1、隨機信號分析隨機信號分析 電子工程系電子工程系 張俊生張俊生 第二章 隨機過程 噪聲電壓的起伏波形噪聲電壓的起伏波形 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 t X(t) 2.1 隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性 定義定義1 1：設隨機試驗設隨機試驗E E的樣本空間的樣本空間S, ,若對每個若對每個 元素元素S，總有確知的時間函數(shù)，總有確知的時間函數(shù)X(t,),tT與它與它 相對應；這樣，對于所有的相對應；這樣，對于所有的S，就可以得到一，就可以得到一 族時間族時間t t的函數(shù)，將其稱為隨機過程。族中的

2、每一的函數(shù)，將其稱為隨機過程。族中的每一 個函數(shù)稱為該過程的樣本函數(shù)。個函數(shù)稱為該過程的樣本函數(shù)。 特定實驗結果特定實驗結果 一個確知的時一個確知的時 間函數(shù)間函數(shù) 定義定義2 2：若對于每個特定的時間若對于每個特定的時間 都是隨機變量，則稱都是隨機變量，則稱 為隨機過程。為隨機過程。 一個特定時間一個特定時間 一個取一個取 決于決于的隨機變量的隨機變量 ( ,) ii X t (1,2,) , ( , ) ii t iX t ( , )X t ( , ) ii tX t 常用于對隨機過程的實際觀測常用于對隨機過程的實際觀測 用實驗方法觀測到各個樣本用實驗方法觀測到各個樣本 樣本數(shù)目越多，越能

3、掌握隨機過程樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機過程 的統(tǒng)計規(guī)律性的統(tǒng)計規(guī)律性 常用于理論分析常用于理論分析 可以看成隨機變量的推廣（可以看成隨機變量的推廣（n n維）維） 隨機變量的維數(shù)越大，越能掌握隨隨機變量的維數(shù)越大，越能掌握隨 機過程的統(tǒng)計規(guī)律性機過程的統(tǒng)計規(guī)律性 隨機過程隨機過程X(t)X(t)在四種不同情況下的含義在四種不同情況下的含義 4 4 一個確定值（一個確定值（t t和和都固定）都固定） 2 2 一個確知的時間函數(shù)一個確知的時間函數(shù)(t(t是變量，而是變量，而固定）固定） 1 1 一個時間函數(shù)族（一個時間函數(shù)族（t t和和都是變量）都是變量） 3 3 一個隨機變量（一個隨機變量（t

4、t固定，而固定，而是變量）是變量） 2.1.2隨機過程的分類 一、按一、按X(t)X(t)的時間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進行分類的時間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進行分類 1 1、連續(xù)型隨機過程任意的、連續(xù)型隨機過程任意的 都是都是 連續(xù)型隨機變量；連續(xù)型隨機變量； 2 2、離散型隨機過程任意的、離散型隨機過程任意的 都是都是 離散型隨機變量；離散型隨機變量； 3 3、連續(xù)隨機序列任意離散時刻的狀態(tài)是連、連續(xù)隨機序列任意離散時刻的狀態(tài)是連 續(xù)型隨機變量；續(xù)型隨機變量； 4 4、離散隨機序列隨機過程的時間和狀態(tài)都、離散隨機序列隨機過程的時間和狀態(tài)都 是連續(xù)的是連續(xù)的 11 , ( )tTX t 11 , (

5、 )tTX t 二、按隨機過程的樣本函數(shù)的形式不同進行分類二、按隨機過程的樣本函數(shù)的形式不同進行分類 1 1、不確定性隨機過程樣本函數(shù)的未來值不能由、不確定性隨機過程樣本函數(shù)的未來值不能由 過去的觀測值準確預測；過去的觀測值準確預測； 2 2、確定性隨機過程樣本函數(shù)的未來值可以由、確定性隨機過程樣本函數(shù)的未來值可以由 過去的觀測值預測；過去的觀測值預測； 三、按隨機過程三、按隨機過程X(t)X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類 平穩(wěn)性過程、遍歷性平穩(wěn)性過程、遍歷性 2 正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程1 寬帶過

6、程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲 4 3 將對隨機變量的研究推廣到隨機過程中去。將對隨機變量的研究推廣到隨機過程中去。 一、一維概率分布一、一維概率分布 隨機過程在任一特定時刻隨機過程在任一特定時刻 取樣得到隨機取樣得到隨機 變量變量 ，其概率分布為，其概率分布為 稱作隨機過程稱作隨機過程X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 求偏導數(shù)數(shù)可得求偏導數(shù)數(shù)可得 稱作隨機過程稱作隨機過程X(t)X(t)的一維概率密度。的一維概率密度。 1 tT 1 ( )X t 1111 ( ; )( ) X Fx tP X tx 11 11 1 ( ; ) ( ; )

7、X X Fx t fx t x 2.1.32.1.3隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布 12 , , n t tt 12 ( ),( ),( ) n X tX tX t 時刻采樣，得到一族隨機變量時刻采樣，得到一族隨機變量 隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有 一維隨機變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度一維隨機變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度 的各種性質；的各種性質； 隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是 時間時間t t的函數(shù)；的函數(shù)； 隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概

