1、剛體力學習題詳解7. 1. 1 設地球繞日作圓周運動.求地球自轉和公轉的角速度為多少rad/s? 估算地球赤道上一點因地球自轉具有的線速度和向心加速度估算地心因公轉而具 有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.解答_ 2龍24x3600= 7.27x10 5(rad/s)365x24x3600 =2-4xl7(rad/S)7. 1. 2汽車發(fā)動機的轉速在12s內ill 1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假設轉動是勻加速轉動，求角加速度.（2）在此時間內，發(fā)動機轉了多少轉?解答(1)= 1.57(rad/s2)De = 2%x (3000 1200)x1/60yT7.

2、 1. 3 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內的角位移為0 二 at + bt - ct4(0:ad,t :$)球t時刻的角速度和角加速度.解答 = at + bt3 - ct4a)=a + 3bt2 一 4ct5dtP = 6bt 12ct2dt7. 1.4 半徑為0. lm的圓盤在鉛直平面內轉動，在圓盤平面內建立O-xy坐標系，原點在軸上.X和y軸沿水平和鉛直向上的方向.邊緣上一點A當t二0時恰 好在x軸上，該點的角坐標滿足0 = 1.2t + F(0 ： rad,t: s).求 t二0時，(2)自t=0開始轉45時，(3)轉過90時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影.解答0 = 1.2t +

3、123 1.2+ 2tB = 2i H Ob H 一2 尸 H R j H 0 12j(m/s) 產(chǎn) H 0 j n 0.12(m/s)aHan =|補=-0144(！11、52)FHR0HO.2(m、s2)0丄21 + 039乾7 047&)4 Q = 214sd、s)H015(m、s)H&I(IRQ sin 0i + RQ cos 0j)HIR(e sin 9i + y cos gj)Hs( I g2 cos 010S5-3i + (m2 sin 8 + 0COS-3j 嚴=0465(m、s2)$ =-0lx3(mrs2)jr0 = 1.2t + t2=-,Wt = 0.7895(s),

4、O) = 2.78( rad / s) 2v vA =-Rx/yi = -O.278i(m/s)匕=-0.278(m / s), vy = 0(m / s)a、=-R/? = -0.2(m/s2)V 2ay =一- =-0.77(m/s2)R7. 1. 5鋼制爐門由兩個各長1. om的平行臂AB和CD支承，以角速度= 32L7(m/s)山于槳頭同時參與兩個運動：勻速直線運動和勻速圓周運動。故槳頭軌跡應 是一個圓柱螺旋線。7.1. 8桑塔納汽車時速為166km/h.車輪滾動半徑為0. 26m.自發(fā)動機至驅動輪的轉速比為0. 909問發(fā)動機轉速為每分多少轉解答設發(fā)動機轉速為n發(fā),驅動輪的轉速為=0

5、.909, n=0.909nK.由題意:（1）汽車的速率為166x1060166X10360166x10一 2rR輪 6()(2)（2）代入（1）n0-909260 = L54xl3(reV/min)7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質量和質心位置.（1）圓錐體為 均質；（2）密度為h的函數(shù)：為正常數(shù).解答建立如圖坐標0-x, III對稱軸分析知質心在x軸上。由1 xdm 1 xpdv 1 xdv xc = -7= 丁=J dm J pdv J dv得：(1)(a/L)2dr3C_丄小F3質量(2)J：楓(譏)2 燉(l-fxkx =r=L(h=L _ x)00(1-衛(wèi)兀(譏)也5質量

6、m = J： PoO-pX，x)2dr = PE +7. 2. 3 長度為0的均質桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，山于桿不可能絕對沿鉛直 方向，故隨即到下求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求岀軌跡的方程 式）.解答建立坐標系，水平方向為軸，豎直方向為y軸.桿上端坐標為(x,y)，桿受重力、地面對桿豎直向上的支承力，無水平方向 力。由(質心運動定理)質心在桿的中點，沿水平方向質心加速度為零。開始靜止，桿質心無水平方 向移動。山桿在下落每一瞬時的兒何關系可得：(2X)2 + 屮=廠即桿上端運動軌跡方程為：4x + y2=Q7. 3.1 (1)用積分法證明：質量為m長為0的均質細桿

7、對通過中心且與桿垂直的軸線的轉動慣量等于解答建立水平方向ox坐標, = 2JJx7dx = 2（2）用積分法證明：質量為m、半徑為R的均質薄圓盤對通過中心且在盤面內的轉動軸的轉動慣量為解答(R2-x2pdxI = 2 J： (2VR2 -x2)2(2a/r2 -x2)dx=令x = Rsin0扌哦f(r2 - R2 sin2 oy Rcosd =扌長R4d03x2)dx,或利用公式nmr = 24.5kg,近似認為圓形部分為均質圓盤，長桿部分為均質細桿.求對過懸點且與擺面 垂直的軸線的轉動慣量.解答將擺分為兩部分：均勻細桿（），均勻圓柱（b）FTL丄叫 L2D0.14(kglm2)3+ mr(

8、L + r)2（用平行軸定理） 2.51(kgLhi2)1=0. 14+2.51=2.65(kgHn2)7. 3.3 在質量為M半徑為R的均質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔 中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量.解答設未挖兩個圓孔時大圓盤轉動慣量為Io如圖半徑為“的小圓盤轉動慣量為T和1O則有(Ix = 1一1 一【2)Tl =L-!MR2 21-血屮+ M 2(R)222R2龍姑v21.?2r4=嚴（心飛）7. 3.5一轉動系統(tǒng)的轉動慣量為I = 8.0kg.m2,轉速為75m滑輪轉動慣量是多少?解答分析受力。建立坐標系，豎直向下為x軸正方向，水平向左

