1、附錄A線性常微分方程本課程的研究內容與常微分方程理論有非常密切的聯系，因此在本附錄里，我們將對線性常微分方程的知識一一包括解的存在性、解的結構和求解方法做一些回 顧和總結。把包含未知函數和它的j階導數y(j)的方程稱為常微分方程。線性常微分方 程的標準形式yPn,x)y(T |i pi(x)y p(x)y 二 f(x)(A.1)其中n稱為方程的階數，pj(x)和f (x)是給定的函數。可微函數y二y(x)在區 間I上滿足方程(A.1)，則稱其為常微分方程(A.1 )在I上的一個解。，f(x) 稱為方程(A.1)的自由項，當自由項f (x)三0時方程(A.1 )稱為是齊次方程， 否則稱為非齊次方

2、程。一般來說常微分方程的解是不唯一的， 我們將方程的全部解構成的集合稱為解集合，解集合中全部元素的一個通項表達式稱為方程的通解，而某個給定的解稱為方程的特解。在本附錄里，我們重點介紹一階和二階常微分方程的相關知識。A.1 一階線性常微分方程一階線性常微分方程表示為y p(x)y 二 f (x)， x I .(A.2)當f (x)三0，方程退化為y p(x)y = 0,( A.3)假設y(x)不恒等于零，則上式等價于工=-p(x)而上 pin y| ，從而（A.3）的通解為 y(A.4 )-p(x)dxy(x)二 Cefp（x）dx對于非齊次一階線性常微分方程（A.2），在其兩端同乘以函數eJP

3、(x)dxp(x)dxp(x)dxe y p(x)e y = e f (x)注意到上面等式的左端P(x)dxy- p(x)ep(x)dxy =fp(x)dxe yJ因此有Jp(x)dxe yfp(x)dx二 e f (x)兩端積分其中C是任意常數p(x)dxep(x)dxf (x)dx進一步有 Jx與y2二4 ：)x是兩個復數解。為了便 于在實數范圍內討論問題，我們再構造兩個線性無關的實數解。由歐拉公式 eix = cosx i sin x，可得y = e x(cos ： x sin : x)， y2 = e x(cos ： x - sin : x),于是由定理1知，函數ex cosP x =

4、 1 (y十 y2)，ex sin ” x = 1 (y y2)2 2是微分方程(A.10)的解，容易驗證它們線性無關，所以這時方程的通解可以表示 為y(x) = e*(G cosP x+ gsin P x).上述求解二階常系數線性齊次方程的方法稱為特征根法，其具體步驟可總結 如下(1) 寫出所給微分方程的特征方程；(2) 求出特征根；(3) 根據特征根的三種不同情況求得對應的特解，并寫出其通解。特征方程r2 + pr + q = 0的兩個根r,r2微分方程y+ py+qy = 0的通解兩個不相等的實根r1 - r2兩個相等的實根，即r r2一對共軛復根，口,2 =- irixi%xy(x)

5、= c1e1c2e2y(x)二(q C2x)erixy(x)二 ex(c1 cos ： x c2sin x)(i) y”-y = O；(2) y” y = 0.例2求解二階齊次常微分方程(1)特征方程為r2 - 1 = 0，其根為r12 = 一1，所以微分方程的兩個線性無關的解為(x) =ex, y2(x)，所以通解可以表示為y(x) = Gex c2ex。又ex +ex - e 一coshx,sinhx，因而coshx禾口sinhx也是微分方程的解,22并且它們也是線性無關的，因此也可以構成微分方程的基礎解系，即方程的通解也可以表示為y(x)二Gcoshx c2sinhx，這種表示方法在討論