8、率密度描述 該隨機過程在任一孤立時刻取值的統(tǒng)計特性。該隨機過程在任一孤立時刻取值的統(tǒng)計特性。 二、二維概率密度二、二維概率密度 隨機過程隨機過程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)為的二維分布函數(shù)為 12121122 ( ,; , )( ),( ) X Fx x t tP X tx X tx 隨機過程隨機過程X(t)X(t)的二維概率密度為的二維概率密度為 2 1212 1212 12 ( ,; , ) ( ,; , ) X X Fx x t t fx x t t x x 三、三、n維概率分布維概率分布 隨機過程隨機過程X(t)的的n維分布函數(shù)為維分布函數(shù)為 隨機過程隨機過程X(t)的的n維概率密度

9、為維概率密度為 1212 1122 ( ,; , ,) ( ),( ),( ) Xnn nn Fx xx t tt P X tx X txX tx 1212 1212 12 ( ,; , ,) ( ,; , ,) Xnn n Xnn n fx xx t tt Fx xx t tt x xx 隨機過程隨機過程X(t)X(t)的的n n維分布函數(shù)的主要性質：維分布函數(shù)的主要性質： 1212 ( ,; , ,)0 Xnn fx xx t tt 121212 ( ,; , ,)1 Xnnn n fx xx t tt dx dxdx 重 121212 () 1212 ( ,; , ,) ( ,; , ,

10、) Xnnmmn n m Xmm fx xx t tt dxdxdx fx xxt tt 重 1212 ( ,; , , ,)0 Xnin Fx xx t ttt 12 ( ,; , ,)1 Xn Ft tt 5 5、 4 4、 3 3、 2 2、 1 1、 6 6、如果、如果 統(tǒng)計獨立，則有統(tǒng)計獨立，則有 1212 1122 ( ,; , ,) ( ; )(; )(; ) Xmm XXXnn fx xxt tt fx tfx tfx t 12 ( ),( ),( ) n X tX tX t 作業(yè)一 設正弦波隨機過程為 其中 為常數(shù)，A為均勻分布在0,1內的隨機 變量，試求： （1）畫出過程X

11、(t)的幾個樣本函數(shù)； （2）試求出 時，X(t)的一 維概率密度，并畫出它們的曲線； （3）試求出 時，X(t)的一維概率密度。 0 ( )cosX tAt 0 000 3 0, 44 t 0 2 t 2.1.4 2.1.4 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 在實際應用中，要確定隨機過程的概率分布族，在實際應用中，要確定隨機過程的概率分布族， 并加以分析，常比較困難；并加以分析，常比較困難； 隨機變量的數(shù)字概念推廣到隨機過程中去；隨機變量的數(shù)字概念推廣到隨機過程中去； 隨機過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是隨機過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是 確定的時間函數(shù)。確定的時間函數(shù)。 一、

12、數(shù)學期望一、數(shù)學期望 隨機過程隨機過程X(t)X(t)在任意一個時刻在任意一個時刻t t的取值是一個的取值是一個 隨機變量隨機變量X(t)X(t)，將其任意取值，將其任意取值x(t)x(t)簡計為簡計為x x，由隨，由隨 機變量的數(shù)學期望定義可得機變量的數(shù)學期望定義可得 為時間的確定函數(shù)，稱為隨機過程的數(shù)學期望。為時間的確定函數(shù)，稱為隨機過程的數(shù)學期望。 ( )( )( ; ) XX mtE X txfx t dx 隨機過程隨機過程X(t)X(t)的數(shù)學期望的數(shù)學期望 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

13、0.015 t X(t) 二、均方值和方差二、均方值和方差 隨機變量隨機變量X(t)X(t)的二階原點矩的二階原點矩 為隨機過程為隨機過程X(t)X(t)的均方值。的均方值。 隨機變量隨機變量X(t)X(t)的二階中心矩的二階中心矩 為隨機過程為隨機過程X(t)X(t)的方差。的方差。 為中心化隨機過程。為中心化隨機過程。 均方值和方差都是均方值和方差都是t t的確定函數(shù)；的確定函數(shù)； 方差描述了諸樣本對于其數(shù)學期望的偏離程方差描述了諸樣本對于其數(shù)學期望的偏離程 度；度； 222 ( )( )( ; ) XX tE Xtx fx t dx 222 ( )( )( )( )( ) XX tD X

14、 tE XtE X tmt ( )( ) X XX tmt 二、自相關函數(shù)二、自相關函數(shù) 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 t X(t) 具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程 具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 t Y(t) 自相關函數(shù)是用來描述隨機

15、過程任意兩個自相關函數(shù)是用來描述隨機過程任意兩個 時刻的狀態(tài)之間內在聯(lián)系的重要特征。時刻的狀態(tài)之間內在聯(lián)系的重要特征。 隨機過程的自相關函數(shù)定義為隨機過程的自相關函數(shù)定義為 相關函數(shù)反映了相關函數(shù)反映了X(t)X(t)在任意兩個時刻的狀態(tài)之在任意兩個時刻的狀態(tài)之 間的相關程度。間的相關程度。 當當 時時 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 12121212 ( ,; , ) X x x fx x t t dx dx 2 12 ( , )( , )( )( )( ) XX Rt tRt tE X t X tE Xt 12 ttt 隨機過程的協(xié)方差函數(shù)為隨機過程的協(xié)方

