1、第二章習題答案2.1（1）非平穩（2）0.01730.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有單調趨勢的時間序列樣本自相關圖2.2（1）非平穩，時序圖如下（2）- （3）樣本自相關系數及自相關圖如下：典型的同時具有周期和趨勢序列的樣本自相 關圖-0.139 -0.0340.206 -0.0100.080 0.1182.3（ 1 ）自相關系數為：0.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.094 0.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070 -0.0250.075-0.141

2、-0.204-0.2450.0660.00622）平穩序列3）白噪聲序列 2.4LB=4.83 ，LB統計量對應的分位點為 0.9634 ，P值為 0.0363 。顯著性水平=0.05，序列不能視為純隨機序列。2.5（1）時序圖與樣本自相關圖如下2) 非平穩3)非純隨機 2.6(1)平穩，非純隨機序列(擬合模型參考：ARMA(1,2) )(2)差分序列平穩，非純隨機 第三章習題答案3.1 解：E(xt) 0.7 E(xt 1) E( t)(10.7)E(xt ) 0E(xt ) 0(10.7B) xttxt(10.7B) 1 t(1 0.7B 0.72 B2)Var(xt )1222 1.96

3、08 21 0.492210 0.4922 03.2 解：對于 AR(2)模型：11 0 2 11 2 1 0.521 1 2 01 1 2 0.3解得：1 7/152 1/153.3 解：根據該 AR(2)模型的形式，易得： E(xt ) 0原模型可變為： xt 0.8xt 1 0.15xt 23.43.53.63.7Var ( xt )(1 2)(1 1 2)(1 1 2)(1 0.15)(1(1 0.15)0.8 0.15)(10.8 0.15)2 =1.9823 21 /(111122)20210.69570.40660.22091122330.69570.150解：原模型可變形為：2

4、(1 B cB2 )xtt由其平穩域判別條件知：當 | 2 |由此可知 c 應滿足： |c| 1， c 11 且 2 1 1時，模型平穩。1且c即當 1c0時，該 AR(2)模型平穩。 證明：已知原模型可變形為：(1 B cB2 cB3)xt其特征方程為： 3 21)(c)不論 c 取何值，都會有一特征根等于2解：(1)錯，2)3)4)5)解：Var(xt )錯，錯，錯，錯，1，/(1因此模型非平穩E(xtx?T(l)eT(l)(xt 1)l1 xT 。Tl10/(112)。G1 T lG2TlGl 1T1Tlllim VarxTx?T (l) llim Var eT (l )im1112l1

5、21121 12 。11 124 12 121MA(1) 模型的表達式為：xt3.8 解法 1：由 xt = + t 1t12 t 2 ，得 xt 1= +t12 t 3 ，則xt 0.5xt 1=0.5 + t ( 1 0.5) t 1 ( 2 0.5 1) t 2+0.5 2 t 3 ，與xt =10+0.5 xt 1+ t 0.8 t 2+C t 3 對照系數得0.510,20,10.5 0 10.5,2，故0.5 1 0.8 ，故 20.55, 。0.52 C C0.275解法 2：將 xt10 0.5xt 1t 0.8 t2 C t 3 等價表達為xt 201 0.8B2 CB31

6、0.5B t1 0.8B2 CB3 (1 0.5B 0.52 B2 0.53 B3 L ) txt 20 1 0.5B 0.55B20.5k (0.53 0.4 C)B3 k t k0展開等號右邊的多項式，整理為10.5B220.52B20.53B3440.54B4L20.8B20.80.5B3240.8 0.52 B4LCB30.5CB 4L合并同類項，原模型等價表達為當 0.53 0.4 C0時，該模型為 MA(2) 模型，解出 C 0.275 。Var(xt ) (11.653.9 解： E(xt ) 011120.980.5939121221.6520.40.2424 k 0， k 3

7、212122 1.653.10 解法 1：(1)xttC( t 1t 2 )xt 1t1 C(t 2 t 3)xttCxt 1Ct1t1xt 1t (C 1) t 12122 ) 22即 (1 B)xt 1 (C 1)B t顯然模型的 AR部分的特征根是 1，模型非平穩。2) ytxt xt 1t (C 1) t 1 為 MA(1)模型，平穩。1 C 1221 12 C 2 2C解法 2：( 1)因為 Var(xt) lim(1k22kC2) 2，所以該序列為非平穩序列。2) ytxt xt 1t (C1) t 1 ，該序列均值、方差為常數，2E(yt) 0, Var ( yt ) 1 (C

