1、參數(shù)方程與擺線物理學(xué)中的物體運(yùn)動(dòng)方程 , 在數(shù)學(xué)上就是參數(shù)方程。 參數(shù)方程對于解決實(shí)際問題具有重 要意義。本專題將介紹參數(shù)方程的基本概念，給出參數(shù)方程的一個(gè)重要實(shí)例擺線。擺 線是一類十分重要的曲線，可以分為平擺線、圓擺線、漸開線三大類。我們常見的大部分 曲線都可以看成是擺線的特例，如星形線、心臟線、阿基米德螺線、玫瑰線等等。擺線也 是很有用的一類曲線 , 如最速降線就是平擺線；工廠中常用的齒輪通常是漸開線或圓擺線； 公共汽車的兩折門利用了星形線的原理。再如像收割機(jī)、翻土機(jī)等許多農(nóng)業(yè)機(jī)械和工廠中 的車床等 , 大都采用的是擺線原理。而且，擺線在天文中也有重要應(yīng)用，行星相對地球的軌 跡、月亮相對太

2、陽的軌跡都可以看作是擺線。本專題主要內(nèi)容是參數(shù)方程與擺線，擺線可以利用向量方法通過參數(shù)方程表示出。因 此本專題可以看成是“解析幾何初步”“平面向量”“三角函數(shù)”等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進(jìn) 一步深化。本專題首先介紹了曲線的一般表示方法，闡述了坐標(biāo)系的類型和曲線方程的表 現(xiàn)形式。這些內(nèi)容是“解析幾何初步”等內(nèi)容的補(bǔ)充和完善，也是擺線內(nèi)容的必備基礎(chǔ)。 通過對本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的表現(xiàn)形式，體會(huì)從實(shí) 際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力。通過對天體軌道方程 的學(xué)習(xí)和對擺線應(yīng)用的了解，學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，提高應(yīng)用意識(shí)和實(shí) 踐能力。通過對擺線

3、的探索，學(xué)生將樹立辨證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展創(chuàng)新 精神。內(nèi)容與要求1. 參數(shù)方程1）坐標(biāo)與曲線方程2）曲線的一般方程隱式方程；參數(shù)方程；參數(shù)化與隱式化簡介。（3）特殊的參數(shù)方程（4）參數(shù)方程的參數(shù)變換 回顧直角坐標(biāo)系的概念，回顧（顯式）曲線方程實(shí)例，比如拋物線y=x2等。 給出曲線的顯式、隱式和參數(shù)方程的定義，說明顯式方程是隱式方程的特例，并通 過實(shí)例（如圓等），指出隱式方程和參數(shù)方程才是曲線的一般方程，介紹隱式方程和參數(shù)方 程各自的優(yōu)缺點(diǎn)，說明參數(shù)化與隱式化的作用。通過參數(shù)變換舉例說明，同一曲線可以利 用不同的參數(shù)來建立不同形式的參數(shù)方程， 并指出常用的參數(shù)形式 （如時(shí)間、 轉(zhuǎn)角

4、和弧長等 等）。 特殊參數(shù)方程舉例，參數(shù)變換簡介。2. 平擺線與圓的漸開線（1）平擺線（“圓”在“直線”上滾動(dòng) ）標(biāo)準(zhǔn)平擺線；變幅平擺線；平擺線的用途。（2）漸開線 （ “直線”在“圓” 上滾動(dòng) ）標(biāo)準(zhǔn)漸開線；變幅漸開線；漸開線的用途。 介紹標(biāo)準(zhǔn)平擺線的實(shí)際背景 （如前進(jìn)中的自行車， 車輪上偶然所粘的糖紙?jiān)诳罩挟嫵?的曲線, 就是標(biāo)準(zhǔn)平擺線 ） ，利用平面向量方法建立標(biāo)準(zhǔn)平擺線參數(shù)方程。 介紹變幅平擺線的實(shí)際背景 （如前進(jìn)中的自行車， 車輪幅條上一點(diǎn)或車輪氣嘴在空中 畫出的曲線 , 就是短幅平擺線； 如在火車前進(jìn)時(shí)，緊扣在鐵軌上的車輪的外邊沿上的一點(diǎn) 在空中畫出的曲線就是長幅平擺線 ） 。 指

