1、題型三 填空壓軸之幾何圖形多解問題1. 已知正方形 abcd 的邊長為 4 2，如果 p 是正方形對角線 bd 上一點，滿足 abpcbp，若pcb 為直角三角形，則 bp 的長為_2. 如圖，在矩形 abcd 中，ab8，ad6，e 為 ab 邊上一點，將bec 沿 ce 翻折， 點 b 落在點 f 處，當aef 為直角三角形時，be_第 2 題圖第 4 題圖3. 在矩形 abcd 中，ab4，bc6，若點 p 在 ad 邊上，連接 pb、pc，bpc 是以 pb 為腰的等腰三角形，則 pb 的長為_4. 如圖，在矩形 abcd 中，ab4，bc3，點 p、q 分別為直線 ab、bc 上的點

2、，滿 足 pdpq，則當pdq 為等腰三角形時，ap 的長為_25. 已知abc 中，tanb ，bc6，過點 a 作 bc 邊上的高，垂足為點 d，且滿足 bdcd321，則abc 面積的所有可能值為_6. 如圖，有一張面積為 10 的三角形紙片，其中一邊 ab 為 4，把它剪開兩次拼成一個 矩形(無縫隙、無重疊)，且矩形的一邊與 ab 平行，則矩形的周長為_第 6 題圖第 7 題圖7. 如圖，在矩形 abcd 中，ab4，ad8，mn 為對角線 bd 的垂直平分線，以 bd為底邊作等腰三角形 bpd，使得點 p 落在直線 mn 上，且 pd5，則 ap_8. 在 abc 中，a90，aba

3、c 22，d 是邊 ac 上的動點，滿足 bd 的垂 直平分線交 bc 于點 e，若cde 為直角三角形，則 be 的長為_9. 如圖，在四邊形 abcd 中，aabc90，ad1，bc3，e 是邊 cd 的中點，連接 be 并延長交 ad 的延長線于點 f，若bcd 是等腰三角形，則四邊形 bdfc 的面積為 _第 9 題圖第 10 題圖10. 如圖，在矩形 abcd 中，ab 6，ad 2 3，e 是 ab 邊上一點，ae 2，f 是直線 cd 上一動點， aef 沿直線 ef 折疊，點 a 的對應點為點 a ，當點e 、a 、c三點在 一條直線上時，df 的長度為_11. 已知在 rta

4、bc 中，斜邊 ab 5，bc 3，以點 a 為旋轉中心，旋轉這個三角形 至ab c的位置，那么當點 c 落在直線 ab 上時，bb _12. abc 中，ab 4，bc 6，b 60，將abc 沿射線 bc 方向平移得 a bc， 使得 b c4，連接 a c，則bc的周長為_13. 如圖，在 abcd 中，a 60，ab 3，點 e 、f 分別為 ad 、bc 的中點，沿 ef折疊平行四邊形，使 cd 落在直線 ab 上，點 c 的對應點為 c ，點d 的對應點為 d ，若bd 1，則 ad 的長為_第 13 題圖第 14 題圖14. 定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形如圖，在互補

5、四邊形紙片 abcd中，ba bc ，ad cd ，a c 90，adc 30.將紙片先沿直線 bd 對折，再將對折后的紙片從一個頂點出發的直線裁剪，把剪開的紙片打開后鋪平，若鋪平后的紙片中有一 個面積為 4 的平行四邊形，則 cd 的長為_15. 如圖，在 abc 中，b 90，bc 2ab 8，點 d ，e 分別是邊 bc ，ac 的中點，連接 de ，將edc 繞點 c 按順時針方向旋轉，當edc 旋轉到 a ，d ，e 三點共線時， 線段 bd 的長為_第 15 題圖2 2 22 22 222 2 2 2參考答案1. 4 或 8 【解析】由題可知， abpcbp，點 p 一定處于正方形

