1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一章 ,0時xxxxsin,3 2 都是無窮小, 第七節 引例引例 . x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 sin lim x x x , x x x3 sin lim 0 , 3 1 但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 無窮小的比較 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0limC k 定義定義. ,0lim 若則稱 是比 高階高階的無窮小, )(o ,lim 若 若 若 , 1lim 若 ,0limC 或 ,設是自變量同一變化過程中的無窮小, 記作 則稱 是比 低階低階的無窮小; 則稱 是 的同階同階無窮小; 則稱 是關于 的 k 階階無窮小; 則

2、稱 是 的等價等價無窮小, 記作 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如 , 當 )(o 0 x時 3 x 2 6xxsin; x xtan;x xarcsinx 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 sin2 lim x x 又如又如 ， 2 2) (4 x 2 1 故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小, xcos1 2 2 1 x 且 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 證明: 當0 x時, 11 n x . 1 x n 證證: 0 lim x 11 n x x n 1 0 lim x 11 n n x x n 1 1 1 n n x 2 1 n n x 1 ,0時

3、當 x11 n xx n 1 nn ba)(ba 1 ( n aba n 2 ) 1 n b 1 x分子 例例2. 證明: .1ex x 證證:, 1e x y令, )1ln(yx則,0,0yx時且 x e x x 1 lim 0 )1ln( lim 0y y y y y y 1 )1ln( 1 lim 0 eln 1 1 x x 1e xx )1ln( 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此 即有等價關系: 說明說明: 上述證明過程也給出了等價關系: )1ln( 1 lim 1 0y y y 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.)(o 證證:1lim , 0)1lim( 0lim 即 ,

4、)(o 即)(o 例如例如,0 時x,sinxx,tanxx故 ,0 時x , )(sinxoxx)(tanxoxx 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用等價無窮小量來計算極限 00 00 0 , ,() ( )( ) (1)lim( ) ( ),lim( ) ( ); ( )( ) (2)lim,lim ( )( ) o xxxx xxxx f g hU x f xg x f x h xAg x h xA h xh x BB f xg x 定理2：設函數在內有定義，且有 若則 若則 例如例如, x x x5sin 2tan lim 0 x x x5 2 lim 0 5 2 目錄 上頁 下頁 返

5、回 結束 (3) 因式代替規則因式代替規則:極限存在或有且若)(,x 界, 則)(limx)(limx 例如, . sintan lim 3 0 x xx x 3 0 lim x xx x 原式 3 0 )cos1 (tan lim x xx x 2 1 3 2 2 1 0 lim x xx x 例例3. 求 0 1 sinlim 1 sinarcsinlim 00 x x x x xx 解解: 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2 3 1 x 2 2 1 x 例例4. 求. 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 解解:,0時當x 1)1 ( 3 1 2 x 2 3 1

6、x 1cosx 2 2 1 x 0 lim x 原式 3 2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結 0 lim ,0 , , )0(C ,1 ,0lim C k 1. 無窮小的比較 設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考題 函數連續的圖形表現是什么， 函數在一點連續與函數在一點極限存在 的關系。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 等價無窮小替換定理 ,0時當 x sin x tan x arcsin x,x,x,x cos1x, 2 2 1 x11 n x, 1 x n