8、1)2自相關系數只與時間間隔長度有關，與起始時間無關C11 1 (C 1)2 , k 0,k3.11 解：所以該差分序列為平穩序列。1 1.37382 -0.87362)| 2 | 0.31，2 1 0.81 ， 21 1.41，模型平穩。1 0.62 0.53)| 2 | 0.31，2 1 0.61 ， 21 1.21，模型可逆。1 0.45 0.2693i2 0.45 0.2693i4)| 2 | 0.41，2 1 0.91 ， 21 1.71，模型不可逆。1 0.25692 -1.55695)| 1 | 0.71，模型平穩； 10.7| 1 | 0.61，模型可逆； 10.66)| 2

9、| 0.51，2 1 0.31 ， 21 1.31，模型非平穩。1 0.41242-1.2124模型非平穩；1)| 2 | 1.21| 1 | 1.1 1 ，模型不可逆；1.13.12 解法 1： G0 1， G11G0 1 0.6 0.3 0.3 ，Gk1Gk 1k 1 k 11 G1 0.3 0.6 ,k 2所以該模型可以等價表示為：xttk0.3 0.6k t k 1 。 k0解法 2： (1 0.6B)xt (10.3B) t3.133.14G0xt(10.3B)(1220.6B 0.62 B2)t(1G00.3B 0.3*0.6B2 0.3*0.3*0.6j 1 tj11，Gj 0.

10、3* 0.6 j 1解： E (B)xt E(xt ) 12。證明：已知 11 ， G1 1G0GjGj 1j0E3(B) t(10.52j10.62B3)t0.5)2E(xt ) 3Gj2j0GjGj kj0G2jj011 ，根據40.25ARMA（1,1） 模型 Green 函數的遞推公式得：1k 1G11,k 22( j 1)11j1Gj1 Gj kj0511 12412124111 125141260.27GjGj k 1j0,kGj2j0G2jj03.15 （ 1）成立（ 2）成立（ 3）成立4）不成立3.16 解：(1) xt 10 0.3*(xt 1 10) t， xT 9.6x

11、?T (1)E(xt 1)E100.3* (xT10)T 1 9.88x?T(2)E(xt 2 )E100.3*(xT 110)T 2 9.964x?T(3)E(xt 3)E100.3*(xT 210)T 3 9.9892已知 AR(1)模型的 Green 函數為： Gj1j ， j 1，2，eT (3)G0 t 3G1 t 2G2 t 1t321 t 2 1 t 1Var eT (3) (1 0.32 0.092 ) * 9 9.8829xt 3 的95的置信區間： 9.9892-1.96* 9.8829 ，9.98921.96* 9.8829 即3.8275,16.15092) T 1 x

12、T 1 x?T (1) 10.5 9.88 0.62x?T 1(1) E(xt 2) 0.3* 0.62 9.964 10.15x?T 1(2) E(xt 3) 0.09* 0.62 9.9892 10.045VareT 2(2) (1 0.32)* 9 9.81xt 3的95的置信區間： 10.045-1.96 9.81 ，10.0451.96* 9.81 即3.9061,16.1839。3.17 ( 1)平穩非白噪聲序列( 2) AR(1)(3) 5 年預測結果如下：3.18 ( 1)平穩非白噪聲序列 ( 2) AR(1)(3) 5年預測結果如下：1）平穩非白噪聲序列2) MA(1)下一年

13、 95%的置信區間為( 80.41,90.96）3.19(3)3.20 （ 1）平穩非白噪聲序列 （2）ARMA（1,3）序列 （3）擬合及 5 年期預測圖如下：第四章習題答案4.1 解：x?T 14(xTxT 1xT 2xT 3)15551x?T 2(x?T 1xTxT 1xT 2)xTxT 1xT 2xT 34 T 116 T16 T 116 T 216 所5 以，在 x?T 2中xT與xT 1前面的系數均為 16。4.2 解 由x%txt (1)x%t 1x%t 1xt 1 (1)x%t代入數據得x%t 5.25 5(1 )5.26 5.5 (1 )x%t解得x%t 5.10.4（舍去1

14、的情況 ）4.3 解：( 1)11x?21(x20 x19 x18 x17 +x16) (13+11+10+10+12)=11.25511x?22( x?21+ x20 x19 x18 x17) ( 11.2+13+11+10+10)=11.04552）利用 x%t0.4xt 0.6x%t 1且初始值 x%0 x1 進行迭代計算即可。 另外，x?22x?21x%20 該題詳見 Excel 。3）在移動平均法下11.79277X?21 1 X2055i 16XiX?22 1 X?21511X 2055i19Xi1711 a55在指數平滑法中 :25x?22x?21x%200.4 x20 0.6x

