1、第1課時坐標系 13.1坐標系與參數方程 基礎知識自主學習 課時作業 題型分類深度剖析 內容索引 基礎知識自主學習 1.平面直角坐標系平面直角坐標系 設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換： 的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中 的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換. 知識梳理 2.極坐標系極坐標系 (1)極坐標與極坐標系的概念 在平面內取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時 確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時 針方向)，這樣就建立了一個極坐標系.點O稱為極點，射線Ox稱為極軸. 平面內任一點M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的

2、 角度來刻畫(如圖所示).這兩個數組成的有序數對(，)稱為點M的極坐 標.稱為點M的 ，稱為點M的 .一般認為0.當極角的取值范 圍是0,2)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(，)(0)建立一一 對應的關系.我們設定，極點的極坐標中，極徑0，極角可取任意角. 極徑極角 (2)極坐標與直角坐標的互化 設M為平面內的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為 (，).由圖可知下面關系式成立： 或 這就是極坐標與直角坐標的互化公式. 曲線圖形極坐標方程 圓心在極點，半徑為r的圓_ 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 圓心為 ，半徑為r的圓_ 3.常見曲線的極坐標方程常見曲線的極坐標方程 2rsin (

3、0) r(02) 過極點，傾斜角為的直線 (R) 或 (R) 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 過點 ，與極軸平行的直線_ sin a(00). 設圓的圓心為O，ya與x2(y2)24的兩交點A，B與O構成等邊 三角形，如圖所示. 由對稱性知OOB30，ODa. 123456 又B在x2y24y0上， 題型分類深度剖析 1.(2019北京改編)在極坐標系中，已知曲線C1：cos sin 10， C2：2cos . (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀； 解答 題型一極坐標與直角坐標的互化自主演練自主演練 由C2：2cos ，得22cos ， x2y22x，即(x1)2y21

4、. C2是圓心為(1,0)，半徑為1的圓. (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離. 解答 直線C1過圓C2的圓心. 因此兩交點A，B的連線是圓C2的直徑. 兩交點A，B間的距離|AB|2r2. 解答 2.(1)以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系， 求線段y1x(0 x1)的極坐標方程. y1x化成極坐標方程為cos sin 1， 解解xcos ，ysin ，由sin2cos ， 得2sin2cos ， 曲線C1的直角坐標方程為y2x. 由sin 1，得曲線C2的直角坐標方程為y1. 故曲線C1與曲線C2交點的直角坐標為(1,1). (2)在極坐標系中，曲

5、線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以 極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐 標系，求曲線C1和C2交點的直角坐標. 解答 (1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x 軸的正半軸重合；取相同的單位長度. (2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及y sin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對 困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如cos ，sin ，2的形 式，進行整體代換. 思維升華思維升華 典例典例 將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍， 得到曲線C. (1

6、)求曲線C的標準方程； 題型二求曲線的極坐標方程師生共研師生共研 解答 (2)設直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸 正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與直線l垂直的直線 的極坐標方程. 解答 化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3， 求曲線的極坐標方程的步驟 (1)建立適當的極坐標系，設P(，)是曲線上任意一點. (2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角 之間的關系式. (3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程. 思維升華思維升華 解答 解解2x2y2，xcos ，ysin ， 圓C的直角坐標方程為x2

7、y22x2y0， 22cos 2sin 0， 消去t后得yx1， (2)已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ 的長. 解答 解解設點P的極坐標為(，)(0)，點M的極坐標為(1，)(10).由題意 知|OP|，|OM|1 由|OM|OP|16，得C2的極坐標方程4cos (0). 因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0). 題型三極坐標方程的應用師生共研師生共研 典例典例 (2019全國)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸 為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos 4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|OP

8、|16，求點P 的軌跡C2的直角坐標方程； 解答 (2)設點A的極坐標為 ，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值. 解答 解解設點B的極坐標為(B，)(B0). 由題設知|OA|2，B4cos ， 極坐標應用中的注意事項 (1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x 軸正半軸重合；取相同的長度單位. (2)若把直角坐標化為極坐標求極角時，應注意判斷點P所在的象限(即 角的終邊的位置)，以便正確地求出角.利用兩種坐標的互化，可以把 不熟悉的問題轉化為熟悉的問題. (3)由極坐標的意義可知平面上點的極坐標不是唯一的，如果限定取正 值，0,2)，平面上的點(除去極點)與極坐標(，

