1、列方程解應(yīng)用題、列簡易方程解應(yīng)用題例1設(shè)有六位數(shù)五鬲乘以3扁變?yōu)橼A莎求這個六位數(shù)。分析：欲求這個六位數(shù)，只要求出五位數(shù)碇=嫌可以了.按題 意，這個六位數(shù)的孑倍等于lab皿010X+1,解：設(shè)五住數(shù)abcde =則六位felabcde = 10 + k,六位數(shù)北血1 =從而有3 ( 105+X) =10x+1,7x=299999,X =42857。答：這個六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點:CO抓住相等關(guān)茶六隹數(shù)貳昭的了倍等于六位數(shù)而忑(2)設(shè)未知數(shù)蠱；將六位數(shù)bb皿與六位數(shù)誠del用含曲數(shù)學(xué)式子表示出來，這里根據(jù)題目的特點，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。(2)是一般語言與數(shù)學(xué)的

2、(1)是善于分析問題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系;形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功 夫。例2 有一隊伍以 1.4 米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/ 秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分 50秒。問：隊伍有多長分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長； 通訊員從排頭返回排尾是相遇問題， 他與排尾所行路程和為隊伍長。 如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了 X秒,那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-X ）秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x

3、秒，依題意得650-x ）+（650-x ）。解得x= 500。推知隊伍長為（）X 500=600 （米）。答：隊伍長為 600 米。說明：在設(shè)未知數(shù)時，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)， 當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時， 就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。 對于較難的 應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度 為 3.6 千米/ 時，騎車人速度為 10.8 千米/ 時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通 過行人用 22 秒，通過騎車人用 26 秒，這列火車的車身總長是多少分析

4、：本題屬于追及問題，行人的速度為 3.6 千米/時=1米/秒，騎車人的速度為 10.8 千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為X米/秒，那么火車的車身長度可表示為（X-1 ）X 22 或（X-3 ）X 26,由此不難列出方程。解：設(shè)這列火車的速度是 X米/秒，依題意列方程，得（X-1 ）X 22= （X-3 ）X 26。答：當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。解得x=14。所以火車的車身長為(14-1 )X 22=286 (米)。答：這列火車的車身總長為 286米。例4如圖，沿著邊長為 90米的正方形，按逆時針方向，

5、甲從A出發(fā)，每分鐘走65米, 乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需 要的時間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形 哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時乙走了 X分。依題意，甲在乙前方3 X 90=270 (米)，故有72x=65X+270。解得送=辛 在這段時間內(nèi)乙走了由于正方形邊長為 90米，共四條邊，故由例5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄嫠旭偂Ｒ阎陟o水中的速度為 8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為2 : 1。某天恰逢

6、暴雨, 水流速度為原來的 2倍，這條船往返共用 9時。問：甲、乙兩港相距多少千米分析：這是流水中的行程問題:順?biāo)俣?靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距 x千米，原來水流速度為a千米/時根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹? : 1，即(8-a )：( 8 + a)= 1 : 2,0于是有呂+2 (S-a),解得“尹再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千米/時，則有把代入，得4 28 + 2X -3 - 2 X 33解得x=20。答：甲、乙兩港相距20千米。例6某校組織150名師生到外地旅游，這些人 5時才能出發(fā)，為了趕火車,6時

7、55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘 50人的客車，車速為36千米/時，學(xué)校離火車站21千米,顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時間來不及，只能乘車與步行同時進行。如果步行每小時能走4千米，那么應(yīng)如何安排，才能使所有人都按時趕到火車站分析扌巴1劉人分三批，每批劉人，均要在11盼即弄=尋（時）內(nèi)趕到火車站，每人步行時間應(yīng)該相同，乘車時間也相同。設(shè)每人步行x時,乘車（尋 蚊列岀方程.解站 便容易軸了.不過要計算一下客車能否在115分鐘完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時，汽車速度為弘千氷/時.設(shè)每批師生歩行用弱時，乘車用菩吋，W1 23+( -X)=21,丄解得x=（

