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文檔簡介
1、第二章習題答案2.1(1)非平穩(2)0.01730.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376(3)典型的具有單調趨勢的時間序列樣本自相關圖2.2(1)非平穩,時序圖如下(2)- (3)樣本自相關系數及自相關圖如下:典型的同時具有周期和趨勢序列的樣本自相 關圖-0.139 -0.0340.206 -0.0100.080 0.1182.3( 1 )自相關系數為:0.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.094 0.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070 -0.0250.075-0.141
2、-0.204-0.2450.0660.00622)平穩序列3)白噪聲序列 2.4LB=4.83 ,LB統計量對應的分位點為 0.9634 ,P值為 0.0363 。顯著性水平=0.05,序列不能視為純隨機序列。2.5(1)時序圖與樣本自相關圖如下2) 非平穩3)非純隨機 2.6(1)平穩,非純隨機序列(擬合模型參考:ARMA(1,2) )(2)差分序列平穩,非純隨機 第三章習題答案3.1 解:E(xt) 0.7 E(xt 1) E( t)(10.7)E(xt ) 0E(xt ) 0(10.7B) xttxt(10.7B) 1 t(1 0.7B 0.72 B2)Var(xt )1222 1.96
3、08 21 0.492210 0.4922 03.2 解:對于 AR(2)模型:11 0 2 11 2 1 0.521 1 2 01 1 2 0.3解得:1 7/152 1/153.3 解:根據該 AR(2)模型的形式,易得: E(xt ) 0原模型可變為: xt 0.8xt 1 0.15xt 23.43.53.63.7Var ( xt )(1 2)(1 1 2)(1 1 2)(1 0.15)(1(1 0.15)0.8 0.15)(10.8 0.15)2 =1.9823 21 /(111122)20210.69570.40660.22091122330.69570.150解:原模型可變形為:2
4、(1 B cB2 )xtt由其平穩域判別條件知:當 | 2 |由此可知 c 應滿足: |c| 1, c 11 且 2 1 1時,模型平穩。1且c即當 1c0時,該 AR(2)模型平穩。 證明:已知原模型可變形為:(1 B cB2 cB3)xt其特征方程為: 3 21)(c)不論 c 取何值,都會有一特征根等于2解:(1)錯,2)3)4)5)解:Var(xt )錯,錯,錯,錯,1,/(1因此模型非平穩E(xtx?T(l)eT(l)(xt 1)l1 xT 。Tl10/(112)。G1 T lG2TlGl 1T1Tlllim VarxTx?T (l) llim Var eT (l )im1112l1
5、21121 12 。11 124 12 121MA(1) 模型的表達式為:xt3.8 解法 1:由 xt = + t 1t12 t 2 ,得 xt 1= +t12 t 3 ,則xt 0.5xt 1=0.5 + t ( 1 0.5) t 1 ( 2 0.5 1) t 2+0.5 2 t 3 ,與xt =10+0.5 xt 1+ t 0.8 t 2+C t 3 對照系數得0.510,20,10.5 0 10.5,2,故0.5 1 0.8 ,故 20.55, 。0.52 C C0.275解法 2:將 xt10 0.5xt 1t 0.8 t2 C t 3 等價表達為xt 201 0.8B2 CB31
6、0.5B t1 0.8B2 CB3 (1 0.5B 0.52 B2 0.53 B3 L ) txt 20 1 0.5B 0.55B20.5k (0.53 0.4 C)B3 k t k0展開等號右邊的多項式,整理為10.5B220.52B20.53B3440.54B4L20.8B20.80.5B3240.8 0.52 B4LCB30.5CB 4L合并同類項,原模型等價表達為當 0.53 0.4 C0時,該模型為 MA(2) 模型,解出 C 0.275 。Var(xt ) (11.653.9 解: E(xt ) 011120.980.5939121221.6520.40.2424 k 0, k 3
7、212122 1.653.10 解法 1:(1)xttC( t 1t 2 )xt 1t1 C(t 2 t 3)xttCxt 1Ct1t1xt 1t (C 1) t 12122 ) 22即 (1 B)xt 1 (C 1)B t顯然模型的 AR部分的特征根是 1,模型非平穩。2) ytxt xt 1t (C 1) t 1 為 MA(1)模型,平穩。1 C 1221 12 C 2 2C解法 2:( 1)因為 Var(xt) lim(1k22kC2) 2,所以該序列為非平穩序列。2) ytxt xt 1t (C1) t 1 ,該序列均值、方差為常數,2E(yt) 0, Var ( yt ) 1 (C
8、1)2自相關系數只與時間間隔長度有關,與起始時間無關C11 1 (C 1)2 , k 0,k3.11 解:所以該差分序列為平穩序列。1 1.37382 -0.87362)| 2 | 0.31,2 1 0.81 , 21 1.41,模型平穩。1 0.62 0.53)| 2 | 0.31,2 1 0.61 , 21 1.21,模型可逆。1 0.45 0.2693i2 0.45 0.2693i4)| 2 | 0.41,2 1 0.91 , 21 1.71,模型不可逆。1 0.25692 -1.55695)| 1 | 0.71,模型平穩; 10.7| 1 | 0.61,模型可逆; 10.66)| 2
9、| 0.51,2 1 0.31 , 21 1.31,模型非平穩。1 0.41242-1.2124模型非平穩;1)| 2 | 1.21| 1 | 1.1 1 ,模型不可逆;1.13.12 解法 1: G0 1, G11G0 1 0.6 0.3 0.3 ,Gk1Gk 1k 1 k 11 G1 0.3 0.6 ,k 2所以該模型可以等價表示為:xttk0.3 0.6k t k 1 。 k0解法 2: (1 0.6B)xt (10.3B) t3.133.14G0xt(10.3B)(1220.6B 0.62 B2)t(1G00.3B 0.3*0.6B2 0.3*0.3*0.6j 1 tj11,Gj 0.
