1、8.4線性系統的可控性和可觀測性8.4.1可控性和可觀測性的概念第三節介紹了系統的穩定性，本節接著介紹系統另外兩個重要特性，即系統的可控性 和可觀測性，這兩個特性是經典控制理論所沒有的。在用傳遞函數描述的經典控制系統中， 輸出量一般是可控的和可以被測量的，因而不需要特別地提及可控性及可觀測性的概念。現代控制理論用狀態方程和輸出方程描述系統，輸出和輸入構成系統的外部變量，而狀態為系統的內部變量，系統就好比是一塊集成電路芯片，內部結構可能十分復雜， 物理量很多，而外部只有少數幾個引腳，對電路內部物理量的控制和觀測都只能通過這為數不多的幾個引腳 進行。這就存在著系統內的所有狀態是否都受輸入控制和所有

2、狀態是否都可以從輸出反映出 來的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統所有狀態變量的運動都可以通過有限的 控制點的輸入來使其由任意的初態達到任意設定的終態，則稱系統是可控的，更確切的說是狀態可控的；否則，就稱系統是不完全可控的，簡稱為系統不可控。相應地，如果系統所有 的狀態變量任意形式的運動均可由有限測量點的輸出完全確定出來，則稱系統是可觀測的， 簡稱為系統可觀測；反之，則稱系統是不完全可觀測的，簡稱為系統不可觀測。可控性與可觀測性的概念，是用狀態空間描述系統引伸出來的新概念，在現代控制理論中起著重要的作用。可控性、可觀測性與穩定性是現代控制系統的三大基本特性。下面舉幾個例子直觀地說明系統

3、的可控性和可觀測性。(a)(b)(c)圖8-20電路系統可控性和可觀測性的直觀判別對圖8-20所示的結構圖，其中圖（a）顯見洛受U的控制，但X2與U無關，故系統不 可控。系統輸出量 丫 =捲，但X!是受X2影響的，y能間接獲得X2的信息，故系統是可觀測 的。圖（b）中的，X2均受u的控制，故系統可控，但 y與X2無關，故系統不可觀測。圖（c）中的Xi、X2均受u的控制，且在 y中均能觀測到Xi、X2，故系統是可控可觀測的。只有少數簡單的系統可以從結構圖或信號流圖直接判別系統的可控性與可觀測性，如果系統結構復雜，就只能借助于數學方法進行分析與研究，才能得到正確的結論。8.4.2 線性定常系統的可

4、控性可控性分為狀態可控性和輸出可控性， 若不特別指明， 一般指狀態可控性。 狀態可控性 只與狀態方程有關，與輸出方程無關。下面分別對離散、連續定常系統的可控性加以研究， 先從單輸入離散系統入手。1.離散系統的可控性(1)單輸入離散系統的狀態可控性n 階單輸入線性定常離散系統狀態可控性定義為：在有限時間間隔內t 0, nT，存在無約束的階梯控制序列u( 0),，u (n-1),能使系統從任意初態x (0 )轉移至任意終態 x (n),則稱該系統狀態完全可控，簡稱可控。下面導出系統可控性的條件，設單輸入系統狀態方程為x(k i)x(k) gu(k)( 8-87 )其解為kix(k)kx(0)k i

5、 igu(i)i0( 8-88 )定義x x(n)nx(0)( 8-89 )由于 x(0) 和 x(n) 取值都可以是任意的,因此nxigu(0)n 2gu(i)ggLnig記Sig g L n矩陣形式,有x 的取值也可以是任意的。將 (8-89)寫成L gu(n 1)u(n 1)u(n 2)( 8-90)Mu(0)1g ( 8-91 )稱(n n)方陣為單輸入離散系統的可控性矩陣。 式(8-90)是一個非齊次線性方程組， n 個方程中有n個未知數u(0), ,u(n 1)，由線性方程組解的存在定理可知，當矩陣Si的秩與增廣矩陣 S1Mx(0) 的秩相等時, 方程組有解(在此尚有惟一解) ,否