16、差函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個時刻的起伏值之間協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個時刻的起伏值之間 的相關程度。的相關程度。 協(xié)方差函數(shù)與相關函數(shù)之間的關系：協(xié)方差函數(shù)與相關函數(shù)之間的關系： 1212 ( , )( )( ) X Kt tE X tX t 1122 ( )( )( )( ) XX E X tmtX tmt 1122121212 ( )( )( ,; , ) XXX xmtxmtfx x t t dx dx 121122 ( , )( )( )( )( ) XXX Kt tE X tmtX tmt 1212 2112 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) X XXX

17、 E X t X tmt E X t mtE X tmt mt 1212 ( , )( )( ) XXX Rt tmt mt 當當 時，有時，有 推導可得推導可得 數(shù)學期望和相關函數(shù)是隨機過程兩個最基數(shù)學期望和相關函數(shù)是隨機過程兩個最基 本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過二者本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過二者 間接求得。間接求得。 12 ttt 12 ( , )( , ) XX Kt tKt t 2 ( )( ) X E X tmt 2 ( )( ) X D X tt 222 ( )( )( ) XX tE Xtmt 【例題例題】分析正弦型隨機相位信號分析正弦型隨機相位信號 0 ( )

18、cos()X tAt 0 A(-,)為數(shù)為勻隨變 ，求隨機信號的均值、方差和自相關函數(shù) 其其中中 和和常常，上上均均分分布布的的機機 量量。 解：解： 0 ( )( )cos() X mtE X tE At 0 1 cos() 2 Atd 0 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 0 10 2 cos()cos()E AtAt 222 1 ( )( , )( ) 2 XXX tRt tmtA 2 012012 2 012 2 012 2 012 1 cos()cos()2 2 1 cos() 2 11 cos()2 22 1 cos() 2 A Etttt Att

19、Attd Att 2.1.52.1.5隨機過程的特征函數(shù)隨機過程的特征函數(shù) 概率密度和特征函數(shù)是一對傅立葉變換。利概率密度和特征函數(shù)是一對傅立葉變換。利 用特征函數(shù)可以簡化運算。用特征函數(shù)可以簡化運算。 一、一維特征函數(shù)一、一維特征函數(shù) 稱為隨機過程稱為隨機過程X(t)X(t)的一維特征函數(shù)。的一維特征函數(shù)。 一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為 11 ( ) 11 ( ; ) ju X t X Cu tE e 1 1 111 ( ; ) ju x X efx t dx 11 ( ; ) X fx t 1 1 111 1 ( ; ) 2 ju x X eCu t du 隨機

20、過程隨機過程X(t)X(t)的的n n階原點矩函數(shù)為階原點矩函數(shù)為 二、二維隨機過程二、二維隨機過程 稱為隨機過程稱為隨機過程X(t)X(t)的二維特征函數(shù)。的二維特征函數(shù)。 其傅立葉反變換為其傅立葉反變換為 0 ( ; ) ( )( ; )() n nnn X X n u Cu t E Xtx fx t dxj u 12121122 1 122121212 ( ,; , )exp( )( ) exp()( ,; , ) X X Cu u t tEju X tju X t ju xju xfx x t t dx dx 1212 1 1221212122 ( ,; , ) 1 exp()( ,;

21、 , ) 2 X X fx x t t ju xju x Cu u t t du du 隨機過程隨機過程X(t)X(t)的相關函數(shù)可表示為的相關函數(shù)可表示為 三、隨機過程的三、隨機過程的n n維特征函數(shù)維特征函數(shù) 稱為隨機過程稱為隨機過程X(t)X(t)的的n n維特征函數(shù)。維特征函數(shù)。 12 1212121212 2 1212 12 0 ( , )( ,; , ) ( ,; , ) XX X uu Rt tx x fx x t t dx dx Cu u t t u u 1212 1122 1 122 121212 ( ,; , ,) exp( )( )( ) exp() ( ,; , ,)

22、Xnn nn nn n Xnnn Cu uu t tt Eju X tju X tju X t ju xju xju x fx xx t tt dx dxdx 重 傅立葉反變換為傅立葉反變換為 1212 1212 1 12212 ( ,; , ,) 1 ( ,; , ,) (2 ) exp( () Xnn Xnn n n nnn fx xx t tt Cu uu t tt ju xju xju xdu dudu 重 作業(yè)二 設隨機相位信號 ，式中 皆為常數(shù)， 為均勻分布在 上的隨機變 量。求該隨機信號的均值、方差、相關函 數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。 0 (t)acos(t)X 0 a, 0,2 2.2

23、隨機過程的微分與積分 2.2.1 隨機連續(xù)性 若隨機過程X(t)滿足 則稱過程X(t)在均方意義下連續(xù)，簡稱均方連 續(xù)（m.s連續(xù)）。 若X(t)均方聯(lián)系，則其數(shù)學期望必然連續(xù)： 或者寫作 2 (X(tt)(t) 0 (t0)EX 00 limX(tt)limX(tt) tt EE t0 X(tt)X(t) EE 2.2.2 隨機過程的微分及數(shù)字特征 一、隨機過程的微分 如果上式對所有的樣本函數(shù)都存在，則具有通 常導數(shù)的定義。 均方導數(shù)： 均方可微的條件： 存在。 0 (t)(t)(t) (t)lim t dXXtX X dtt 2 0 (t)(t) lim(t) 0 t XtX EX t 1