10、3* 0.6 j 1解: E (B)xt E(xt ) 12。證明:已知 11 , G1 1G0GjGj 1j0E3(B) t(10.52j10.62B3)t0.5)2E(xt ) 3Gj2j0GjGj kj0G2jj011 ,根據40.25ARMA(1,1) 模型 Green 函數的遞推公式得:1k 1G11,k 22( j 1)11j1Gj1 Gj kj0511 12412124111 125141260.27GjGj k 1j0,kGj2j0G2jj03.15 ( 1)成立( 2)成立( 3)成立4)不成立3.16 解:(1) xt 10 0.3*(xt 1 10) t, xT 9.6x
11、?T (1)E(xt 1)E100.3* (xT10)T 1 9.88x?T(2)E(xt 2 )E100.3*(xT 110)T 2 9.964x?T(3)E(xt 3)E100.3*(xT 210)T 3 9.9892已知 AR(1)模型的 Green 函數為: Gj1j , j 1,2,eT (3)G0 t 3G1 t 2G2 t 1t321 t 2 1 t 1Var eT (3) (1 0.32 0.092 ) * 9 9.8829xt 3 的95的置信區間: 9.9892-1.96* 9.8829 ,9.98921.96* 9.8829 即3.8275,16.15092) T 1 x
12、T 1 x?T (1) 10.5 9.88 0.62x?T 1(1) E(xt 2) 0.3* 0.62 9.964 10.15x?T 1(2) E(xt 3) 0.09* 0.62 9.9892 10.045VareT 2(2) (1 0.32)* 9 9.81xt 3的95的置信區間: 10.045-1.96 9.81 ,10.0451.96* 9.81 即3.9061,16.1839。3.17 ( 1)平穩非白噪聲序列( 2) AR(1)(3) 5 年預測結果如下:3.18 ( 1)平穩非白噪聲序列 ( 2) AR(1)(3) 5年預測結果如下:1)平穩非白噪聲序列2) MA(1)下一年
13、 95%的置信區間為( 80.41,90.96)3.19(3)3.20 ( 1)平穩非白噪聲序列 (2)ARMA(1,3)序列 (3)擬合及 5 年期預測圖如下:第四章習題答案4.1 解:x?T 14(xTxT 1xT 2xT 3)15551x?T 2(x?T 1xTxT 1xT 2)xTxT 1xT 2xT 34 T 116 T16 T 116 T 216 所5 以,在 x?T 2中xT與xT 1前面的系數均為 16。4.2 解 由x%txt (1)x%t 1x%t 1xt 1 (1)x%t代入數據得x%t 5.25 5(1 )5.26 5.5 (1 )x%t解得x%t 5.10.4(舍去1
14、的情況 )4.3 解:( 1)11x?21(x20 x19 x18 x17 +x16) (13+11+10+10+12)=11.25511x?22( x?21+ x20 x19 x18 x17) ( 11.2+13+11+10+10)=11.04552)利用 x%t0.4xt 0.6x%t 1且初始值 x%0 x1 進行迭代計算即可。 另外,x?22x?21x%20 該題詳見 Excel 。3)在移動平均法下11.79277X?21 1 X2055i 16XiX?22 1 X?21511X 2055i19Xi1711 a55在指數平滑法中 :25x?22x?21x%200.4 x20 0.6x
15、%19b 0.4b a 0.4 6 0.16。254.4 解:根據指數平滑的定義有(1)式成立,(1)式等號兩邊同乘 (1) 有( 2 )式成立x%t t(t 1) (1 )(t2) (1)2(t2) (1 )3 L(1)(1 )x%tt (1 )(t1) (1)2(t2) (1 )3 L(2)1)- (2)得x%t t (1 ) (1 )2 L x%t t (1 ) (1 )2 L1t則ltim x%tt ltimt11。holt 兩參4.5 該序列為顯著的線性遞增序列,利用本章的知識點,可以使用線性方程或者 數指數平滑法進行趨勢擬合和預測,答案不唯一,具體結果略。4.6 該序列為顯著的非線