6、對角線 bd 上， 共存在兩種情況使pbc 為直角三角形，(1)如解圖，當 cppb 時，有 pc pb bc . 又cbp45，pbpc，bp4；(2)如解圖，當 p 點與 d 點重合 pbc 為直 角三角形，bp 2bc8.第 1 題解圖2. 3 或 6 【解析】如解圖，當afe90時，設 bex，則 efx，ae8x，fc bc6，由勾股定理得 ac ab bc 10，af1064，在 aef 中，4 x (8x)，解得 x3，be3；如解圖，當aef90時，四邊形 bcfe 是正方形，bebc6.綜上所述，be3 或 6.第 2 題解圖3. 5 或 6 【解析】如解圖，當 pbpc 時

7、，點 p 是 bc 的中垂線與 ad 的交點，則 ap 1dp ad3，在 rtabp 中，由勾股定理可得 pb ap ab 3 4 5；如解圖 2，當 pbbc6 時，bpc 也是以 pb 為腰的等腰三角形綜上所述，pb 的長度為 5 或 6.第 3 題解圖4. 1 或 7 【解析】pdq 是等腰三角形，分三種情況：如解圖，若點p 在線段 ab 上，dpq90，pdpq，apdbpq90，在矩形 abcd 中，ab 90，apdadp90，adpbpq，dappbq(aas)，pbad 3，ap431；如解圖，若點 p 在線段 ab 的延長線上，pq 交 cb 的延長線于 點 q，pdpq，

8、同理可 adpbpq，adpb，apabad347；當 p 在線段 ba 的延長線上時，顯然不成立，故 ap 的長為 1 或 7.2 222 2 2 2第 4 題解圖5. 8 或 24 【解析】如解圖，bc6，bdcd21，bd4，在 abd 中，2 8 1 1 8adbdtanb4 ， bc ad 6 8；如解圖，bc6，bdcd3 3 abc 2 2 32 1 121，bd12，在 abd 中，adbdtanb12 8， bc ad 683 abc 2 224.abc 面積的所有可能值為 8 或 24.第 5 題解圖6. 13 或 14 【解析】分為兩種情況：如解圖，沿 mn 剪開，再沿

9、cq 剪開(cdab 于 點 d，mn 為abc 的中位線，cd 交 mn 于點 q)，將cqn 放 bfn 的位置上 cqm1放在aem 的位置上，由三角形面積公式得 10 4cd，解得 cd5，mn 為abc21的中位線，cqdq cd2.5，矩形 aefb 的周長為(2.54)213；如解圖，2沿 nq、mt 剪開(n、m 分別為 ac、bc 中點，eqba 于點 q，ftab 于點 t，cdab 于點 d)，將aqn 放在cen 的位置上 btm 放在cfm 的位置上，由三角形面積公1式得 10 4cd，解得 cd5，n 為 ac 中點，cdeq，aqdq，同理 btdt， 21qt

10、ab2，矩形 eqtf 的周長為(52)214.故答案為 13 或 14.2第 6 題解圖7. 3 或 41 【解析】如解圖，連接 bm，dn，an，得到四邊形 bndm 為菱形，bm md，ammdambmad8，在 abm 中，設 amx，則 bm8x，ab4， 根據勾股定理得：x 4 (8x) ，解得 x3，am3，md5.當 pb 和 pd 在 bd 上方 時，點 p 與點 m 重合，則 apam3；當 pb 和 pd 在 bd 下方時，點 p 與點 n 重合，由 對稱性得到 pdndbnmd5，在 abn 中，ab4，bn5，根據勾股定理得： an ab bn 4 5 41，此時 a

11、pan 41.綜上所述，ap 的長為 3 或 41.222 22 22 22222第 7 題解圖8. 21 或 2 【解析】當ced90時，點 d 與點 a 重合，e 是 bc 的中點，如解圖1 1.bc 2ab 2( 22)2( 21)，be bc 2( 21) 21；當cde2 290時，如解圖，a90，abac，c45， cde 是等腰直角三角形， ce 2de，易得 bede，ce 2be，cebe 2bebe2( 21)be 2.綜上所述，若cde 為直角三角形，則 be 的長為 21 或 2.第 8 題解圖9. 6 2或 3 5 【解析】aabc90，bcad，cbedfe，bec