24、2 2 12 12 ( , ) X tt Rt t t t 2.2.2 隨機過程的微分及數(shù)字特征 二、隨機過程導數(shù)的數(shù)字特征 有： (t) (t)(t) dX YX dt 0 0 0 (t)(t) (t)Y(t)lim (t)(t) lim (t)(t)(t) lim Y t t XXX t XtX mEE t XtX E t mtmdm tdt 2.2.2 隨機過程的微分及數(shù)字特征 二、隨機過程導數(shù)的數(shù)字特征 有 121212 (t ,t )Y(t )Y(t )X(t )(t ) Y REEX 12 1212 2 ( , ) ( , )( ) ( ) XY XY Rt t Rt tE X t

25、 Y t t 2 12 1212 12 (t ,t ) (t ,t )Y(t )Y(t ) tt X Y R RE 12 (t ,t )? YX R 2.2.3 隨機過程的積分及數(shù)字特征 一、隨機過程的積分 Y變?yōu)殡S機變量。引入權函數(shù) ： Y(t)重新變?yōu)殡S機過程。 均方可積的條件： (t)dt b a YX ( )( ) ( , ) b a Y tXht d ( , )ht 1211 ( , ) bb X aa Rt tdt dt 2.2.3 隨機過程的積分及數(shù)字特征 二、隨機過程積分的數(shù)學期望 ( )( )( ) bbb X aaa E YEX t dtE X t dtmt dt 2 12

26、12 ( ,t ) bb X aa E YRtdt dt 2 1212 ( ,t ) bb YX aa Ktdt dt 2.2.3 隨機過程的積分及數(shù)字特征 三、隨機過程的相關函數(shù) 0 (t)( )d t YX 12 12 1212 00 00 ( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ,) Y tt tt X R t tE Y t Y t EXdXd Rd d 例題數(shù)學期望為 ，相關函數(shù)為 的隨機信號輸入微分電 路，該電路的輸出信號 。求Y(t) 的均值和相關函數(shù)。 解： ( )5sin X mtt 2 21 0.5() 12 ( , )3 tt X Rt te ( )( )Y tX t

27、 ( ) ( )5cos X Y dmt m tt dt 2 21 2 0.5()2 12 1221 12 ( , ) ( , )31 () tt X Y Rt t R t tett t t 2.2.3 3平穩(wěn)性隨機過程和遍歷性過程平穩(wěn)性隨機過程和遍歷性過程 2.2.3 3.1.1平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 一、嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征一、嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征 1 1、嚴平穩(wěn)隨機過程的定義、嚴平穩(wěn)隨機過程的定義 設有隨機過程設有隨機過程X(t)X(t)，若它的，若它的n n維概率密度不隨維概率密度不隨 時間起點的選擇的不同而改變，即對于任何的時間起點的選擇的不同而改變，即對于任何的n n

28、和和 ，過程，過程X(t)X(t)的的n n維概率密度滿足維概率密度滿足 則稱則稱X(t)X(t)為嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)過程。為嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)過程。 嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起 點無關。點無關。 1212 1212 ( ,; , ,) ( ,;,) Xnn Xnn fx xx t tt fx xx ttt 1 1、嚴平穩(wěn)隨機過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征、嚴平穩(wěn)隨機過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征 （1 1）若）若X(t)X(t)是嚴平穩(wěn)隨機過程，則它的一維概率密是嚴平穩(wěn)隨機過程，則它的一維概率密 度與時間無關度與時間無關

29、令令 可得可得 進一步可求得進一步可求得 均值均值 均方值均方值 方差方差 1 t 11 ( ; ) X fx t 11 ( ;) X fx t 1 ( ;0) X fx 1 () X fx ( )E X t 111 () XX x fx dxm 2 ( )E Xt 22 111 () XX x fx dx ( )D X t 22 111 ()() XXX xmfx dx （2 2）嚴平穩(wěn)隨機過程二維概率密度只與）嚴平穩(wěn)隨機過程二維概率密度只與t t1 1、t t2 2的時的時 間間隔有關，而與時間起點無關。間間隔有關，而與時間起點無關。 令令 可得可得 這時過程這時過程X(t)X(t)的自相

30、關函數(shù)為的自相關函數(shù)為 協(xié)方差函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為 當當t1t1t2t2，即，即0 0時時 121 , ttt 1212 ( ,; , ) X fx x t t 1212 ( ,;,) X fx x tt 1221 ( ,;0,) X fx xtt 12 ( ,; ) X fx x 12 ( , ) X Rt t 121212 ( ,; ) X x x fx xdx dx ( ) X R 12 ( , )( ) XX Kt tK 2 ( ) XX Rm (0) X K 2 X 2 (0) XX Rm 二、寬平穩(wěn)隨機過程二、寬平穩(wěn)隨機過程 滿足滿足 則稱則稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平