6、則無解。 注意到在 x 為任意的情況下，要使方程組有解的充分必要條件是：矩陣S1滿秩，即rank S1 n( 8-92)或矩陣Si的行列式不為零，或矩陣Si是非奇異的，即detS1 0( 8-93 )式( 8-92)和式( 8-93)都稱為可控性判據。當rank Siv n時，系統不可控，表示不存在能使任意 x(0)轉移至任意 x(n)的控制。從以上推導看出，狀態可控性取決于和g，當u(k)不受約束時，可控系統的狀態轉移過程至多以n個采樣周期便可以完成，有時狀態轉移過程還可能少于n個采樣周期。上述過程不僅導出了單輸入離散系統可控性條件，而且式（8-90）還給出了求取控制輸入的具體方法。（2）多

7、輸入離散系統的狀態可控性單輸入離散系統可控性的方法可推廣到多輸入系統，設系統狀態方程為x(k1)x(k) Gu(k)（8-94）可控性矩陣為S2GGLn 1G（8-95）u(n 1)xGG Ln 1GM（8-96）u(0)該陣為n np矩陣,由于列向量u(0),u(n1）構成的控制列向量是np維的。式（8-96）含有n個方程和np個待求的控制量。由于 x是任意的，根據解存在定理，矩陣S2的秩為n 時，方程組才有解。于是多輸入線性定常散離系統狀態可控的充分必要條件是n 1rank S2rankGGG n（8-97）或detS2S；0（ 8-98）S2的行數總小于列數，在列寫S2時，若能知道S2的

8、秩為n，便不必把S2的其余列都計算和列寫出來。另外，用（8-98）計算一次n階行列式便可確定可控性了，這比可能需要 多次計算 S2的n階行列式要簡單些。多輸入線性定常離散系統的狀態轉移過程一般可少于n個采樣周期（例8-31 ）。例8-20設單輸入線性定常散離系統狀態方程為1001x(k 1)022x(k)0 u(k)1101試判斷可控性；若初始狀態x（0）210T，確定使x（3）0的控制序列u（0）,u（1）u（2）;研究使x（2）0的可能性。解由題意知1 0010 227g 01 1011112rankE rankggg= rank 0223 n113故該系統可控。可得狀21x(1)x(0)

9、gu(0)20 u(0)11211x(2)x(1)gu(1)62 u(0)0u(1)0112111x(3)x(2)gu(2)122 u(0)2 u(1)0 u(2)4311111u(0)2令x(3)0，即解下列方程組220 u(1)12311u(2)4按式(8-96)求出u(0) ,u(1) ,u(2)。下面則用遞推法來求控制。令k=0, 1, 2,態序列其系數矩陣即可控性矩陣Si,它的非奇異性可給出如下的解iu(0)1112u(1)2 2 012u(2)3 1 14若令x(2)0，即解下列方程組容易看出其系數矩陣的秩為2，但增廣矩陣124511810 u(0)彳 u(1)11122 06 的

10、秩為3,兩個秩不等,110組無解，意為不能在第二個采樣周期內使給定初態轉移至原點。若該兩個秩相等時,著可用兩步完成狀態轉移。方程便意味例8-21多輸入線性定常離散系統的狀態方程為x(k 1) x(k) Gu(k)22100020 ,G0114010試判斷可控性，設初始狀態為-1 , 0 ,2 T，研究使x(1)0的可能性。001224解S2 G G 2G= 0102041004110由前三列組成的矩陣的行列式不為零,故該系統可控，一定能求得控制使系統從任意初態在三步內轉移到原點。由x(1)x(0)Gu(0)0，給出x(0)1Gu(0)設初始狀態為U1(0)u2(0)U1(0)u2(0)1212

11、1T11102 ，由于 rank 0=rank00=2，可求得2223232U1(0)1,U2(0) 0 ,在一步內使該初態轉移到原點。當初始狀態為2123T亦然,只是U1(0)0, U2(0)1。但本例不能一步內使任意初態轉移到原點。2連續系統的可控性(1)單輸入連續系統的狀態可控性單輸入線性連續定常系統狀態可控性定義為:t t,tf，如果存在無約束的分段連續控制函數u(t)，能使系統從任意初態x(t。)轉移至任意終態x(tf)，則稱該系統是狀態完全可控的，簡稱是可控的。設狀態方程為有限時間間隔內x Ax bU(8-99)終態解為x(tf) = eA(tf t0)x(t)tfeA(tf bu