5、出若考慮幅長變化，則可以將標(biāo)準(zhǔn)平擺線推廣為 變幅平擺線。變幅平擺線可作為學(xué)生作業(yè)或探究題材，要求學(xué)生建立平擺線的一般方程。 指出漸開線的幾何意義及漸開線與平擺線的對應(yīng)性質(zhì)，利用平面向量方法建立標(biāo)準(zhǔn) 漸開線的參數(shù)方程。可將變幅漸開線的內(nèi)容作為學(xué)生作業(yè)或探究素材，要求學(xué)生建立漸開 線的一般方程。對漸開線與平擺線對應(yīng)關(guān)系的探究，也可作為小科研活動(dòng)的課題。 介紹平擺線與漸開線的用途，如最速降線就是平擺線，齒輪的咬合可以利用漸開線 等等。這些應(yīng)用的數(shù)學(xué)證明可以作為閱讀材料給出。“探究最速降線的用途”等題材，可 以作為小科研活動(dòng)的課題。3. 圓擺線的概念1）外擺線 （ 兩圓外切，“動(dòng)圓”在“靜圓”上滾動(dòng)

6、）2）內(nèi)擺線 （ 兩圓內(nèi)切，“小圓”在“大圓”內(nèi)滾動(dòng) ）（3）環(huán)擺線 （ 兩圓內(nèi)切，“大圓”在“小圓”外滾動(dòng)，類似呼啦圈的轉(zhuǎn)動(dòng) ）（4）圓擺線的對偶關(guān)系 給出外擺線的定義，直接導(dǎo)出變幅外擺線的一般方程。討論具體的外擺線（如心臟線等） ，嘗試通過改變兩圓半徑比和改變幅長，構(gòu)造和探索各種外擺線。 給出內(nèi)擺線與環(huán)擺線的定義，指出外擺線、內(nèi)擺線與環(huán)擺線的概念是依據(jù)生成方式 給出的。利用圖示法說明外擺線的一般方程，也適用于內(nèi)擺線與環(huán)擺線，因此是圓擺線的 一種統(tǒng)一方程（圓擺線統(tǒng)一方程I以轉(zhuǎn)角為參數(shù)）。 利用統(tǒng)一方程，討論和探索具體的圓擺線（如星形線、玫瑰線都是內(nèi)擺線，心臟線可 以用環(huán)擺線表示等 ），嘗試通

7、過改變兩圓半徑比和改變幅長，構(gòu)造和探索各種圓擺線。直角 坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下，特殊曲線的不同表示可以作為學(xué)生的探究課題。 利用圓擺線的統(tǒng)一方程，通過代數(shù)變換導(dǎo)出對偶方程與對偶關(guān)系，舉例說明對偶關(guān) 系的幾何意義。進(jìn)而說明內(nèi)擺線的對偶還是內(nèi)擺線，外擺線與環(huán)擺線互相對偶。有條件的 學(xué)校可以利用計(jì)算機(jī)來動(dòng)態(tài)演示對偶現(xiàn)象。4. 圓擺線與天體運(yùn)行軌道（1）理想模型一一天體運(yùn)行方程（2） 等效形式天體軌道方程（同轉(zhuǎn)軌道、異轉(zhuǎn)軌道）（3）方程的統(tǒng)一性質(zhì)（圓擺線統(tǒng)一方程U以時(shí)間為參數(shù)）分類對應(yīng) （由天體角速度決定：外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線）；變幅關(guān)系 （由天體線速度決定：標(biāo)準(zhǔn)、長幅、短幅）。（4）方程的對偶性質(zhì)對偶

8、方程的表現(xiàn)形式；對偶關(guān)系 （內(nèi)擺線與內(nèi)擺線對偶，外擺線與環(huán)擺線對偶）。 給出太陽、地球、月亮系統(tǒng)的理想模型，指導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出月亮的運(yùn)動(dòng)方程，即天體運(yùn) 行方程。并介紹地心說、日心說和開普勒的橢圓軌道模型。 利用曲線參數(shù)變換，通過簡化天體運(yùn)行方程，給出天體軌道方程。并根據(jù)方程性質(zhì)， 給出天體軌道方程的分類。 介紹天體軌道方程的統(tǒng)一性，說明天體軌道方程就是擺線的統(tǒng)一方程；給出其與內(nèi) 擺線、外擺線、環(huán)擺線的對應(yīng)關(guān)系； 并給出具體的對偶關(guān)系。圓擺線統(tǒng)一方程u的推導(dǎo), 可以作為學(xué)生小科研活動(dòng)的課題。 讓學(xué)生觀察天體軌道方程的對稱性，推測軌道方程存在對偶表示；借助幾何直觀及 平行四邊形的性質(zhì)，想象此時(shí)對偶模型新