31、穩(wěn)隨機過程。為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。 只涉及與一、二維概率密度有關的數(shù)字特征；只涉及與一、二維概率密度有關的數(shù)字特征； 嚴平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平嚴平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平 穩(wěn)的，反之不一定成立；穩(wěn)的，反之不一定成立； 正態(tài)隨機過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)是等價的。正態(tài)隨機過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)是等價的。 1212 ( , )( ),( )( ) XX Rt tE X tX tR 2 ( )E Xt ( ) X E X tm 2.2.3 3.2.2遍歷性過程遍歷性過程 一般隨機過程要對大量樣本函數(shù)在特定時刻一般隨機過程要對大量樣本函數(shù)在特定時刻 取值，用統(tǒng)計方法到

32、數(shù)字特征。這種方法成取值，用統(tǒng)計方法到數(shù)字特征。這種方法成 為統(tǒng)計平均或集合平均，也簡稱為集平均。為統(tǒng)計平均或集合平均，也簡稱為集平均。 辛欽證明：在具備一定的補充條件下，對平辛欽證明：在具備一定的補充條件下，對平 穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)取時間均值，就穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)取時間均值，就 從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)計均值。從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)計均值。 任何一個樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整任何一個樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整 個隨機過程的特性。個隨機過程的特性。 具有遍歷性的隨機過程具有遍歷性的隨機過程X(t)X(t) 00.050.10.150.20.250.30.350.4

33、0.450.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 t X(t) 一、遍歷性過程的定義一、遍歷性過程的定義 1 1、嚴遍歷性過程的定義、嚴遍歷性過程的定義 如果一個隨機過程如果一個隨機過程X(t),X(t),它的各種時間平均依概它的各種時間平均依概 率率1 1收斂于響應的集合平均，則稱過程收斂于響應的集合平均，則稱過程X(t)X(t)具有嚴格具有嚴格 遍歷性或俠義遍歷性，并稱此過程為嚴格遍歷性過程遍歷性或俠義遍歷性，并稱此過程為嚴格遍歷性過程 或俠義遍歷性過程，簡稱或俠義遍歷性過程，簡稱嚴遍歷過程嚴遍歷過程。 2 2、隨機過程的時間平均、隨機過程的時間平均 對隨機過程對

34、隨機過程X(t)X(t)沿整個時間軸的下列兩種時間平沿整個時間軸的下列兩種時間平 均均 分別稱為過程分別稱為過程X(t)X(t)的時間均值和時間相關函數(shù)。的時間均值和時間相關函數(shù)。 ( )( )AX tX t 1 lim( ) 2 T TT X t dt T ( ,)( )() X t tX t X t 1 lim( )() 2 T T X t X tdt T 3 3、遍歷性過程的定義、遍歷性過程的定義 設設X(t)X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程是一個平穩(wěn)隨機過程 如果如果 依概率依概率1 1成立，則稱過程成立，則稱過程X(t)X(t)的均值具有遍歷性。的均值具有遍歷性。 如果如果 依概率依概率1

35、 1成立，稱過程成立，稱過程X(t)X(t)的自相關函數(shù)具有遍歷的自相關函數(shù)具有遍歷 性。性。 若在若在0 0時，上式成立，則稱過程時，上式成立，則稱過程X(t)X(t)的均方的均方 值具有遍歷性。值具有遍歷性。 如果過程如果過程X(t)X(t)的均值和自相關函數(shù)都具有遍歷性。的均值和自相關函數(shù)都具有遍歷性。 則稱則稱X(t)X(t)是寬遍歷性過程或廣義遍歷性過程，簡是寬遍歷性過程或廣義遍歷性過程，簡 稱遍歷性過程。稱遍歷性過程。 ( )( )AX tX t( ) X E X tm ( ,)( )() X t tX t X t( )()( ) X E X t X tR 二、遍歷性的實際意義二、

36、遍歷性的實際意義 任一樣本函數(shù)的時間平均可以代替整個過程任一樣本函數(shù)的時間平均可以代替整個過程 的統(tǒng)計平均；的統(tǒng)計平均； 遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理 意義；意義； ( )X t 1 lim( ) 2 T X TT mx t dt T 22 1 (0)lim( ) 2 T XX TT Rx t dt T 22 1 lim ( ) 2 T XX TT x tmdt T 2 XX 電壓信號電壓信號 直流分量直流分量 總平均功率總平均功率 交流平均功率交流平均功率 電壓有效值電壓有效值 二、隨機過程具有遍歷性的條件二、隨機過程具有遍歷性的條件 1 1、

37、隨機過程必須是平穩(wěn)的。、隨機過程必須是平穩(wěn)的。 時間均值必定是一個與時間無關的常數(shù)。時間均值必定是一個與時間無關的常數(shù)。 時間相關函數(shù)必定只是時間差時間相關函數(shù)必定只是時間差的函數(shù)。所以的函數(shù)。所以 是平穩(wěn)隨機過程。是平穩(wěn)隨機過程。 平穩(wěn)隨機過程不一定具有遍歷性，如圖平穩(wěn)隨機過程不一定具有遍歷性，如圖X(t)X(t)具具 有平穩(wěn)性，但不具有遍歷性。有平穩(wěn)性，但不具有遍歷性。 1 ( )( )lim( ) 2 T TT AX tX tX t dt T 1 ( ,)( )()lim( )() 2 T X T t tX t X tX t X tdt T 不具備遍歷性的平穩(wěn)過程不具備遍歷性的平穩(wěn)過程