12、( )dt0(8-100)定義x x(tf) eA(tft0)x(t)顯然，x的取值也是任意的。于是有t0f eA(tf)bu( )d(8-101)利用凱萊-哈密頓定理的推論m()AmAtfx etft0m()Ambu( )dn 1Atfm.e A btf0 m( )u( )dtf令Umm()u( )dm 0,1,t0,n 1(8-102)考慮到Um是標量，則有U0Atf eXn 1AmbUmb AbAn 1bU1(8-103)m 0Un 1記S3bAb L An 1b(8-104)S3為單輸入線性定常連續系統可控性矩陣，為（n n）矩陣。可以證明：由于各 m（）之間線性無關，利用（8-103

13、 ）式得到的Um是無約束的階梯序列。同離散系統一樣，根據解 的存在定理，其狀態可控的充分必要條件是(8-105)rank S3 n（2）多輸入線性定常連續系統的可控性:對多輸入系統x Ax Bu(8-106)記可控性矩陣S4 B AB L An1B(8-107)狀態可控的充要條件為rank S4 n 或det S4S40(8-108)A、B矩陣有關。解選取狀態變量：x11 fR1 R2x l ( _R2X2丄(亠C R1 R2iL , X2 3R4uc。電路的狀態方程如下:R1)X1 -(R4L R R2二)X1 丄(一1 r3 r4c r1R3、)X2R3R41可控性矩陣為S3 b AbR1

14、R2R1 R2R2LC R1 R2L2(當 R1R4R2R3 時，rank S3 2=n,系統可控；反之當R2)X2R3R4R3R4R3R4)R4)R3R4)R1R4R2 R3，即電橋處于平衡狀態1時，rankS3 rank b Ab L0R1 R2R，1R20R3 R4& R4 ），系統不可控，顯然，U不與離散系統一樣，連續系統狀態可控性只與狀態方程中的例8-22試用可控性判據判斷圖8-21所示橋式電路的可控性。能控制X2。圖8-21電橋電路圖8-22并聯電路例8-23試判斷圖8-22所示并聯網絡的可控性。解 網絡的微分方程為x1 R1C1 x1x2R2C2x2u式中，X1Uc11 i1dt

15、C1,X21Uc2C2i2dt11X1X1uR1C1r C1狀態方程為11X2X2uR2C2R2C211于是rank bAb = rankr C12 2R1C111R2 C2、當 r1c1R2C2 時，系統可控。當R1R2 , C1C2 ，有 R1C1R2C2 ，rank bAb 1n，系統不可控；實際上，設初始狀態X1（t。） X2（t。），u只能使Xi（t）X2（t），而不能將X1（t）與X2（t）分別轉移到不同的數值，即不能同時控制住兩個狀態。例8-24判斷下列狀態方程的可控性X132X121X2020X211u1X3013X311u2213254解S4BABa2b11224411224

16、4顯見S4矩陣的第二、三行元素絕對值相同，rank S3 2 3，系統不可控。1. A為對角陣或約當陣時的可控性判據當系統矩陣A已化成對角陣或約當陣時，由可控性矩陣能導出更簡潔直觀的可控性判 據。下面先來研究兩個簡單的引例。1 0b設二階系統A、b矩陣為 A 1 ,b0Jb2bi1b1其可控性矩陣S3的行列式為detS, detb Abb1b2（ 21）b?2匕2由det S, 0時系統可控，于是要求：當A有相異特征值（21）時，應存在b1 0 ,b?0，意為A陣對角化且有相異元素時，只需根據輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統可控。若2i時，則不能這樣判斷，這時 det S, 0,系統總是不可控的

17、。1 1又設二階系統A、b矩陣為A1,b01b2其可控性矩陣S,的行列式為detS, detb Abb1b1 b2b；b21b2det S, 0時系統可控，于是要求，b2 0,與bi是否為零無關，即當 A矩陣約當化且相同特征值分布在一個約當快時，只需根據輸入矩陣中與約當塊最后一行所對應的行不是全零行，即可判斷系統可控，與輸入矩陣中的其它行是否為零行是無關的。以上判斷方法可推廣到A陣對角化、約當化的n階系統。設系統狀態方程為X110X1r11r1 pU1X22X2r21r2pU2（8-109）Xn0nXnrn1rnpUp式中1, n，為系統相異特征值。將式（8-109）展開，每個方程只含一個狀態