9、的幾何形式。最后，通過代數(shù)變換導(dǎo)出對偶方程， 此內(nèi)容也可作為學(xué)生小科研活動(dòng)的課題。 作業(yè)或可選探究課題：討論特殊曲線在圓擺線統(tǒng)一方程U下的具體表示，觀測行星 運(yùn)動(dòng)的擺線行為，設(shè)計(jì)繪制擺線的機(jī)械裝置。附錄一：擺線的應(yīng)用選題1）最速降線是平擺線（2）橢圓是特殊的內(nèi)擺線卡丹轉(zhuǎn)盤（3）圓擺線齒輪與漸開線齒輪（4）收割機(jī)、翻土機(jī)等機(jī)械裝置的擺線原理與設(shè)計(jì)（5）星形線與公共汽車門（6）行星運(yùn)動(dòng)軌道的探索 這些選題可以作為選讀材料，或作為課后探究和數(shù)學(xué)建模的題材。 附錄二：擺線的統(tǒng)一方程（1）圓擺線的弧長參數(shù)統(tǒng)一方程（圓擺線統(tǒng)一方程川一一以弧長為參數(shù)）（2）擺線（平擺線、圓擺線、漸開線 ）的統(tǒng)一方程 （大統(tǒng)

10、一方程） 此處內(nèi)容可以作為選讀材料，或作為課后探究與數(shù)學(xué)建模的題材。圓擺線（外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線）的統(tǒng)一方程稱為小統(tǒng)一方程，一般擺線 （ 平擺線、圓擺線、漸開線 ）的統(tǒng) 一方程稱為大統(tǒng)一方程。 圓擺線的統(tǒng)一方程川可以由統(tǒng)一方程I經(jīng)簡單變換后直接得到。大統(tǒng)一方程可以由小統(tǒng)一方程（統(tǒng)一方程川）經(jīng)簡單的坐標(biāo)水平平移而得到。平擺線、漸開線是大統(tǒng)一方程 的極限狀態(tài)說明與建議（1）參數(shù)方程是本專題的主要工具，本專題的核心內(nèi)容是利用參數(shù)方程學(xué)習(xí)、探索擺 線的性質(zhì)和作用。首先要說明曲線的表示方法， 介紹坐標(biāo)系的分類 （直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系 ） 和曲線方程的三種形式，解釋它們的關(guān)系。這也是對以前所學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充

11、。（2）關(guān)注學(xué)生對已有的平面向量、三角函數(shù)等知識(shí)的運(yùn)用，鼓勵(lì)學(xué)生自主建立曲線方 程，加強(qiáng)對學(xué)生自主探究方面的訓(xùn)練。以平擺線、漸開線作為擺線的基礎(chǔ)，以圓擺線為核 心，以天體運(yùn)行為應(yīng)用，以特殊方程為實(shí)例，注重?cái)[線的實(shí)際背景，建立擺線的統(tǒng)一方程， 了解擺線的性質(zhì)，探索擺線的用處。（3）注意曲線可以通過選擇不同的參數(shù) , 建立不同形式的參數(shù)方程，體會(huì)不同參數(shù)在建立曲線參數(shù)方程時(shí)的作用。圓擺線的三種小統(tǒng)一方程中，小統(tǒng)一方程U （即天體軌道方程）最為優(yōu)美，在表述曲線的分類關(guān)系、變幅關(guān)系和對偶關(guān)系時(shí)也最為簡潔。（4）可以在學(xué)生中成立擺線興趣小組 , 組織學(xué)生在數(shù)學(xué)探究、實(shí)際應(yīng)用、計(jì)算機(jī)探索 等三個(gè)方面展開課

12、外活動(dòng)。四、計(jì)算機(jī)中的數(shù)學(xué)與藝術(shù)計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的藝術(shù)品。廣告、海報(bào)、宣傳品等實(shí)用藝術(shù)，新興出現(xiàn)的現(xiàn)代藝術(shù)中的媒體藝術(shù)中，都可見到數(shù) 學(xué)鬼斧神工的創(chuàng)造力。各種藝術(shù)性的曲線也應(yīng)用的更為廣泛。下面介紹兩種藝術(shù)曲線：連 鎖螺線和外擺線。1 連鎖螺線方程：r2 a2 / 82 外擺線方程：x (a b) cost bcos(a/b 1)t)(a b)si nt bsi n( (a/b 1)t)以下圖形是部分用計(jì)算機(jī)軟件 Matlab產(chǎn)生的函數(shù)圖像，從中可見數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合之美下面的兩幅美麗圖案（蝶戀花）是極坐標(biāo)函數(shù)圖形，其中蝴蝶函數(shù)與花函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為p 3sin 3.5cos(10 )cos8p 0

13、.2sin(3 ) sin(4 ) 2sin(5 )1.9sin(7 ) 0.2sin(9 ) sin(11 )HypotrochoidHypotrochoidParametric Cartesia n equati on:x = ( a - b) cos( t) + c cos( a/b -1) t), y = ( a - b) sin( t) - c sin( a/b -1) t)epicycloid , theThere are four curves which are closely related. These are the epitrochoid , the hypocycloid and the hypotrochoid and they are traced by a point P on a circle of radius b which rolls round a fixed circle of radius a.For the hypotrochoid, an example of which is shown above, the circle of radiusbroll