6、某些問題時更 加方便。(2)特征方程為r2 T = 0,其根為r12 = -i，所以微分方程的兩個線性無關的解為 (x)二cosx, y2(x)二si nx ， 所以通解可以表示為y(x)二 c cosx gsinx。在實際應用中，我們經常遇到帶有一些條件的微分方程，如y 4y 二 ex, y(0) = 0,y(0) = 1 或 y” 2y 3y 二 sin2x, y(0) = 0, y(1)= 0等，這些問題稱為 初值問題或邊值問題例3求方程y-4y4y=0的滿足初始條件y(0) =1,y(0) = 4的特解解 y- 4y - 4y = 0的特征方程為r2 - 4r 4 = 0，有重根r =

7、 2，其對應的兩個線性無關的特解為yi(x)二 e2x, y2(x)二 xe2x,所以通解為y(x)二(c C2X)e2x,求導得y (x) = c2xe2x 2(g c?x)e2x,將y(0) =l,y(O) =4代入以上兩式得G = 1JG + 2q = 4，解之得& = 1, c2 = 2，即得初值問題為2xy(x) = (1 2x)e .例4求含參數方程y”y = O (，為實數)滿足邊界條件 y(0)0y, 1豈的特解。解 微分方程的特征方程為r2 = 0，為實數，分以下三種情形進行討論： 當：0時，特征方程有兩個互不相等的實根L二- ，此時微分方程的兩個線性無關的特解為 y (x)

8、 = ex, y2(x) = ex，因此其通解為y(x) = Ge + c2eix,其中g,c2是任意常數。由條件y(0) = 0, y(l) =0 ,得I G c2 = 0解之得,二g =0,從而y(x)三o，也即方程沒有非零解。 當 =0時，方程退化為x =0,其特征方程有兩個相等的實根r12 = 0,此時微分方程的兩個線性無關的特解為 yx) = 1, y2(x) = x，因此其通解為X (x)二 co dox .其中c0,d0是任意常數(當然這個通解也可以直接由X =0積分兩次得到)。由條件y(0) =0, y(l) = 0，得c0 =0, d0 =0，此時，方程沒有非零解。當0時，特

9、征方程有兩個互為共軛的復根r12二- i，于是微分方程的兩個線性無關的特解為y(x)二cos、一，x, y2(x)二sin x，因此其通解為y(x)二 & cos x c2 sin、 x,其中g,c2是任意常數。代入邊界條件，得I c,= 0I 1 (-c, sinl c, cosl) = 0由于/ - 0，所以G = 0，故c, n 比l 0 ，要使y( x)不恒等于零，須c2 = 0，因此必有 cos、7l -0，從而 i_l innn =0,1,2, HI，也即I 2丿27tl2n =0,1,2,|(，相應的解為y(x)二 c2 sin其中c2為任意的數例5求解如下帶有周期條件的常微分方

10、程問題r nI y c y 二 0y x 2 愿 l=y x解首先與上例同理可得常微分方程 y在參數取不同值時的通解C cos , x g sin、 x (0)y(x )詔C0 +dxqe +c2eRx仏=0).伍 0)結合周期條件y x 2 y x，可求得參數 -n2 , n = 0,1,2,山，而相應的解(n = 0)(n=0)乙 cos n +c2 si nnyx= o、二階常系數線性非齊次常微分方程的解法由定理A.5,線性非齊次常微分方程y py qy= f (x),的解可由其相伴齊次方程的通解丫(x)和非齊次方程的一個特解y*(x)之和構成。 因此，求解二階常系數線性非齊次常微分方程

11、的關鍵就在于確定它的一個特解 y*(x)。確定特解的方法很多，下面介紹常用的待定系數法，該方法的基本思想 是：利用右端項f (x)的具體形式確定特解y*(x)的結構，然后代入到非齊次方程 中確定其中系數。下面分幾種情形來討論特解的求法。1 自由項為多項式，即f(x) =Pn(x)設二階常系數線性非齊次常微分方程y py qy 二巳(x),(A.12)其中Pn(x)為x的n次多項式。由于方程中系數p，q都是常數，且多項式的導數 仍為多項式，所以可設(A.12 )的特解為*ky 二 x Qn (x),其中Qn(x)是與Pn(x)同階的多項式，k是一個常數，當系數q=0時，k取0,當 q=0，p =

