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題考點四、二次根式的主要性質1.；2.；3.；4. 積的算術平方根的性質：；5. 商的算術平方根的性質：.6.若，則.要點詮釋： 與的異同點：（1）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數但與都是非負數，即，因而它的運算的結果是有差別的，而（2）相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.考點

13、五、二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結果應滿足以下兩個要求：應為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，

14、有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據乘法分配律進行乘法運算，通過約分達到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了

15、平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.3 一元一次方程考點一、一元一次方程1.等式性質（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或式子），結果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不為零），結果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個未知數，且未知數的次數是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系

16、數化成1；檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).要點詮釋： 解一元一次方程的一般步驟步驟名 稱方 法依 據注 意 事 項1去分母在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數）等式性質21、不含分母的項也要乘以最小公倍數；2、分子是多項式的一定要先用括號括起來.2去括號去括號法則（可先分配再去括號）乘法分配律注意正確的去掉括號前帶負數的括號3移項把未知項移到方程的一邊（左邊），常數項移到另一邊（右邊）等式性質1移項一定要改變符號4合并 同類項分別將未知項的系數相加、常數項相加1、整式的加減；2、有理數的加法法則單獨的一個未知數的系數為“1”5系數

17、化為“1”在方程兩邊同時除以未知數的系數（或方程兩邊同時乘以未知數系數的倒數）等式性質2不要顛倒了被除數和除數（未知數的系數作除數分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計算出結果. 若 左邊右邊，則x=a是方程的解；若 左邊右邊，則x=a不是方程的解.注：當題目要求時，此步驟必須表達出來.說明：（1）上表僅說明了在解一元一次方程時經常用到的幾個步驟，但并不是說，解每一個方程都必須經過六個步驟；（2）解方程時，一定要先認真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對于形式較復雜的方程，可依據有效的數學知識將其轉化或變形成我們常見的形式，再依照一般方法解.考點二、二元一次方程組

18、1. 二元一次方程組的定義兩個含有兩個未知數，且未知數的次數是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點詮釋：判斷一個方程組是不是二元一次方程組應從方程組的整體上看，若一個方程組內含有兩個未知數，并且未知數的次數都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組2.二元一次方程組的一般形式要點詮釋： a1、a2不同時為0，b1、b2不同時為0，a1、b1不同時為0，a2、b2不同時為0.3. 二元一次方程組的解法(1) 代入消元法；(2) 加減消元法.要點詮釋： （1）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解教材中主要是研究有唯一解的情況，對于其他情況，可根據學生的接受能力

19、給予滲透（2）一元一次方程與一次函數、一元一次不等式之間的關系： 當二元一次方程中的一個未知數的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉化為一次函數的形式，所以解二元一次方程可以轉化為：當y0時，求x的值.從圖象上看，這相當于已知縱坐標，確定橫坐標的值.考點三、一次方程（組）的應用列方程(組)解應用題的一般步驟： 1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數量關系和相等關系；2.設:選擇恰當的未知數(直接或間接設元)，注意單位的統一和語言完整；3.列:根據數量和相等關系，正確列出代數式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗: (有三次

20、檢驗 是否是所列方程(組)的解；是否使代數式有意義；是否滿足實際意義)；6.答:注意單位和語言完整.要點詮釋： 列方程應注意：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊單位一定要統一；（3）方程兩邊的數值相等.【經典例題】1解不等式x-5，并把它的解集在數軸上表示出來【思路點撥】分數線兼有括號的作用，分母去掉后應將分子添上括號同時，用分母去乘不等式各項時，不要漏乘不含分母的項；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號的方向必須改變；在數軸上表示不等式的解集，當解集是xa或xa時，不包括數軸上a這一點，則這一點用圓圈表示；當解集是xa或xa時，包括數軸上a這一點，則這一點用實心圓點表示.【答

21、案與解析】解：去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60， 去括號，得 8x-4-20x-215x-60，移項合并同類項，得-27x-54，系數化為1，得x2在數軸上表示解集如下圖所示：【總結升華】解不等式（組）是中考中易考查的考點，必須熟練掌握2解不等式組并將其解集在數軸上表示出來.【思路點撥】分別解出兩個不等式的解集，再求出公共的解集即可.【答案與解析】解：由（1）式得5， 由（2）式得-1， -15 數軸上表示如圖： 【總結升華】注意解不等式組的解題步驟.3計算【答案與解析】4如果方程 有增根, 那么增根是 .【答案與解析】 因為增根是使分式的分母為零的根,由分母或可得.所

22、以增根是.答案: 【點評】使分母為0的根是增根.5某縣為鼓勵失地農民自主創業，在2012年對60位自主創業的失地農民進行獎勵，共計劃獎勵10萬元.獎勵標準是：失地農民自主創業連續經營一年以上的給予1000元獎勵；自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的，再給予2000元獎勵.問：該縣失地農民中自主創業連續經營一年以上的和自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的農民分別有多少人？【思路點撥】根據失地農民自主創業連續經營一年以上的給予1000元獎勵：自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的，再給予2000元獎勵列方程求解【答案與解析】方法一： 設失地農民中自主創業連續經營一

23、年以上的有x人，則根據題意列出方程 1000x+(60x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， 60-x =60-40=20 答：失地農民中自主創業連續經營一年以上的有40人，自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的農民有20人. 方法二： 設失地農民中自主創業連續經營一年以上的和自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的農民有分別有x，y人，根據題意列出方程組： 解得： 答：失地農民中自主創業連續經營一年以上的有40，自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的農民有20人. 6在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調查了高峰時段北京的二環路、三環路、四環路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環路車流量為每小時10000輛”；乙同學說：“四環路比三環路車流量每小時多2000輛”；丙同學說：“三環路車流量的3倍與四環路車流量的差是二環路車流量的2倍”；請你根據他們所提供的信息，求出高峰時段三環路、四環路的車流量各是多少？【思路點撥】根據甲、乙、丙三位