15、%19b 0.4b a 0.4 6 0.16。254.4 解：根據指數平滑的定義有（1）式成立，（1）式等號兩邊同乘 （1） 有（ 2 ）式成立x%t t(t 1) (1 )(t2) (1)2(t2) (1 )3 L(1)(1 )x%tt (1 )(t1) (1)2(t2) (1 )3 L(2)1）- （2）得x%t t (1 ) (1 )2 L x%t t (1 ) (1 )2 L1t則ltim x%tt ltimt11。holt 兩參4.5 該序列為顯著的線性遞增序列，利用本章的知識點，可以使用線性方程或者 數指數平滑法進行趨勢擬合和預測，答案不唯一，具體結果略。4.6 該序列為顯著的非線

16、性遞增序列， 可以擬合二次型曲線、 指數型曲線或其他曲線， 也能 使用 holt 兩參數指數平滑法進行趨勢擬合和預測，答案不唯一，具體結果略。4.7 本例在混合模型結構， 季節指數求法， 趨勢擬合方法等處均有多種可選方案， 如下做法 僅是可選方法之一，結果僅供參考（1）該序列有顯著趨勢和周期效應，時序圖如下（ 2）該序列周期振幅幾乎不隨著趨勢遞增而變化，所以嘗試使用加法模型擬合該序列： xt Tt St It 。（注：如果用乘法模型也可以）首先求季節指數（沒有消除趨勢，并不是最精確的季節指數）0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.1165

17、661.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179 消除季節影響， 得序列 yt xt Stx ，使用線性模型擬合該序列趨勢影響 （方法不唯一）Tt 97.70 1.79268t ， t 1,2,3,L注：該趨勢模型截距無意義，主要是斜率有意義，反映了長期遞增速率）得到殘差序列 It xt St x yt Tt ，殘差序列基本無顯著趨勢和周期殘留。預測1971年奶牛的月度產量序列為 x)t T)t S?mod t 12 x,t 109,110,L ,120得到771.5021739.517 829.4208 849.5468914.00

18、62 889.7989839.9249 800.4953764.9547 772.0807748.4289 787.33273）該序列使用 x11 方法得到的趨勢擬合為趨勢擬合圖為4.8 這是一個有著曲線趨勢 , 但是有沒有固定周期效應的序列 , 所以可以在快速預測程序中 用曲線擬合（ stepar ）或曲線指數平滑（ expo ）進行預測（ trend=3 ）。具體預測值略。第五章習題5.1 擬合差分平穩序列 , 即隨機游走模型 xt =xt -1+ t , 估計下一天的收盤價為 2895.2 擬合模型不唯一，答案僅供參考。 擬合 ARIMA（1,1,0） 模型，五年預測值為：5.3 ARI

19、MA (1,1,0) (1,1,0)125.4 (1)AR(1)， （2） 有異方差性。最終擬合的模型為xt =7.472+ tt =-0.5595 t-1+vtvt= ht etht =11.9719+0.4127vt2-15.5（1） 非平穩（2）取對數消除方差非齊，對數序列一節差分后，擬合疏系數模型AR（1，3） 所以擬合模型為ln xARIMA (1,3),1,0)3）預測結果如下：5.6 原序列方差非齊，差分序列方差非齊，對數變換后，差分序列方差齊性。第六章習題6.1 單位根檢驗原理略。例 2.1 原序列不平穩，一階差分后平穩例 2.2 原序列不平穩，一階與 12步差分后平穩例 2.

20、3 原序列帶漂移項平穩例 2.4 原序列不帶漂移項平穩例 2.5 原序列帶漂移項平穩 （ =0.06） ，或者顯著的趨勢平穩。6.2 （ 1）兩序列均為帶漂移項平穩 （2）谷物產量為帶常數均值的純隨機序列，降雨量可以擬合AR（ 2）疏系數模型。（3）兩者之間具有協整關系（ 4） 谷物產量 t 23.5521 0.775549降雨量 t6.3 （ 1）掠食者和被掠食者數量都呈現出顯著的周期特征，兩個序列均為非平穩序列。但 是掠食者和被掠食者延遲 2階序列具有協整關系。即 yt - xt-2 為平穩序列。（2）被掠食者擬合乘積模型： ARIMA （0,1,0） （1,1,0）5 , 模型口徑為 :

21、15xt = 5 t5 t 1+0.92874B5 t 擬合掠食者的序列為：yt =2.9619+0.283994 xt-2 + t-0.47988 t-1未來一周的被掠食者預測序列為：Forecasts for variable xObsForecastStd Error95% Confidence Limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110

22、.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-176.5965303.72085580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.5955-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者預測值為：Forecasts for variable yObsForecastStd Error95% Confidence