1、邏輯代數的基本知識1. 邏輯代數的基本定律根據邏輯變量和邏輯運算的基本定義，可得出邏輯代數的基本定律。交換律： A+B= B+A， A B = B A；結合律： A+(B+C)= (A+B)+ C， A (B C) = (A B) C；分配律: A(B+C) = A B+A C， A+B C=(A+B) (A+C)；互非定律: A+A= l，A A = 0 ；，；重疊定律（同一定律）：A A=A， A+A=A；反演定律(摩根定律）：A B=A+B9 A+B=A B ，；還原定律: 2. 邏輯代數的基本運算規則（1）代入規則在邏輯函數表達式中凡是出現某變量的地方都用另一個邏輯函數代替，則等式仍然

2、成立，這個規則稱為代入規則。例如，已知A+AB=A，將等式中所有出現A的地方都以函數(C+D)代替則等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D。（2）反演規則對于任意的Y邏輯式，若將其中所有的“ ”換成“ + ”換成“ ”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原函數Y的反函數，運用它可以簡便地求出一個函數的反函數。運用反演規則時應注意兩點： 要注意運算符號的優先順序，不應改變原式的運算順序。例：應寫為證： 不屬于單變量上的非號應保留不變。例：則則（3）對偶規則對于任何一個邏輯函數，如果將其表達式Y中所有的算符“ ”換成“ + ”換成“ ”，常量 “0”換

3、成換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數式就是Y的對偶式，記為Y。例如：若Y=A (B + C)，則Y=A + B C；若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。使用對偶規則時，同樣要注意運算符號的先后順序和不是一個變量上的“非”號應保持不變。3. 邏輯代數的表示方法邏輯函數可以用邏輯真值表、邏輯表達式、邏輯圖、卡諾圖、波形圖等方法來表示。（1）真值表以表格的形式反映輸入邏輯變量的取值組合與函數值之間的對應關系。它的特點是直觀、明了，特別是在把一個實際邏輯問題抽象為數學問題時，使用真值表最為方便。因此，在進行數字電路的邏輯設計時，首先就是根據設計要求，列出真值表。（2）函數表達式用與、或、

4、非等邏輯運算表示邏輯函數中各個變量之間邏輯關系的代數式，叫做函數表達式或邏輯表達式。這種表示方法書寫簡潔、方便，其主要優點是便于利用邏輯代數的公式和定理進行 運算、變換。它的缺點是不如真值表直觀，尤其是在邏輯函數比較復雜時，難以直接從變量取值看 出函數的值。（3）邏輯圖邏輯圖是指用邏輯圖形符號來表示邏輯函數與變量之間的邏輯關系。一般圖形符號都有相 應的電路器件，所以邏輯圖也叫邏輯電路圖，它比較接近工程實際。（4）卡諾圖卡諾圖實際上是真值表的另一種表示形式，我們將在下面邏輯函數的化簡部分中詳細介紹。（5）波形圖波形圖是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應的輸出函數值的高、低電平所構成

5、的圖形。【例5.1】已知函數的邏輯表達式為Y= B + C。要求：（1)列出相應的真值表；（2)已知輸入波形，畫出輸出波形；（3)畫出邏輯圖。【解】將A，B，C的所有組合代入邏輯表達式計算，得到真值表如表5-6所示。根據真值表，畫出例5.1的輸出波形，如圖5-13所示。根據邏輯表達式，畫出邏輯圖如圖5-14所示。圖5-13 例5.1 波形圖 圖5-14 邏輯圖表5-6 例5.1真值表4.邏輯代數的化簡同一邏輯函數可以寫成不同的邏輯式，而這些邏輯式的繁簡程度又相差甚遠。邏輯形式越簡單，它所表示的邏輯關系就越明顯，同時也有利于用最少的電子器件實現這個邏輯關系。因此，經常需要通過化簡的手段來找出邏輯

6、函數的最簡形式。（1）邏輯函數的最簡形式化簡的形式一般稱為與或邏輯式，最簡與或邏輯式的標準如下：邏輯函數式中乘積項（與項）的個數最少；每個乘積項中的變量數最少。（2）邏輯函數的代數化簡法1）并項法利用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。例如： 2) 吸收法利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC，消去多余乘積項。例如：3) 配項法利用公式A+A=1，給某個乘積項配項，以達到進一步簡化。例1.例2.5.卡諾圖化簡法（1）最小項 1）最小項的定義對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而在P中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現一次，且僅出現一次，那么就稱P是N個變量的一個最