8、時），即每人步行 90分，乘車25分。三批人5時同時出發(fā)，第一批人乘 25分鐘車到達(dá)A點，下車步行；客車從 A立即返回，在B點遇上步行的第二批人，乘 25分鐘車，第二批人下車步行， 客車再立即返回，又在 C點遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢必須計算。第一批人到直點，客車己行（千氷）,第二批人己步行604x4 （千氷）,這時客車返回與第二批人步行共同行完11專=dU JJ J（千米），需為=5 （時），客車耳第二批人相遇，就是說客車第一次返回的時間是20分，同樣可計算客車第二次返回的時間也應(yīng)是20分，所

9、以當(dāng)客車與第三批人相遇時，客車已用25 X 2+ 20 X 2=90 （分），還有115-90=25 （分），正好可把第三批 人按時送到。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行 90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為25分，按這關(guān)系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車卻不能保證人員都按時到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出, 時到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題,列方程時，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還(2)需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語

10、言，以 便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分 就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相 遇，是相遇問題，人與汽車 4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離;每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離, 再引進速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得由，得401 +辛2)= 6(*將代入，得餐

11、 汽車站每隔4#分發(fā)一班車口說明：此題引入v1 , v2兩個未知量作參數(shù)，計算時這兩個參數(shù)被消去，即問題的答案26講。與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書五年級數(shù)學(xué)活動課第例8整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而 30 頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，那么有多少頭牛分析：本題中牧場原有草量是多少每天能生長草量多少每頭牛一天吃草量多少若這三個量用參數(shù)a, b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為 x，則可列出三個方程。若能消去a，b，c.便可解決問題。解：設(shè)整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為 b，每頭牛一天吃草量為 c，x頭牛在96天內(nèi)能把

12、牧場上的草吃完,則有24X70c = a-H24b,60乂 30c = a -H60b,96 Kc = a +96bo-，得36b=120Co -，得96xc=1800c + 36b。將代入，得96xc = 1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙地需斶，從乙地到甲地需耳時。問=甲、乙兩地間的公路有多少千米？2從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路就是解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路,從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的

13、上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得(1)+ 2035籃卩1+ = 7 乜5 202+，得Ay飭+君五3+y = 210將y=210 x代入式，得解得x= 140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛 140千米的上坡路。三、列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時會出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)多于所列方程的個數(shù),種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。例10六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測驗， 采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績?yōu)?4分，女生的平均成績?yōu)榉郑?而全班的

14、平均成績?yōu)榉帧Ｈ绻摪嗟娜藬?shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗解：設(shè)該班有x個男生和y個女生，于是有4x+= （x+y），化簡后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生g 15X+yK = 在大于30小于50的自然數(shù)中，只有 45可被15整除，所以推知 x= 21, y=24。答：該班有21個男生和24個女生。例11小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了 10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y ）次。根據(jù)得61分可列方9x+

15、5y+2 (10-x-y ) =61,化簡后得7x=41 3y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；若y=2 , 7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小雞 5次。例12某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制 8件上衣或10條褲子;7件上衣或11條褲子；丁組每天能乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制縫制6件上衣或7條褲子。現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問:7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn),應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多

16、做上衣,做褲子效率高的多做褲子， 才能使所做衣服套數(shù)最多。般情況，設(shè) A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為務(wù) 類似地B組每天繾制上衣與褲子數(shù)量的比為笆.若尋4 則應(yīng)bl% b 切A組盡 量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這是因九若碌組做M子，則在這段吋間皿組可做訥件牘建上衣若安犧組做.要用詈天時邱衽這段時間內(nèi)E組可做晉5條褲子，由于晉6 電如 因此應(yīng)組盡量多做上衣，B組 b屯bl包7解：甲、乙.丙，丁4 a每天縫制上衣或褲子數(shù)量之比分別為魯.存 看,*由于7卷存召 所臥丁俎生產(chǎn)上衣和丙蚩生產(chǎn)褲子的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣 x天，生產(chǎn)褲子（7-x ）天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子(7-y )天,則4個組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6X 7+ 8x+9y （件）和11X