38、00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 t X(t) 2 2、平穩(wěn)隨機過程、平穩(wěn)隨機過程X(t)X(t)的均值具有遍歷性的充的均值具有遍歷性的充 要條件為要條件為 證明：證明： 是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機 變量，其數(shù)學期望為變量，其數(shù)學期望為 對于平穩(wěn)過程對于平穩(wěn)過程X(t)X(t)，可得，可得 2 2 0 1 lim(1)( )0 2 T XX T Rmd TT ( )X t 1 ( )lim( ) 2 T TT E X tEX t dt T 1 lim(

39、 ) 2 T TT E X tdt T ( ) X E X tm 的方差為的方差為 變量替換可得變量替換可得 ( )X t ( )D X t 22 ( ) X X E X tm 1212 2 1 lim( , ) 4 TT X TTT Kt t dt dt T 2112 2 1 lim() 4 TT X TTT Ktt dt dt T 2 22 2 1 lim(1)( ) 22 T XX X TT Rmd TT 2 2 0 1 lim(1)( ) 2 T XX T Rmd TT 被積函數(shù)偶函數(shù) 由由X(t)X(t)的遍歷性可得的遍歷性可得 于是，由切比雪夫不等式，有于是，由切比雪夫不等式，有

40、即，即， 依概率收斂于依概率收斂于 。因。因 由方差性質可知，由方差性質可知， 依概率依概率1 1成成 立。立。 3 3、自相關函數(shù)的遍歷性定理。、自相關函數(shù)的遍歷性定理。 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程X(t)X(t)的自相關函數(shù)具有遍歷性的充的自相關函數(shù)具有遍歷性的充 要條件為要條件為 2 ( )0 X D X t 2 2 ( )( )0 X P X tE X t ( )X t( )E X t( )0D X t ( )( ) X X tE X tm 令令 ，就可得到均方值具有遍歷性的充要，就可得到均方值具有遍歷性的充要 條件。條件。 4 4、對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關函、對于正態(tài)平

41、穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關函 數(shù)數(shù) 連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的 一個充分條件為一個充分條件為 2 2 1 11 0 1 lim(1)( ( )( ) 2 T X T BRd TT 111 ( )()()()( )BE X tX tX tX t 0 ( ) X R 0 ( ) X Rd 2.2.3 3.3 .3 平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的性質平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的性質 一、平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質一、平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質 22 (0)( )0 XX RE X t 1 1 ( )() XX RR2 2 證：證： ( )( )() X RE X

42、t X t()( )E X tX t () X R ( )() XX KK 3 3 (0)( ) XX RR 證：正函數(shù)的數(shù)學期望恒為非負值，即證：正函數(shù)的數(shù)學期望恒為非負值，即 2 ( )() 0E X tX t 22 ( )2( )()()0E XtX t X tXt 22 ( )( )()(0) X X tE XtE XtR平穩(wěn) 2(0)2( )0 XX RR (0)( ) XX RR (0)( ) XX KK 在零點以外也在零點以外也 可能有最大值可能有最大值 4 4 周期平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)必為周期函數(shù)，周期平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)必為周期函數(shù)， 且它的周期與過程的周期相同。且它

43、的周期與過程的周期相同。 () X RT( )()E X t X tT ( )()( ) X E X t X tR 5 5 若平穩(wěn)隨機過程含有一個周期分量，則自相關函若平穩(wěn)隨機過程含有一個周期分量，則自相關函 數(shù)也含有一個同周期的周期分量。數(shù)也含有一個同周期的周期分量。 0 ( )( )( )cos()( )X tS tN tatN t 2 0 ( )( )( )cos( ) 2 XSNN a RRRR ( )( )0,2 ( ) S tN t N t 、統(tǒng)計獨立； 在()上均勻分布； 為平穩(wěn)過程 6 平穩(wěn)隨機過程中不含有任何周期分量，則平穩(wěn)隨機過程中不含有任何周期分量，則 2 lim( )(

44、 ) XXX RRm 證：證： lim( )lim( )() X RE X t X t 2 lim( ) () X E X t E X tm lim( )( )0 XX KK 證：證： 7 若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關函若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關函 數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即 2 ( )( ) XXX RKm 2 6 (0)( ) XXX RR 在滿足性質 的條件下，有 ( )( )() XXX KE X tmX tm 2 ( ) XX Rm 22 (0)(0) XXXX KRm (0)( ) XX RR 8 平穩(wěn)隨機

45、過程的自相關函數(shù)必須滿足平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)必須滿足 ( )0 j X Red 二、平穩(wěn)過程的相關系數(shù)和相關時間 1 相關系數(shù)相關系數(shù) 2 2 ( )( ) ( ) (0) XXX X XX KRm r K 1 相關時間相關時間 0 0 ( ) X rd 【例題例題1】設隨機隨機過程設隨機隨機過程 0 (t)cos(t)Xa 式中式中 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)， 是在是在 上均勻分布的隨機上均勻分布的隨機 變量。判斷變量。判斷X(t)的平穩(wěn)性和遍歷性。的平穩(wěn)性和遍歷性。 解：解： 0 a、 (0,2 ) 【例題例題2】已知平穩(wěn)隨機過程已知平穩(wěn)隨機過程X（t）的自相關函數(shù)為）的自相關函數(shù)為 10

