1、第 40 講 不定方程一、知識要點當方程的個數比方程中未知數的個數少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。如 5x3y 9 就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數個；如果 附加一些限制條件，那么它的解的個數就是有限的了。如 5x3y9 的解有：x 2.4 x2.7 x3.06 x3.6y 1 y1.5 y2.1 y3如果限定 x、y 的解是小于 5 的整數，那么解就只有 x3，y2 這一組了。因此，研究 不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數用另一個未知數來表示， 然后再一定范圍內試驗求解。解題時要注意觀

2、察未知數的特點，盡量縮小未知數的取值范圍， 減少試驗的次數。對于有 3 個未知數的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。 解答應用題時，要根據題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當的值。 二、精講精練【例題 1】求 3x+4y23 的自然數解。先將原方程變形，y233x4?？闪斜碓囼炃蠼猓簒y152345267所以方程 3x+4y23 的自然數解為x =1 x=5y =5 y=2練習 11、求 3x+2y25 的自然數解。12、求 4x+5y37 的自然數解。3、求 5x3y16 的最小自然數解?！纠} 2】求下列方程組的正整數解。5x+7y+3z253xy6z2

3、這是一個三元一次不定方程組。解答的實話，要先設法消去其中的一個未知數，將方程 組簡化成例 1 那樣的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得 13x+13y52x+y4 把式變形，得 y4x。因為 x、y、z 都是正整數，所以 x 只能取 1、2、3.當 x1 時，y3當 x2 時，y2當 x3 時，y1把上面的結果再分別代入或，得 x1，y3 時，z 無正整數解。x2，y2 時，z 也無正整數解。x3 時，y1 時，z1.所以，原方程組的正整數解為 x1y 1z 12練習 2求下面方程組的自然數解。1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z68 3x+2y+4z21 5x

4、+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例題 3】一個商人將彈子放進兩種盒子里，每個大盒子裝 12 個，每個小盒子裝 5 個， 恰好裝完。如果彈子數為 99，盒子數大于 9，問兩種盒子各有多少個？兩種盒子的個數都應該是自然數，所以要根據題意列出不定方程，再求出它的自然數解。 設大盒子有 x 個，小盒子有 y 個，則12x+5y99（x0，y0，x+y9）y（9912y）5經檢驗，符合條件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有 2 個，小盒子有 15 個，或大盒子有 7 個，小盒子有 3 個。3練習 3.1、某校 6（1）班學生 48 人到公園劃船。如果每只小船可坐 3 人

5、，每只大船可坐 5 人。 那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）2、甲級鉛筆 7 角錢一枝，乙級鉛筆 3 角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的 鉛筆共幾枝？3、小華和小強各用 6 角 4 分買了若干枝鉛筆，他們買來的鉛筆中都是 5 分一枝和 7 分 一枝的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多，小華比小強多買來多少枝？【例題 4】買三種水果 30 千克，共用去 80 元。其中蘋果每千克 4 元，橘子每千克 3 元， 梨每千克 2 元。問三種水果各買了多少千克？設蘋果買了 x 千克，橘子買了 y 千克，梨買了（30xy）千克。根據題意得： 4x+3y+2（30xy）82x10y2由式子可知：

6、y20，則 y 必須是 2 的倍數，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、16、18。 因此，原方程的解如下表：蘋果橘子梨921984187617681651015412143141321612118114練習 41、有紅、黃、藍三種顏色的皮球共 26 只，其中藍皮球的只數是黃皮球的 9 倍，藍皮球 有多少只？2、用 10 元錢買 25 枝筆。已知毛筆每枝 2 角，彩色筆每枝 4 角，鋼筆每枝 9 角。問每 種筆各買幾枝？（每種都要買）3、曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張 8 分，熒光紙每張 1 角，高級紙每張 2 角。她一共用了一元兩角兩分錢。那么，曉敏的三種貼紙的總數最少

7、是多少張？【例題 5】某次數學競賽準備例 2 枝鉛筆作為獎品發給獲得一、二、三等獎的學生。原 計劃一等獎每人發 6 枝，二等獎每人發 3 枝，三等獎每人發 2 枝。后又改為一等獎每人發 9 枝，二等獎每人發 4 枝，三等獎每人發 1 枝。問：一、二、三等獎的學生各有幾人？設一等獎有 x 人，二等獎有 y 人，三等獎有 z 人。則6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2，得 12x+5y22y 2212x5x1x 只能取 1。y2，代入得 z5，原方程的解為 y2z5所以，一等獎的學生有 1 人，二等獎的學生有 2 人，三等獎的學生有 5 人。5練習 51、某人打靶，8 發打了 53 環，全部命中在 10 環、7 環和 5 環。他命中 10 環、7 環和 5 環各幾發？2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋 30 個，價值 24 元。已知煮蛋每個 0.60 元，茶葉蛋每 個 1 元，皮蛋每個 1.20 元。問籃子里最多有幾個皮蛋？3、一頭