12、 0 時，k 取1，當 q=0, p = 0 時，k 取2。例6求非齊次方程y、 2y 丫 = X的一個特解。解 使用待定系數法。由于該方程中自由項 f（x） = x2是二次多項式，且 q = 1,故取k = 0，所以設特解為yax2 bx c，代入方程，合并同類項后 有2 2ax（-4a b）x （2a - 2b c） = x ,比較兩端系數可得a=1,b=4,c=6。于是求得特解為y = x2 4x 6。2.自由項f（x）為Ae：x型設二階常系數線性非齊次常微分方程y、pyqy 二 Aex,（A.13）其中A,均為常數。考慮到p，q都是常數，且指數函數的導數仍為指數函數，所以可設（A.13

13、 ）的特解為ybxke：x,其中b為待定的系數，當不是（A.13）的相伴齊次方程的特征根時，k取0; 當是（A.13）的相伴齊次方程的單特征根時，k取1;當是（A.13）的相伴 齊次方程的重特征根時，k取2。例7求方程y” y二2e2x的通解。解 非齊次方程的相伴齊次方程的特征方程為r2 r 1 = 0，其特征根為-1、.3i_1 _ 3i，所以齊次方程的通解為Y(x) = e 2 (qcos于 x c2 sinf x),又:=2不是特征方程r2 r 0的特征根，取k = 0 ,所以設特解為y*二be2x，代入方程得4be2x2be2x be2x = 2e2x2x0比較系數得b = 2 ,故原

14、方程的一個特解為y* (x)二彳e2x。因此yy二2e2x2x的通解為y(x)2x e%co年x S 子x).3 自由項 f(x)為 e：x(Acos ：x Bsin 一： x)型設二階常系數線性非齊次常微分方程y Py qy = e x( Acos ： x Bsin ： x),(A.14)其中:,A,B均為常數。考慮到指數函數的導數仍為指數函數，三角函數的導數仍為三角函數，所以可設(A.14)的特解為y* = xkex(acos : x bsin : x).其中a,b為待定的系數，當:不是方程(A.14)的相伴齊次方程的特征根時, k取0;否則，k取1。將y代入非齊次方程確定系數a,b。例8

15、求方程y 3y- y二excos2x的一個特解解 非齊次方程的自由項為ex cos2x，且1 2i不是相伴的齊次方程的特征 根，故特解可設為*X、y = e (acos2x bsin2 x).代入方程，合并同類項得ex(10ba)cos2x-(b 10a)sin2x二 excos2x,即(10b-a)cos2 x-(b 10a)sin2 x = cos2x.比較兩端系數得10b-a =1b 10a =0解之得a ，b10，故所求特解為101 101y* 冷一丄cos2x sin2x .V 101101 丿例9求方程y” y =sinx的通解。解 非齊次方程的自由項為si nx，且i是相伴的齊次

16、方程的特征根，故特解 可設為y (x)二 x(acosx bsin x),代入方程，合并同類項得-2a sin x 2b cos x 二 sin x ,比較兩端系數得a12，b =0，故所求特解為* 1y (x) xcos2x,2而對應的齊次方程y” y =0的通解為Y(x) =qcosx c2sinx ,故所求的通解為1y(x) xcos2 x g cosx c2 sin x .2A. 2. 2二階變系數線性常微分方程的解法定理A.4，定理A.5給出了二階線性微分方程（A.6）y” p(x)yq(x)y 二 f (x)，x I的通解y(x) = y*( x) Y x ,其中Y(x)是微分方程