18、變量，狀態變量之間解除了耦和，只要每個方程中含有一個控制分量，則對應狀態變量便是可控的，而這意味著輸入矩陣的每一行都是非零行。當第i行出現全零時，Xj方程中不含任何控制分量，Xj不可控。于是 A矩陣為對角陣時的可控性判據又可表為：A矩陣為對角陣且元素各異時，輸入矩陣不存在全零行。當A為對角陣且含有相同元素時，上述判據不適用，應根據可控性矩陣的秩來判斷。設系統狀態方程為X11 1X1r11r1 pU1X21X2r21r2pU2X33X,31r3pU3（ 8-110）XnnXnr n1r叩up式中，1為系統的一重特征值且構成一個約當塊，3,n為系統的相異特征值。展開式(8-110)可見，x2, x

19、n各方程的狀態變量是解耦的， 上述A對角化的判據仍適；而X!方程中既含X!又含X2，在X2受控條件下，即使 X!方程中不存在任何控制分量，也能通過X2間接傳遞控制作用，使 X!仍可控。于是 A陣約當化時的可控性判據又可表為：輸入矩陣中 與約當塊最后一行所對應的行不是全零行(與約當塊其它行所對應的行允許是全零行)；輸 入矩陣中與相異特征值所對應的行不是全零行。當A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時, 適用，也應根據可控性矩陣的秩來判斷。例8-25 下列系統是可控的，試自行說明。例如00，以上判據不1)X1X220x11u2)3)X1X2110x1010X2002X3U1U2X11 1X10

20、00U1X21X2001U2X32X3010U3X431X4000U4X531X5000U5X6X63100U6X303 X22程為在前面研究狀態空間表達式的建立問題時，曾對單輸入-單輸出定常系統建立的狀態方例8-26 下列系統不可控的，試自行說明。X120X111)01UX2X20X11 0X112)0 1UX2X21X1310X121u3)X2030X200UX3001X3324可控標準型問題x&1010L0x10x&2001L0x20MMMMOMMMu(8-111)x&n 1000L1xn 10x&na0a1a2Lan1xn1其可控性矩陣為000L01000L1an 1n1MMMNMMS

21、3b AbLAn 1b(8-112)001L01an1L1an 1an2L與該狀態方程對應的可控性矩陣S3是一個右下三角陣，且其副對角線元素均為1，系統一定是可控的，這就是式(8-111)稱為可控標準型的由來。8.4.3 線性定常系統的可觀測性如果某個狀態可直接用儀器測量， 它必然是可觀測的。 在多變量系統中， 能直接測量的 狀態一般不多， 大多數狀態往往只能通過對輸出量的測量間接得到， 有些狀態變量甚至根本 就不可觀測。 須要注意的是， 出現在輸出方程中的狀態變量不一定可觀測， 不出現在輸出方 程中的狀態變量也不一定就不可觀測。1.離散系統的狀態可觀測性其定義為：已知輸入向量序列 u(0),

22、 ,u(n 1) 及有限采樣周期內測量到的輸出向量序 列 y(0), ,y(n 1) ，能惟一確定任意初始狀態向量 x(0) ，則稱系統是完全可觀測的， 簡稱 系統可觀測。下面研究多輸入 -多輸出離散系統的可觀測條件。8-113)x(k 1) x(k) Gu(k) y(k) Cx(k) Du(k)因為是討論可觀性，可假設輸入為0，其解為x(k) y(k)y(0)Cx(0)將 y(k) 寫成展開式y(1)Cx(0)y(n1)C n 1x(0)kx(0)C k x(0)8-114)CX1(0)y(0)其向量-矩陣形式為CX2(0)y(1)C n1Xn(0)y(n 1)C令TCV1C n1(8-11