16、性遞增序列, 可以擬合二次型曲線、 指數型曲線或其他曲線, 也能 使用 holt 兩參數指數平滑法進行趨勢擬合和預測,答案不唯一,具體結果略。4.7 本例在混合模型結構, 季節指數求法, 趨勢擬合方法等處均有多種可選方案, 如下做法 僅是可選方法之一,結果僅供參考(1)該序列有顯著趨勢和周期效應,時序圖如下( 2)該序列周期振幅幾乎不隨著趨勢遞增而變化,所以嘗試使用加法模型擬合該序列: xt Tt St It 。(注:如果用乘法模型也可以)首先求季節指數(沒有消除趨勢,并不是最精確的季節指數)0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.1165
17、661.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179 消除季節影響, 得序列 yt xt Stx ,使用線性模型擬合該序列趨勢影響 (方法不唯一)Tt 97.70 1.79268t , t 1,2,3,L注:該趨勢模型截距無意義,主要是斜率有意義,反映了長期遞增速率)得到殘差序列 It xt St x yt Tt ,殘差序列基本無顯著趨勢和周期殘留。預測1971年奶牛的月度產量序列為 x)t T)t S?mod t 12 x,t 109,110,L ,120得到771.5021739.517 829.4208 849.5468914.00
18、62 889.7989839.9249 800.4953764.9547 772.0807748.4289 787.33273)該序列使用 x11 方法得到的趨勢擬合為趨勢擬合圖為4.8 這是一個有著曲線趨勢 , 但是有沒有固定周期效應的序列 , 所以可以在快速預測程序中 用曲線擬合( stepar )或曲線指數平滑( expo )進行預測( trend=3 )。具體預測值略。第五章習題5.1 擬合差分平穩序列 , 即隨機游走模型 xt =xt -1+ t , 估計下一天的收盤價為 2895.2 擬合模型不唯一,答案僅供參考。 擬合 ARIMA(1,1,0) 模型,五年預測值為:5.3 ARI
19、MA (1,1,0) (1,1,0)125.4 (1)AR(1), (2) 有異方差性。最終擬合的模型為xt =7.472+ tt =-0.5595 t-1+vtvt= ht etht =11.9719+0.4127vt2-15.5(1) 非平穩(2)取對數消除方差非齊,對數序列一節差分后,擬合疏系數模型AR(1,3) 所以擬合模型為ln xARIMA (1,3),1,0)3)預測結果如下:5.6 原序列方差非齊,差分序列方差非齊,對數變換后,差分序列方差齊性。第六章習題6.1 單位根檢驗原理略。例 2.1 原序列不平穩,一階差分后平穩例 2.2 原序列不平穩,一階與 12步差分后平穩例 2.
20、3 原序列帶漂移項平穩例 2.4 原序列不帶漂移項平穩例 2.5 原序列帶漂移項平穩 ( =0.06) ,或者顯著的趨勢平穩。6.2 ( 1)兩序列均為帶漂移項平穩 (2)谷物產量為帶常數均值的純隨機序列,降雨量可以擬合AR( 2)疏系數模型。(3)兩者之間具有協整關系( 4) 谷物產量 t 23.5521 0.775549降雨量 t6.3 ( 1)掠食者和被掠食者數量都呈現出顯著的周期特征,兩個序列均為非平穩序列。但 是掠食者和被掠食者延遲 2階序列具有協整關系。即 yt - xt-2 為平穩序列。(2)被掠食者擬合乘積模型: ARIMA (0,1,0) (1,1,0)5 , 模型口徑為 :
21、15xt = 5 t5 t 1+0.92874B5 t 擬合掠食者的序列為:yt =2.9619+0.283994 xt-2 + t-0.47988 t-1未來一周的被掠食者預測序列為:Forecasts for variable xObsForecastStd Error95% Confidence Limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110
22、.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-176.5965303.72085580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.5955-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者預測值為:Forecasts for variable yObsForecastStd Error95% Confidence
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