46、( )100100cos10100 X Re 求均值、均方差和方差。求均值、均方差和方差。 解：解： 10 ( )100cos10100100 X Re 12 ( )( ) XX RR 22 ( )10 XX mR 12 10 XXX mmm 2 ( )(0)300 X E XtR 22 (0)200 XXX Rm 作業(yè)三 1、設隨機過程 ，其中 是平 穩(wěn)隨機過程， 討論 z(t)的遍歷性。 (t)(t)ZXY(t)X (t)YX是與無關的隨機變量。 作業(yè)三 2、根據(jù)下圖寫出平穩(wěn)過程X(t)的自相關函數(shù) 的表達式，并求X(t)的均值、均方值、自協(xié) 方差函數(shù)和方差。 20 0 )(Rx 10 2

47、.2.4 4隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關函數(shù)隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關函數(shù) 2.2.4 4.1.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布 隨機過程隨機過程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的多維概率密度分別為的多維概率密度分別為 定義兩個隨機過程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為定義兩個隨機過程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為 1212 1212 ( ,; , ,) (,; , ,) Xnn Ymm fx xx t tt fy yyt tt 12121212 1122 1122 ( ,; , , , , ,) ( ),( ),( ), ( ), ( ), () XYnmnm nn mm Fx xx

48、y yyt tt t tt P X tx X txX tx Y ty Y tyY ty 定義兩個隨機過程多維聯(lián)合概率函數(shù)為定義兩個隨機過程多維聯(lián)合概率函數(shù)為 如果如果 則稱隨機過程是相互獨立的。則稱隨機過程是相互獨立的。 如果兩個隨機過程的聯(lián)合概率密度不隨時間如果兩個隨機過程的聯(lián)合概率密度不隨時間 變化，即與時間起點無關，則稱此過程為聯(lián)合嚴變化，即與時間起點無關，則稱此過程為聯(lián)合嚴 平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依過程。平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依過程。 12121212 12121212 1212 ( ,; , , , , ,) ( ,; , , , , ,) XYnmnm m n XYnmnm nm fx xxy y

49、yt tt t tt Fx xxy yyt tt t tt x xxy yy 12121212 12121212 ( ,; , , , , ,) ( ,; , ,)(,; , ,) XYnmnm XnnYmm fx xxy yyt tt t tt fx xx t ttfy yyt tt 2.2.4 4.2.2互相關函數(shù)互相關函數(shù) 互相關函數(shù)的定義為互相關函數(shù)的定義為 互協(xié)方差函數(shù)定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為 互相關函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關系互相關函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關系 1212 12 ( , )( ) ( ) ( , ; , ) XY XY Rt tE X t Y t xyfx y t t d

50、xdy 121122 1212 ( , )( )( )( ( )( ) ( )( )( , ; , ) XYXY XYXY Kt tE X tmtY tm t xmtym tfx y t t dxdy 121212 ( , )( , )( )( ) XYXYXY Kt tRt tmt m t 隨機過程正交隨機過程正交 隨機過程的不相關隨機過程的不相關 若果隨機過程若果隨機過程 則稱隨機過程則稱隨機過程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 為聯(lián)合寬平穩(wěn)為聯(lián)合寬平穩(wěn) 或寬平穩(wěn)相依。或寬平穩(wěn)相依。 寬平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)的性質：寬平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)的性質： 1 1、 121212

51、 ( , )0( , )( )( ) XYXYXY Rt tKt tmt m t 或 121212 ( , )0( , )( )( ) XYXYXY Kt tRt tmt m t 或 1212 ( , )( ) ( )( ) XYXY Rt tE X t Y tR ( )() ( )() XYYX XYYX RR KK 2 2、 3 3、 4 4、 歸一化相關函數(shù)或標準互協(xié)方差函數(shù)歸一化相關函數(shù)或標準互協(xié)方差函數(shù) 2 2 22 ( )(0)(0) ( )(0)(0) XYXY XYXYXY RRR KKK 22 1 ( )(0)(0) 2 11 ( )(0)(0)() 22 XYXY XYXY

52、XY RRR KKK ( )( ) ( ) (0)(0) XYXYXY XY XY XY KRm m r KK 時間互相關函數(shù)定義為時間互相關函數(shù)定義為 如果如果 稱過程稱過程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 具有聯(lián)合寬遍歷性。具有聯(lián)合寬遍歷性。 例題：設兩個連續(xù)時間相位隨機信號例題：設兩個連續(xù)時間相位隨機信號 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)， 在在 上均勻分布，上均勻分布， 求互協(xié)方差函數(shù)。求互協(xié)方差函數(shù)。 1 ( )( ) ()lim( ) () 2 T XY TT X t Y tX t Y tdt T ( )( ) XYXY R 00 ( )sin() , ( )cos()X t

53、tY tt 0 (, ) 作業(yè)四 設兩個平穩(wěn)隨機過程 其中 是在 上均勻分布的隨機變量。 試問這兩個過程是否平穩(wěn)相依？是否正交、 不相關、統(tǒng)計獨立？說明之。 )tsin() t (Y)tcos() t (X )2 , 0( 2.2.5 5復隨機過程復隨機過程 2.2.5 5.1.1復隨機變量復隨機變量 復隨機變量定義為復隨機變量定義為 數(shù)字特征推廣到復隨機變量時必須遵循的原數(shù)字特征推廣到復隨機變量時必須遵循的原 則是：在特殊情況下，即當則是：在特殊情況下，即當Y Y0 0時，時，Z Z的數(shù)字特征的數(shù)字特征 應該等于隨機變量應該等于隨機變量X X的數(shù)字特征。的數(shù)字特征。 復隨機變量的數(shù)學期望復隨