12、 fed，cede，becfed(aas)，befe，四邊形 bdfc 是平行四邊形， 當 bcbd3 時，在 abd 中，ab 3 1 2 2，s 32 26 2；四邊形 bdfc當 bccd3 時，如解圖，過點 c 作 cgaf 于點 g，則四邊形 abcg 是矩形，ag bc3，dgagad312，在 cdg 中，cg 3 2 5，s 3 5四邊形 bdfc3 5；bdcd 時，bc 邊上的中線應與 bc 垂直，從而 bc2ad2，矛盾，此時不成 立故四邊形 bdfc 面積為 6 2或 3 5.第 9 題解圖10. 62 7或 62 7 【解析】如解圖，f 是線段 cd 上一動點，由翻折

13、可知，fea fea ，cdab ，cfe aef，cfecef ，ce cf，在 bce中，ec bc eb （2 3） 4 2 7，cfce2 7 ，abcd6，df cdcf62 7；如解圖， f 是 dc 延長線上一點，由翻折可知，feafea，cdab ， cfe bef ，cfe cef ，ce cf ，在 bce 中， ec bceb （2 3）42 7，cfce2 7，abcd6，dfcdcf62 7，故答案為 62 7或 62 7.圖圖第 10 題解圖11. 10或 3 10 【解析】如解圖，當點 c在線段 ab 上時，ab5，bc3，在2 222222abc 中，ac ab

14、 bc 4，以點 a 為旋轉中心，旋轉這個三角形 abc的位 置，ac4，bc1，bc3，bb （bc） （bc） 10；如解圖，當點 c在線段 ba 的延長線上時，ab5，bc3，ac4，以點 a 為旋轉中心，旋轉這個 三角形至abc的位置，bc9 ，bc 3，bb （bc） （bc） 3 10. 故長 bb長為 10或 3 10.圖圖第 11 題解圖12. 12 或 84 3 【解析】當點 b在線段 bc 上，如解圖，abc 沿射線 bc 方向平 移得到bc，abab4，bcbc6，abcabc60，bc4，ab bc，bc 為等邊三角形 abc 的周長為 12；當點 b在線段 bc 的延

15、長線上， 如解圖，作 bhac，abc 沿射線 bc 方向平移得 abc，abab4，abc abc60，bc 4 ，ab bc，bca bac ，chah，而abc1bcabac，bca30，在 bch 中，bch30，bh cb2，ch 3bh2 3，ac2ch4 3，bc 的周長444 384 3.故答案 為 12 或 84 3.第 12 題解圖13. 4 或 8 【解析】如解圖，當點 d在線段 ab 上時，adabbd312，e 是 ad 的中點，aede，由折疊的性質得 eded，edae，a60，aed 是等邊三角形，aead2，ad4.如解圖，當點 d在 ab 的延長線上時，ad

16、ab bd4.同理可知aed是等邊三角形，aead4，ad8.圖圖第 13 題解圖14. 2 2 6或 4 22 6 【解析】如解圖，作 ceab 交 bd 于點 e，延長 ce 交 ad 于點 f，連接 ae，過點 b 作 bgae 于點 g，babc，此時的平行四邊形 abce 為菱 形，badbcd90，adc30，abcf，cfd90，bcebae aef30，設 bgm，則 ba2m，菱形 abce 的面積為 4，2mm4，解得 m 22222 22 2222 2(負值舍去)，aeceba2 2，efaecos30 6，cf2 2 6，在 cfd 中，cd2cf4 22 6；如解圖，作 bead 交 cd 于點 e，作 bfcd 交 ad 于點 f，根據折疊與裁剪可知 bebf，此時的平行四邊形 bedf 也是菱形，befd，bec adc30，ac90，設 bcn，則 be2n，ce 3n，菱形 bedf 的面 積為 4，2nn4，解得 n 2(負值舍去)，bc 2，debe2 2，ce 6，cd cede2 2 6，綜上所述，cd 的長為 2 2 6或 4 22 6.第 14 題解圖1215. 4 5或 5 【解析】如解圖，易得 ac ab52bc 4 5，cd4，cdad，ad ac cd （4 5） 4 8016 8，adbc，abdc，b90，四