9、)(0)建立一一對 應關系. 思維升華思維升華 由圓中的弦長公式，得弦長 解答 課時作業 1.(2018武漢模擬)在極坐標系下，已知圓O：cos sin 和直線l： 基礎保分練 解答 (1)求圓O和直線l的直角坐標方程； 123456789101112 1314 解解圓O：cos sin ，即2cos sin ， 圓O的直角坐標方程為x2y2xy， 即x2y2xy0， 即sin cos 1， 則直線l的直角坐標方程為yx1， 即xy10. 123456789101112 1314 (2)當(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標. 解答 123456789101112 1314 2.在極坐

10、標系(，)(02)中，求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標. 解解曲線(cos sin )1化為直角坐標方程為xy1，(sin cos ) 1化為直角坐標方程為yx1. 解答 123456789101112 1314 解答 解解以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系， 則曲線2cos 的直角坐標方程為(x1)2y21，且圓心為(1,0). 因為圓心(1,0)關于yx的對稱點為(0,1)， 所以圓(x1)2y21關于yx的對稱曲線為x2(y1)21. 123456789101112 1314 解答 (1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； 曲線的直角坐標

11、方程為x24y4. 123456789101112 1314 解答 (2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標 方程. 解解設直線l的極坐標方程為0(R)， 123456789101112 1314 解答 解解以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半 軸，建立直角坐標系xOy. 化簡，得22sin 2cos 40. 則圓C的直角坐標方程為x2y22x2y40， 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 解解對曲線C1的極坐標方程進行轉化， 12sin ，212sin ，x2y212y0， 即

12、x2(y6)236. 對曲線C2的極坐標方程進行轉化， 123456789101112 1314 解答 (1)求直線l和C的直角坐標方程； 123456789101112 1314 C：4cos 2sin ，24cos 2sin ， x2y24x2y，即x2y24x2y0. 123456789101112 1314 解答 (2)若直線l與圓C交于A，B兩點，求弦AB的長. 解解C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25. 123456789101112 1314 解答 (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； 解解消去參數t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，C1是

13、以(0,1)為圓心， a為半徑的圓. 將xcos ，ysin 代入C1的直角坐標方程中，得到C1的極坐標方程 為22sin 1a20. 123456789101112 1314 若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20， 由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20， 解得a1(舍去)，a1. 當a1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上. 所以a1. 解答 (2)直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公 共點都在C3上，求a. 解解曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 123456789101112 1314 解答 (

14、1)求圓C的極坐標方程； 技能提升練 123456789101112 1314 解解設M(，)是圓C上除極點外的任意一點. 極點也適合上式， 123456789101112 1314 解解設點Q(1，1)，P(，)， 代入圓C的方程，得 解答 123456789101112 1314 10.在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21， 以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1，C2的極坐標方程； 解答 解解因為xcos ，ysin ， 所以C1的極坐標方程為cos 2， C2的極坐標方程為22cos 4sin 40. 1234567891011

15、12 1314 (2)若直線C3的極坐標方程為 (R)，設C2與C3的交點為M，N，求 C2MN的面積. 解答 由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形， 123456789101112 1314 解答 (1)求曲線C1的一個參數方程； 123456789101112 1314 解解由24cos 30， 可得x2y24x30. (x2)2y21. 令x2cos ，ysin ， 123456789101112 1314 解答 (2)若曲線C1和曲線C2相交于A，B兩點，求|AB|的值. 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 曲線C的普通

16、方程為(x2)2(y1)25. 即曲線C的極坐標方程為4cos 2sin . 123456789101112 1314 解答 (2)若直線l的極坐標方程為(sin cos )1，求直線l被曲線C截得的弦長. 解解l的直角坐標方程為xy10， 123456789101112 1314 拓展沖刺練 解答 (1)求a； 123456789101112 1314 由題意可知直線l與圓C相切， 解解曲線C：2acos (a0)，變形為22acos ， 化為x2y22ax，即(xa)2y2a2， 曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓. 123456789101112 1314 解答 解解由(1)知，曲線C：2cos . 123456789101