54、機變量的數(shù)學期望 ZXjY ZXY mE ZE XjE Ymjm 復隨機變量的方差復隨機變量的方差 復隨機變量復隨機變量Z1Z1和和Z2Z2的相關矩的相關矩 兩個隨機變量獨立兩個隨機變量獨立 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 相互獨立相互獨立 222 22 | Z XY DD ZE ZE XY E XE YDD 12 121 21 221 * 121122 ()() () Z Z X XYYX YY X KE Z ZE XYXY KKj KK 12 1 21 12 2 12121122 ( ,)( ,)(,) X X YYX YX Y fx xy yfx yfxy 兩個隨機變量不相關兩個隨機變量不

55、相關 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 不相關不相關 兩個隨機變量正交兩個隨機變量正交 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 正交正交 12 1122 ()()0 Z Z KE XYXY 12 * 12 0 Z Z RE Z Z 2.2.5 5.2.2復隨機過程復隨機過程 復隨機過程的定義復隨機過程的定義 其概率密度為其概率密度為 其數(shù)學期望為其數(shù)學期望為 其方差為其方差為 ( )( )( )Z tX tjY t 12121212 ( ,; , , , , ,) XYnnnn fx xxy yy t tt t tt ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Z XY mtE Z tE X tjE Y t

56、 mtjm t 222 22 ( ) ( )|( )| ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Z XY DtD Z tE Z tE X tY t E X tE Y tDtD t 其自相關函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù)其自相關函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù) 平穩(wěn)復隨機過程平穩(wěn)復隨機過程 * ( ,)( ) () Z Rt tE Zt Z t ( ,)( ) (0) ZXY ZZ Z mmjm Rt tR R * * ( ,)() ( ( )( ) ( ()() Z ZZ Kt tE Z Z t E Z tmtZ tmt 復平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)和互協(xié)方差函復平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)和互協(xié)方差函 數(shù)數(shù) 復平穩(wěn)隨機

57、過程的不相關復平穩(wěn)隨機過程的不相關 復平穩(wěn)隨機過程的正交復平穩(wěn)隨機過程的正交 12 * 12 ( ,)( )() Z Z Rt tE Zt Z t 12 * 12 ( ,)() Z Z Kt tE Z Z t 12 ( ,)0 Z Z Kt t 12 ( ,)0 Z Z Rt t 2.2.6 6正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程 2.2.6 6.1.1正態(tài)隨機過程的一般概念正態(tài)隨機過程的一般概念 正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程X(t)X(t)的的n n維概率密度為維概率密度為 式中式中 是是n n維向量，維向量， 是是n n維矩陣。維矩陣。 1212 ( ,; , ,) Xnn fx xx t tt X mK

58、 1 1/2 /2 ()()1 exp 2 (2 ) T XX n xmKxm K ( ,)()() ikXikiikkikik KKt tE XmXmr 11121 21222 12 n n nnnn KKK KKK K KKK 正態(tài)隨機過程的正態(tài)隨機過程的n n維概率密度只取決于其一、維概率密度只取決于其一、 二階矩函數(shù)二階矩函數(shù)數(shù)學期望和方差數(shù)學期望和方差 2.2.6 6.2.2平穩(wěn)正態(tài)隨機過程平穩(wěn)正態(tài)隨機過程 若若 此正態(tài)隨機過程稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。此正態(tài)隨機過程稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。 ( ,)() , ,1,2, (0) iX XikXk i k iki X mm Rt tR i

59、kn R n n維概率密度為維概率密度為 1212 2 11 ( ,; , ,) 11 exp()() 2 (2 ) Xnn nn ikiXkX nn ik X X fx xx t tt Rxmxm R R 11121121 21222212 1212 1 1 1 nn nn nnnnnn rrrrr rrrrr R rrrrr 2.2.6 6.3.3正態(tài)隨機過程的性質正態(tài)隨機過程的性質 1 1、正態(tài)隨機過程的、正態(tài)隨機過程的n n維概率密度完全取決于它的均維概率密度完全取決于它的均 值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。 2 2、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)等價。、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴

60、平穩(wěn)等價。 3 3、如果正態(tài)隨機過程、如果正態(tài)隨機過程X(t)X(t)在在n n個不同時刻個不同時刻 采樣，所得一組隨機變量采樣，所得一組隨機變量 為兩兩互為兩兩互 不相關，即不相關，即 則，這些隨機變量也是相互獨立的。則，這些隨機變量也是相互獨立的。 12 , , n t tt 12 , n XXX ( ,)()()0 ikXikiikk KKt tE XmXm 證明：證明：X(t)X(t)的的n n維概率密度為維概率密度為 1212 2 2 1 12 ( ,; , ,) ()11 exp 2 (2 ) Xnn n ii n i i n fx xx t tt xm 2 2 1 ()11 ex