23、5)(8-116)稱（nq n）矩陣V：為線性定常離散系統的可觀測性矩陣。式（ 8-115）展開后有nq個方程, 若其中有n個獨立方程，便可惟一確定一組的 x1（0）, ,xn（0）。當獨立方程個數多于 n時, 解會出現矛盾；當獨立方程個數少于 n時，便有無窮解。故可觀測的充分必要條件為(8-117)ran kV|T n由于rankV rank*，故離散系統可觀測性判據又可以表示為rankV rank CTTCT L ( T)n 1CTn(8-118)例8-27 判斷下列線性定常離散系統的可觀測性，并討論可觀測性的物理解釋。 矩陣有兩種情況。其輸出x(k 1)x(k)gu(k),y(k) Ci

24、(k),(i 1,2)C11 0,C2解計算可觀測性矩陣(1)當i 1時:0GTTCT2 ,(1T)2C；detV1故系統可觀測。由輸出方程y(k)X2（k）可見,在第k步便可由輸出確定狀態變量x2 ( k) o由于y（k 1） X2（k故在第（k+1）步便可確定1)X3(k) o2x2(k) X3(k)由于y(k 2)X2(k2)2x2(k 1) X3(k1)4x2 (k) 3x1(k)故在第（k+2）步便可確定x1 （k）。y (k), y (k+1), y ( k+2)的該系統為三階系統，可觀測意味著至多觀測三步便能由輸出測量值來確定三個狀態變量。(2)當i2時：013192C2T00,

25、TC2T00,(T )2C2T00102113013192rankV100000023102113故系統不可觀測。由輸出方程y(k)x3(k)x1(k)y(k 1)x3(k1)3x1(k)2x3(k)x1(k1)x1(k)x3 (k)y(k 2)x3(k2)3x1(k1) 2x3 (k1)9X1(k)X3(k)x1(k2)x1(k1) x3(k1)2X1(k)3X3(k)可看出三步的輸出測量值中始終不含x2(k),故 X2k)是不可觀測的狀態變量。只要有個狀態變量不可觀測，系統就不可觀測。2.連續系統的狀態可觀測性其定義為：已知輸入 u(t) 及有限時間間隔 t t0 tf 內測量到的輸出 y

26、(t ) ，能惟確定初始狀態 x(t 0) ，則稱系統是完全可觀測的，簡稱系統可觀測。對多輸入 -多輸出連續系統，系統可觀測的充分必要條件是：rankV2T rankCAM8-119)CA或rankV2rankCTATCT(AT)2CT L(AT)n1CTn( 8-120)V ,v2均稱為可觀測性矩陣。3. A 為對角陣或約當陣時的可觀測性判據當系統矩陣 A 已化成對角陣或約當陣時，由可觀測性矩陣能導出更簡捷直觀的可觀測性判據。設二階系統動態方程中 A、C 分別為 AC1C2可觀測矩陣 V 的行列式為 detv2 detCT ATCTCiC2iCi2C2C1C2( 21)detV2 0時系統狀

27、態可觀測，于是要求：當對角陣A有相異特征值（2 i）時,應存在 Ci 0,C20，即只需根據輸出矩陣中沒有全零列便可判斷系統可觀測。若2i時，則不能這樣判斷，這時 detV2 0，系統總是不可觀測的。設二階系統動態方程中A、C分別為A1011,CG C2亠TC11C1TCGC2G1 C2顯見，只要C10，系統便可觀測，與C2無關，意為A矩陣約當化且相同特征值分布在一則detV2 det CT A個約當塊內時，只需根據輸出矩陣中與約當塊最前一列所對應的列不是全零列，即可判斷系統可觀測，與輸出矩陣中的其它列是否為全零列無關。當A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊內時，例如010 ，以上判斷方法

28、不適用。以上判斷方法可推廣到A陣對角化、約當化的n階系統。設系統動態方程為（令u=0)c11C1nC21C2nx yxCq1Cqn(8-121)式中1,n為系統相異特征值，狀態變量間解耦，輸出解為y15C1ne 1t X1 (0)y2C2ne 2tx2(0)ynCq1Cqnentxn(0)(8-122)由式（8-122）可見，當C陣第一列全零時，在y1, , yq諸分量中均不含x1 （0），則x1（0）不 可觀測。于是 A矩陣為對角陣時可觀測判據又可表為：A矩陣為對角陣且元素各異時，輸出矩陣不存在全零列。當A為對角陣但含有相同元素時，上述判據不適用，應根據可觀測矩陣的秩來判斷。 設系統動態方程