17、(A.6)相伴的齊次方程的通解，y*(x)是它的一個特解。在上一小節中，我們給出了自由項為一些特殊結構的函數的常系數微分方程 的求解方法。對于變系數微分方程，一般情況下處理起來比較困難，這里我們給 出兩種方法分別用以求齊次方程的通解 Y(x)和非齊次方程的特解y*( x) o一、求二階齊次線性微分方程的特解對于二階齊次線性微分方程(A.7)y” p(x)y q(x)y = 0,其通解為y(x) Ciy/x) C2y2(x)，這里的c,c2是任意常數，y(x)，y2(x)是齊次方程的兩個線性無關的解。現假設我們已知二階齊次線性微分方程的一個非零特解y1(x)，利用A.1小節中的定理A.1，可以證

18、明如下結論定理A.7假設在方程(A.7)中，函數p(x),q(x)連續，y1(x)是(A.7)的一個非零特解，則-p(x)dxy2(x)二 yi(x)2 dxyi (x)是(A.7)的與yi(x)線性無關的特解。例10已知ex是二階齊次常微分方程 xy- (x)yy = 0的一個特解，求該方程的通解。解由定理A.7，可以得到y2(x) = ex. ex -1,dx-x2xdx = ex I dx = e ex _e.xedx = ex(_xe= - e_x) - - x _ 1所以方程的通解為xy(x) = c1ec2(x 1).二、參數變異法參數變異法可以從相伴齊次方程的通解出發求得非齊次方

19、程的一個特解y*( x)。設齊次方程的通解為y(x)二 qydx) C2y2(x).所謂參數變異法就是設想非齊次方程(A.6)有一個形如y(x)二 Ci(x)yi(x) C2(x)y2(x),(A.15)的解，這里c1(x)，g(x)是兩個待定的函數，即參數 C1，C,變異為函數了。下面我們來選擇C|(x)，g(x)，使y(x)成為非齊次方程的一個解。由(A.15)有y(x) y(x)yi(x) C2(x)y2(x) G(x)yr(x) gxMO).由于要確定兩個函數 C1(x)，C2(x)，但它們只需滿足一個方程，所以可以對G(x)，C2(x)添加一個約束條件，事實上如下的條件可以同時起到簡

20、化計算的作用，我們規定C1 (x)%(x) C2 (x)y2(x) 7.(A.16)利用(A.15 )和(A.16)，有y(x)二 C1(x)yJ(x) C2(x)y2(x)，y(x)二 cdx)% (x) 6(x)y2”(x) 心)，將以上兩式代入方程(A.6)可得y” p(x)y q(x)y =(G(x)yi (x) C2(x)y2”(x) Ci(x)%(x) c?(x)y2(x)p(x)(Ci(x)y(x) C2(x)y2(x)q(x)(&(x)yi(x) Q(x)y2(x)=0Ci(x)yJ(x) C2(x)y2(x)二 Ci(x)yi (x)(x)y2(x)二 f (x).由上式和式

21、(A.15),待定函數C|(X), g(X)滿足6 (x)yi(x)+C2(x)y2(x)= f (x), G(x)yi(x)C2(x)y2(x) = 0.這是一個關于Ci(x), C2(x)的方程組，由克萊默法則Ci(x)二0f(x)yi(x)yi(x)y2(x)y2(x)y2(x)y2 (x)C2(x)二yi(x)oyjx) f(x)yi(x) y2(x)yi(x) y2 (x)記W(yi(x), y2(x)二yi(x)yi (x)y2(x)y2 (x)，則有Ci (x)二- f (x)y2(x) W(yi(x), y2(x)積分求得“、r -f(x)y2(xf (x)yi(x),C1(x)dx, C2(x)dx,W(yi(x),y2(x)W(yi(x),y2(x)從而得到(A.6)的一個特解y- yi(x)f(x)y2(x) dx y2(x)皿dx.(A.i7)W(yi(x), y2(x)W(yi(x),y2(x)例ii求方程y * y =tan x的通解解 齊次方程y“ y二0的通解為Y(x) = g cosx gsinx.用參數變異法，求解方程組G (x)cosx + c2(x)sin x = 0, c/(x)