1、 n sss 21 部分和數列部分和數列 為單調增加數列為單調增加數列. . n s 如果級數如果級數 中各項均有中各項均有 ，則稱級數，則稱級數 1 0 nn n uu 為為正項級數正項級數. . 1 n n u 正項級數收斂正項級數收斂 部分和數列部分和數列 有界。有界。 n S 若若 1n n v收斂收斂,則則 1n n u收斂；收斂； 反之，若反之，若 1n n u發散，則發散，則 1n n v發散發散. nn uuus 21 且且 1 )1( n n v設設, nn vu , 即部分和數列有界，即部分和數列有界， . 1 收斂收斂 n n u n vvv 21 11 nn nn uv

2、 設設 和和 均為正項級數，且均為正項級數，且 ), 2, 1( nvu nn nn s 則則 )()2( nsn設設, nn vu 且且 不是有界數列不是有界數列 . 1 發散發散 n n v 推論推論: 若若 1n n u收斂收斂(發散發散) 且且)( nnnn vkuNnkuv , 則則 1n n v收斂收斂(發散發散). 定理證畢定理證畢. 須有參考級數須有參考級數. 討論討論 p 級數級數 ppp n 1 3 1 2 1 1 (常數常數 p 0) 的斂散性的斂散性. 1) 若若, 1p因為對一切因為對一切N ,n 而調和級數而調和級數 1 1 n n 由比較審斂法可知由比較審斂法可知

3、 p 級數級數 1 1 n p n n 1 發散發散 . 發散發散 , p n 1 , 1p 因為當因為當nxn1, 11 pp xn 故故 n n pp x nn 1 d 11 n n p x x 1 d 1 11 1 ) 1( 1 1 1 pp nnp 考慮級數考慮級數 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和：的部分和： n 11 1 ) 1( 11 pp n k kk n 由比較審斂法知由比較審斂法知 p 級數收斂級數收斂 . 時時, 1 ) 1( 1 1 p n 1 2) 若若 11111 ) 1( 11 3 1 2 1 2 1 1 ppppp nn 發散發散時時當當 收

4、斂收斂時時當當 級數級數 ,1 ,1 p p P 1 1 1 d n p n n x x 收斂收斂 . 若存在若存在對一切對一切 ,Nn , 1 ) 1( n un , ) 1( 1 )2(p n u p n . 1 收斂則 n n u ; 1 發散則 n n u N ,n , 1 1 )1( 1 nnn , 1 1 1 n n 發散發散而級數而級數 . )1( 1 1 n nn 發散發散級數級數 設設 1 n n u與與 1 n n v都是正項級數都是正項級數, , 如果如果 則則 (1) 當當時時, ,二級數有相同的斂散性；二級數有相同的斂散性； (2) 當當 時，若時，若 收斂 收斂,

5、,則則 收斂收斂； (3) ,liml v u n n n l0 0 l l 1n n v 1n n u 1n n v 1n n u當當 時，若時，若 發散發散, ,則則 發散發散； l v u n n n lim)1(由由, 0 2 l 對于對于 ,N ,時時當當Nn 22 l l v ul l n n )( 2 3 2 Nnv l uv l nnn 即即 由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證. (2)lim0 n n n u v 由 1 =, 2 對于,時時當當Nn 1 2 n n u v ， 1 2 nn uv即 由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證. (3)li

6、m n n n u v 由,N,存在正整數,時當Nn 即即 nn vu ,1 n n v u 由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證. ,N存在正整數 設設 1n n u為正項級數為正項級數, 如果如果0lim lnun n (或或 n n nulim), 則級數則級數 1n n u發散發散; 如果有如果有1 p, 使得使得 n p n un lim存在存在, 則級數則級數 1n n u收斂收斂. )1( n n n n 3 1 3 1 lim n n n1 1 sin lim , 1 原級數發散原級數發散. )2( n n n 1 sinlim n nn 3 1 1 lim , 1

7、 , 3 1 1 收斂收斂 n n 故原級數收斂故原級數收斂. ,為有限數時為有限數時當當 , 0 對對 ,N ,時時當當Nn , 1 n n u u 有有 )( 1 Nn u u n n 即即 ,1時時當當 ,1 取取, 1 r使使 , 1 1 N m mN uru , 12 NN ruu , 1 2 23 NNN urruu , 1 1 1 m N m ur收斂收斂而級數而級數 , 11 收斂收斂 Nn u m mN uu收斂收斂 1 n n u 1 () n n u nN u , 1 取取, 1 r使使 1nnn uruu 0, N u 從而從而 nn uu 1 N u lim0, nN

8、 n uu 因此因此 所以級數所以級數 發散發散. . 1 n n u ,1時或 nN 且當且當 時時 1 () n n u nN u 不必找參考級數不必找參考級數. . , 1 1 發散發散級數級數例例 n n , 1 1 2 收斂收斂級數級數 n n )1( , 2 3 2 )1(2 nnn n n vu 例例 , 2 )1(2 11 收斂收斂級數級數 n n n n n u , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但 , 6 1 lim 2 n n a , 2 3 lim 12 n n a .limlim 1 不不存存在在 n n n n n a u u )1