29、為x111x1y1c11c1nx1x21x2y2c21c2nx2x33x3(8-123)xnnxnyncq1cqnxn1為二重特征值且構成一個約當塊，3, n ，為相異特征值。動態方程解為x1e 1tte 1t0x1(0)y1c11 Lc1ne 1t x1(0) te 1tx2(0)x2e 1tx2(0)y2c21 Lc2ne 1t x2 (0)x3e3tx3(0)y3c31 Lc3ne 3t x3(0)MOMMMMMxn0e ntxn(0)yncq1 Lcqne ntxn (0)(8-124)由式(8-124)可見，當C 矩陣第一列全為零時，在y1, yq 諸分量中均不含 x1(0) ；若第

30、一列不全為零，則必有輸出分量既含x1(0)，又含x2(0)，于是C 陣第二列允許全零。故 A為約當陣且相同特征值分布在一個約當塊內時， 可觀測判據又可表為： 輸出矩陣中與約當塊；輸出矩陣中與相最前一列對應的列是全零列(與約當塊其它列所對應的列允許是全零列) 異特征值所對應的列是全零列。以上判據不適用， 仍應根據可觀對于相同特征值分布在兩個或更多個約當塊內的情況， 測矩陣的秩來判斷。例 8-28 下列系統可觀測，試自行說明。x&1210x11)x&2020x2 ,x&3005x3x111x212)x321x42x5x1y12 0 0 1x2y20 0 1 2x3x1x2x3 , y 5 0 2

31、0 0x1 x42 x50例 8-29 下列系統不可觀測，試自行說明。1) x3 x, y1 0x2) x100 1 x, y1 1x4.可觀測標準型問題動態方程中的A、c矩陣具有下列形式0000a。1000a1A0100a2(8-125)0010an 20001an 1C0000 1其可觀測性矩陣000010001an 1V2 CT AtCt(AT)n1CT00101an 11an 1V2是一個右下三角陣，detV2 0,系統一定可觀測，這就是形如(8- 125)所示的A、C矩陣稱為可觀測標準型名稱的由來。一個可觀測系統，當A、C矩陣不具有可觀測標準型時， 也可選擇適當的變換化為可觀測標準型

32、。844可控性、可觀測性與傳遞函數矩陣的關系1單輸入-單輸出系統設系統動態方程為Axbucx(8-126)當A矩陣具有相異特征值1,n時,通過線性變換定可使 A對角化為(8-127)nfi Zii 1 其中(si A) 1b是輸入至狀態向量之間的傳遞矩陣。這可由狀態方程兩端取拉氏變換(令 初始條件為零)來導出。根據A矩陣對角化的可控、可觀測性判據,可知：當ri 0時，Xj不可控；當fi0 時，Xi不可觀測。試看傳遞函數G(s)所具有的相應特點。由于X(s) (si A) 1bU (s)(8-129)若ri 0，即xi不可控，則(si A) 1b矩陣一定會出現零、極點對消現象，例如i 0 s i

33、0iri(si A) b0s n1s11s21sn02rn(s3兒(sn)2(s i)(s i)(s2)L (s n)M(s 2)L (S n i)rn式(8-i28)中，c(si A) i則是初始狀態至輸出向量之間的傳遞矩陣。rny(s) cx(s)c(siA) ix0(8-i30)若fi0，即xi不可觀測，則c(si1A)也一定會出現零、極點對消現象，例如s101s 2c(siA) i0f2 L fnO0s n0f2.fnLsi s2s n(si)0(s3 兒(s n)f2 L(s 2)L (sn i)fn(si)(s2)L(sn)當ri0及fi0時，系統既不可控，也不可觀測；當ri0及f

34、i 0時，系統可控、可觀測。對于A矩陣約當化的情況，經類似推導可得出相同結論，與特征值是否分布在一個約當塊內無關。單輸入-單輸出系統可控、可觀測的充要條件是：由動態方程導出的傳遞函數 不存在零極點對消(即傳遞函數不可約)；或系統可控的充要條件是 (sl A) ib不存在零、極點對消，系統可觀測的充要條件是c(si A) i不存在零、極點對消。以上判據僅適用于單輸入-單輸出系統，對多輸入-多輸出系統一般不適用。由不可約傳遞函數列寫的動態方程一定是可控可觀測的，不能反映系統中可能存在的不可控和不可觀測的特性。由動態方程導出可約傳遞函數時，表明系統或是可控、不可觀測， 或是可觀測、不可控，或是不可控