9、為y軸正方向。軸垂直紙面向里。根據(jù)牛頓第二定律，嘉定理，角量與線量關系可列標量方程組：mlg-Tl =m1aI m2g-T2 = m2(-a2) (T； T；)R = I0已知a, = R0 =a2， =l；,T2=T；JJx = -at2(其中 mpm2,iqjx,t 為已知)求解上列方程組：a1=- = 0.06(m/s2)R21 = (rri 一m2)g + (m| +叫風= 1.39xl02(kg-m2)ai7. 3.8 斜面傾角為0,位于斜面頂端的卷揚機鼓輪半徑為R,轉動慣量為L受到驅動力矩此通過繩 索牽引斜面上質量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為,求重物上滑的加速度繩與斜面平行

10、，不計繩質量.解答分析受力及坐標如圖。z軸垂直紙面向外。列標量方程組：NT-mgsinO-mg cos 勿=maX亍(1)_M+TR=-0I鄉(xiāng)(2)a = R07(3)T=(4)解得:T 一 mg sin 0 - mg cos Opt = maR(M 一 mgR sin 0 一 mgR cos 創(chuàng))I + mR27. 3. 9利用圖中所示裝置測一輪盤的轉動慣量，懸線和軸的距離為r.為減 小因不計軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質量較小的重物,從距地面高度h處由靜止開始下落，落地時間為*1,然后懸掛質量較大的重物叫,同樣由高度h下落，所需時間為,根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉動慣量近似認為兩種情況下摩

11、擦力矩相同.分析受力及坐標如圖。軸垂直紙面向里。列方程：Trr-M阻詡 -a產(chǎn)諂2h r TT解得Me=m1r(g-)-Iq rt,MB=m2如尋)-1尋X ft0r(g2h（m】-叫血+ 211（非-）7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線0轉動，其轉動慣量I為裝置 的一端有槽，槽內有彈簧，槽的中心軸線與轉軸的垂直距離為r.在槽內裝有一小 球，質量為m,開始時用細線固定，只彈簧處于壓縮狀態(tài).現(xiàn)用燃火柴燒斷細線， 小球以速度V。彈岀求轉動裝置的反沖角速度在彈射過程中，山小球和轉動裝置構成的系統(tǒng)動能 守恒否？總機械能守恒否？為什么？（彈簧質量不計）解答取小球和轉動裝置為物體系，建立順時針為

12、轉動正方向。在彈射過程中，物 體系相對于轉動軸未受外力矩，故可知物體受對轉軸的角動量守恒。有rm嶺動能不守恒，原因是彈性力對系統(tǒng)作正功，物體系動能增加。總機械能守恒。原因是此過程中無耗散力做功。應有守恒關系式：丄 ktlx2 = + 丄 I”2 2 0 27.4.2 質量為2. 97kg，長為1.0m的均質等截面細桿可繞水平光滑的軸線0轉動，最初桿靜止于鉛直方向一彈片質量為10kg,以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角解答取子彈和桿為物體系。分兩個過程。過程1:子彈嵌入前一瞬時開始到完全嵌入時為止。此過程時間極短，可視 為在原地完成。此時受力為-mg9Mg,N

13、為轉軸對桿的支承力，對于軸，外力矩為零。有角動量守恒。規(guī)定逆時針為轉軸正 方向。得：mo =mfa)+ oa)解得:co = = 2.0( rad / s)3過程2： iha程i末為始到物體系擺至最高點為止。此過程中一切耗散力做功為零。故物體系機械能守恒。取桿的最低點為重力勢能零點。有X|fl 1AQMg + m/W + - Mf2a)2 = (1 一 cos 0)mg + (1-cos O)Mg + Mg解得cos = 1 -2= 0.864垮T 0 = 30.37. 4. 3質量為,速度為V1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質量為m2 = 99111,長度為L的棒的端點，速度V1與棒垂直，棒原來

14、靜止于光滑的水平面上子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞 垂直于平面的軸的角速度等于多少？解答取與為物體系。此物體系在水平面內不變外力矩。故角動量守恒，規(guī)定逆時針為轉動正 方向。設 嵌入后物體系共同質心為到棒右端距離為,棒自身質心為由m r = m 2 （土-）（質心公式）2m.L/299 Tr = =Lni+叫 2000）有物體系對點的角動量守恒可得:1I 991= -m2L2 + m2-Lf=-x99miL+99m解得= 0.058 v（/L744某典型脈沖星，半徑為兒千米，質量與太陽的質量大致相等，轉動角速率很大試估算周期為50ms的脈沖星的轉動動能（自己查找太陽質量的數(shù)據(jù)）解答7. 5.

15、 110m高的煙囪因底部損壞而倒下來，求其上端到達地面時的線速度.設倒塌時底部未移動可近似認為煙囪為細均質桿.解答221 Imh2 h X3v = ha = J3gh = 17.1(m/s)7. 5. 2 用四根質量各為m長度各為的均質細桿制成正方形框架，可繞其一邊的中點在豎直平面內轉動，支點0是光滑 的最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當AB邊達到水 平時，框架質心的線速度Vc以及框架作用于支點的壓力凡解答框架對0點的轉動慣量:I1I/2/217I。花曲+2_m+m(J_+_)2+_m.巧曲在框架擺動過程中，僅受重力和支點的支撐力，重力為保守力，支撐力不做功，故此過程中框架的機械能守恒。取過框架中心的水平線為重力勢能零點：解得:/ _ 4mg _ 12 g框架轉到AB水平