7、小項。因為每個變量都有以原變量和反變量兩種可能的形式出現，所以N個變量有 個最小項。2） 最小項的性質P24表-16列出了三個變量的全部最小項真值表。由表可以看出最小項具有下列性質：性質1：每個最小項僅有一組變量的取值會使它的值為“1”，而其他變量取值都使它的值為“0”。性質2：任意兩個不同的最小項的乘積恒為“0”。性質3：全部最小項之和恒為“1”。由函數的真值可以很容易地寫出函數的標準與或式，此外，利用邏輯代數的定律、公式，可以將任何邏輯函數式展開或變換成標準與或式。例：例：3）最小項編號及表達式為便于表示，要對最小項進行編號。編號的方法是：把與最小項對應的那一組變量取值組合當成二進制數，與

8、其對應的十進制數，就是該最小項的編號。在標準與或式中，常用最小項的編號來表示最小項。如：常寫成或（2）邏輯函數的卡諾圖表達法1）邏輯變量卡諾圖卡諾圖是指按相鄰性原則排列的最小項的方格圖，也叫最小項方格圖，它將最小項按一定的規則排列成方格陣列。根據變量的數目N，則應有個小方格，每個小方格代表一個最小項。卡諾圖中將N個變量分成行變量和列變量兩組，行變量和列變量的取值，決定了小方格的編號，也即最小項的編號。行、列變量的取值順序一定要按格雷碼排列。P26列出了二變量、三變量和四變量的卡諾圖。卡諾圖的特點是形象地表達了各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。圖中任何幾何位置相鄰的最小項，在邏輯上也是相鄰的。所謂

9、邏輯相鄰，是指兩個最小項只有一個是互補的，而其余的變量都相同，所謂幾何相鄰，不僅包括卡諾圖中相接小方格的相鄰，方格間還具有對稱相鄰性。對稱相鄰性是指以方格陣列的水平或垂直中心線為對稱軸，彼此對稱的小方格間也是相鄰的。卡諾圖的主要缺點是隨著變量數目的增加，圖形迅速復雜化，當邏輯變量在五個以上時，很少使用卡諾圖。2） 邏輯函數卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數就是將函數真值表或表達式等的值填入卡諾圖中。可根據真值表或標準與或式畫卡諾圖，也可根據一般邏輯式畫卡諾圖。若已知的是一般的邏輯函數表達式，則首先將函數表達式變換成與或表達式，然后利用直接觀察法填卡諾圖。觀察法的原理是：在邏輯函數與或表達式中，凡是乘積

10、項，只要有一個變量因子為0時，該乘積項為0；只有乘積項所有因子都為1時，該乘積項為1。如果乘積項沒有包含全部變量，無論所缺變量為1或者為0，只要乘積項現有變量滿足乘積項為1的條件，該乘積項即為1。例1：可寫成例2：（3）邏輯函數的卡諾圖化簡法1）合并最小項的規律根據公式AB+AB=A或知，兩邏輯上相鄰的最小項之和或以合并成一項，并消去一個變量；四個相鄰最小項可合并為一項，并消去兩個變量。卡諾圖上能夠合并的相鄰最小項必須是2的整次冪。2） 用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數一般可分為三步進行：首先是畫出函數的卡諾圖；然后是圈1合并最小項；最后根據方格圈寫出最簡與或式。在圈1合并最小項時應注

11、意以下幾個問題：圈數盡可能少；圈盡可能大；卡諾圖中所有“1”都要被圈，且每個“1”可以多次被圈；每個圈中至少要有一個“1”只圈1次。一般來說，合并最小項圈1的順序是先圈沒有相鄰項的1格，再圈兩格組、四格組、八格組。兩點說明： 在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經過比較、檢查才能確定。例： 1 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數的最簡與或表達式不是唯一的。如圖16.具有約束條件的邏輯函數化簡（1）約束、約束條件、約束項在實際的邏輯問題中，決定某一邏輯函數的各個變量之間，往往具有一定的制約關系。這種制約關系稱為

12、約束。例如，設在十字路口的交通信號燈，綠燈亮表示可通行，黃燈亮表示車輛停，紅燈亮表示不通行。如果用邏輯變量A、B、C分別代表綠、黃、紅燈，并設燈亮為1，燈滅為0；用Y代表是否停車，設停車為1 ，通行為0 。則Y的狀態是由A、B、C產狀態決定的，即Y是A、B、C是函數。在這一函數關系中，三個變量之間存在著嚴格的制約關系。因為通常不允許兩種以上的燈同時亮。如果用邏輯表達式表示上述約束關系，有：AB=0 BC=0 AC=0 或 AB+BC+AC=0通常把反映約束關系的這個值恒等于0的條件等式稱為約束條件。將等式展開成最小項表達式，則有由最小項性質可知，只有對應的變量取值組合出現時，其值才為1。約束條件中包含的最小項的值恒為0，不能為1，所以對應的變量取值組合不會出現。這種不會出現的變量取值組合所對應的最小項