9、( ! 1 )!1( 1 1 n n u u n n 1 1 n ),(0 n . ! 1 1 收斂收斂故級數故級數 n n ),( n )2( ! 10 10 )!1( 1 1 n n u u n n n n 10 1 n . 10 ! 1 發散發散故級數故級數 n n n )3( )22()12( 2)12( limlim 1 nn nn u u n n n n , 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法 , 1 2)12( 1 2 nnn , 1 1 2 收斂收斂級數級數 n n . )12(2 1 1 收斂收斂故級數故級數 n nn 110 ! n n n 1

10、 2)12( 1 n nn (2) (3) , 1 , 1 n n n 設級數設級數例如例如 n n n n n u 1 n 1 )(0 n 級數收斂級數收斂. 能用比值法判定斂散性的正項級數，必可用根值能用比值法判定斂散性的正項級數，必可用根值 法判定。但是可用根值法判定斂散性的正項級數，卻法判定。但是可用根值法判定斂散性的正項級數，卻 未必能用比值法。未必能用比值法。 - -(-1) 1 2 n n n 判別級數的斂散性。 因為因為 (-1) -1- lim=lim n n n n nn u 2 1 = lim= n n n n nnn n nn u u uuu 但是如果是由比值或根值審斂

11、法1 或1判定級數發散，則必有級數 也發散。 +1 (1)lim= 1 n n n u u 證明： 因為 +1 0, nn uu由此 lim0lim0 nn nn uu 這表明 =1 n n u 級數發散。 +1 =1=1 =1=1 (1),lim= 1() (2),lim= (), n nn n nn n n nnn n nn u uu u uuu 對于級數若或，則級數發散。 對于級數若1 或則級數發散。 （2）同理可證）同理可證 定理定理 , 1sin 22 nn n , 1 1 2 收斂收斂而而 n n , sin 1 2 n n n 收斂收斂 故由定理知原級數絕對收斂故由定理知原級數絕

12、對收斂. 正正 項項 級級 數數 任意項級數任意項級數 審審 斂斂 法法 1. 2. 5.充要條件充要條件 6.比較法比較法 7.比值法比值法 8.根值法根值法 4.利用絕對收斂利用絕對收斂. 交錯級數交錯級數 (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) 3.按基本性質按基本性質; ;,則級數收斂則級數收斂若若SSn ;, 0,則級數發散則級數發散當當 n un 交錯級數交錯級數 必要條件必要條件0lim n n u 不滿足不滿足 發發 散散 滿足滿足 比值審斂法比值審斂法 lim n 1n u n u 根值審斂法根值審斂法 n n n ulim 1 收收 斂斂發發 散散 1 不定不定 比較審斂法比較審斂法

13、 用它法判別用它法判別 部分和極限部分和極限 1 有極限部分和數列收斂. 1 nn Su 為收斂級數為收斂級數 1n n u設 Leibniz判別法判別法: 0 1 nn uu 0lim n n u 則交錯級數則交錯級數 n n nu 1 ) 1(收斂收斂 概念概念: , 1 收斂若 n n u 1n n u稱絕對收斂絕對收斂 , 1 發散若 n n u 條件收斂條件收斂 1n n u稱 思考與練習：思考與練習： 解：解： n n n u u 2 lim n n u lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 1 2 n n u 反之不成立反之不成立.例如：例如： 1 2 1 n n

14、收斂收斂, 1 1 n n 發散發散. 2. 用適當的方法判定下列級數的斂散性用適當的方法判定下列級數的斂散性 2 =0=1 =1=1 -1-1 2 =1=1 11 (1)();(2)(1+) ; !2 2+(-1) (3)2 sin;(4); 32 1 (5)(-1);(6)(-1)ln(1+) ( +1) n n n nn n n nn nn nn nn x xR nn n nn 解：解： 2/3 1 0 2 3 1 0 1 0 2 1 3 2 3 2 1n xdxxdx x x n nn 由比較法知由比較法知 1 2 0 1 1 n n x dx x 收斂收斂. 1 2 0 1 (2);

15、 1 n n x dx x 3. 判別級數判別級數 的斂散性：的斂散性： 4. 判別下列級數的斂散性：判別下列級數的斂散性： (1) 222222222 ; 解解 , 2 sin2 4 sin2 2 2 22 2 3 2 2 sin2 8 sin22 4 cos2222 4 2 2 sin2 8 cos22 8 cos222222 所以所以, 132 2 sin2 2 sin2 2 sin2 222222222 n 1 1 2 sin2 n n 由比較審斂法。可知級數收斂。由比較審斂法。可知級數收斂。 分析分析:lim1 n n n u 由,0 n NnNu 當時 1 n n N u 為正項級

16、數 lim1lim n nn n n u u ),3,2, 1(0nun設, 1lim n u n n 且 則級數則級數 ).() 1( 1 11 1 1 nn uu n n (A) 發散發散 ; (B) 絕對收斂絕對收斂; (C) 條件收斂條件收斂 ; (D) 收斂性根據條件不能確定收斂性根據條件不能確定. 5. 12 11 () n S uu 23 11 () uu 1 1 11 ( 1)() n nn uu 1 11 11 =( 1) n n uu n () n u 1 1 u 1 1 11 limlim()2 1 nn nn nn uunn uu n 又 (B) 錯錯 34 11 () uu 45 11 () uu 所以選所以選C. 6. 判別下列級數的斂散性：判別下列級數的斂散性： 11111 (3)1; 23456 解解: ,1時時當當 ., 1 )1( 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 條條件件收收斂斂 n n n , )2( 1 ,1 1 收收斂斂時時當