35、、不可觀測，三者必居其一；反之亦然。傳遞函數可約時，傳遞函數分母階次將低于系統特征方程階次。若對消掉的是系統的一個不穩定特征值，便可能掩蓋了系統固有的不穩定性而誤認為系統穩定。通常說用傳遞函數描述系統特性不完全，就是指它可能掩蓋系統的不可控性、不可觀測性及不穩定性。只有當系統是可控又可觀測時，傳遞函數描述與狀態空間描述才是等價的。例8-30已知下列動態方程，試研究其可控性、可觀測性與傳遞函數的關系。解三個系統的傳遞函數均為G（s）Ugs 2.5(s 2.5)(s 1)存在零、極點對消。（1）A、b矩陣為可控標準型 故可控不可觀測。（2）A、c矩陣為可觀測標準型，故可觀測不可控。（3） 由A矩陣

36、對角化時的可控、可觀測判據可知，系統不可控、不可觀測，x2為不可 控、不可觀測的狀態變量。例8-31設二階系統結構圖如圖8-23所示，試用狀態空間及傳遞函數描述判斷系統的可控性與可觀測性，并說明傳遞函數描述的不完全性。解由結構圖列寫系統傳遞函數為Xi（s）（U（s） X2（s）s 41X2（s）Y（s）s 1Y（s） Xds） U （s） X2（s）再寫成向量-矩陣形式的動態方程x14 5 x15u Ax buX210 X21由狀態可控性矩陣S3及可觀測性矩陣V2有010(1)xxu,y2.5 1 x2.51.5102.52.50 1 x(2)xxu,y11.51&101(3)xu,y10 x

37、02.50故不可控。S3 b Ab5 2515，S30CT ACT故不可觀測。由傳遞矩陣(si A) 1b1s2 4s(s 1)(s 1)(s 5)1c(sI A) 1(s 1)s2 4s 5(s 1)(s 5)兩式均出現零極點對消，系統不可控、不可觀測。系統特征多項式為 si A (s 5)(s 1)，二階系統的特征多項式是二次多項式，經零、極點對消后，系統降為一階。本系統原是不穩定系統，其中一個特征值s1,但如果用對消后的傳遞函數來描述系統時，會誤認為系統穩定。2.多輸入-多輸出系統多輸入-多輸出系統傳遞函數矩陣存在零、極點對消時，系統并非一定是不可控或不可觀測的，需要利用傳遞函數矩陣中的

38、行或列的線性相關性來判斷。傳遞函數矩陣G(s)的元素是s的多項式，設 G(s)以下面列向量組來表示G(s)g1(s) g2(s)gn(s)(8-131)若存在不全為零的實常數a1, a2, an使下式a1 g1(s) a2g2(s)angn(s) 0(8-132)成立，則稱函數g1(s), g2(s),gn(s)是線性相關的。若只有當, an全為零時，式(8-132)才成立，則稱函數 g1(s), g2 (s), gn (s)是線性無關的。下面不加證明給出用傳遞矩陣判斷多輸入 -多輸出系統可控性、可觀測性的判據。 定理 多輸入系統可控的充要條件是：傳遞矩陣(Si A) 1B的n行線性無關。1定理 多輸出系統可觀的充要條件是：傳遞矩陣C(si A)的n列線性無關。運用以上判據判斷多輸入-多輸出系統的可控性、可觀測性時，只須檢查對應傳遞矩陣 的行或列的線性相關性，至于對應傳遞矩陣中是否出現零極點對消是無妨的。行(列)線性相關性的判據更具一般性，該判據同樣適用于單輸入-單輸出系統。線性無關時必不存在零極點對消；線性相關時必存在零極點對消。例8-32試用傳遞矩陣判據判斷下列雙輸入-雙輸出系統的可控性和可觀測性。132011 0 0A042 ,B 00 ,C0 0 100110s 1321s 432解(siA)10s 4