1、外接球內(nèi)切球問(wèn)題答案1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié) 合,通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題.1.1球與正方體如圖L所示，正方悴設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,兄O為棱的中點(diǎn)，0為球的球心.常見(jiàn)組合方式有三類：一是球 為正方體的內(nèi)切球，載面圖為正方形EFGH和其內(nèi)切畫，則 |OJ| = r=彳；二是與正方體各棱相切的球，截而圖為正方形EFGV和 其外接圓，則pq=R=#a：三杲球?yàn)檎襟w的外按球，裁面圖汽 長(zhǎng)方形ACA.C,和其外接圓，則AO =Ryga.通過(guò)這三種類型可以2發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)

2、題，常用工具是截面圖，即根抿組含的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面， 通過(guò)兩個(gè)截面圖的位輩關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題例1棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-C的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，弘分別是棱加pDq4 /8的中點(diǎn)，則宜線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（)A. B bc-1+T 7解*由題意可知，域?yàn)檎襟w的外接球平面ADD,截面所得圓面的半徑R = ! = . v EF c AADDV :.直線EF被球0截得的線段為球的輕面國(guó)的直徑2R =龐.2 21.21與收方體長(zhǎng)方體各頂空可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球一但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)故方體的棱長(zhǎng)為dg 其體對(duì)角線為

3、人當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑2 2W 2在長(zhǎng)、寬、高分別為2, 2,4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為（）A.B.4nCD外接球內(nèi)切球問(wèn)題答案網(wǎng) 利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析在小球移動(dòng)的過(guò)程中.進(jìn)過(guò)部分的幾何體因半徑為1的小球恰好為按長(zhǎng)為2的正 方體的內(nèi)切球，故小球經(jīng)過(guò)空間由上往下看為，半個(gè)小球、高為2的圓柱和半個(gè)小球，三部分的體積為， xl3x-x2+7FX 12x2=7T.3 231.3球與正棱柱=莘,借助直角三角形趙的勾股定理，可球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多下而以正三棱

4、柱 為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱枉 的高為枚底面邊長(zhǎng)為a,如圖2所示，Q和Q】分別為 上下底面的中心根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高的中點(diǎn)0,例3正四棱柱AECD AJCg的各頂點(diǎn)都在半徑為A的球面上，則正四棱柱的側(cè)面枳有最值為.解：如圖3,載面圖為長(zhǎng)方形ACA.C,和其外接區(qū)I球心為碼餉中點(diǎn)6AC = sfLi,AE =afOE =2則R = 0A.設(shè)正四棱枉的側(cè)棱長(zhǎng)為底而邊長(zhǎng)為，則.4, = 2(?+込則正四棱柱的側(cè)面積：S = 4ab=y/2 2a /3；fflJ棱PA與底面ABC所成的角為6 0 側(cè)該三棱誰(shuí)外接球的體積為（）解：如圖7所示.過(guò)P點(diǎn)作底面肋C的垂線，垂

5、定為6 設(shè)川為外接球的球心，連AH.AO.因3r又購(gòu)。為皐角三角形，ZMO = 60，以=:若，故人0 =旦2AH = PH=b.A爐=AO1 + 0H2.4球與特殊的檳隹球與一些特殊的技錐進(jìn)行組合，一定寰抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合 利用截面法、補(bǔ)形法等逬行求解.例如.四個(gè)面都迅直角三角形的三技錐, 可利甲直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位萱.如圖8,三祓錐 S-ABC,滿足 站丄面ABC,AB丄BC,取SC的中點(diǎn)為6由直角三角形的性質(zhì)可得8 OA = OS=OB = OC所以O(shè)點(diǎn)為三棱錐S-ABC的外例7矩形ABCD中，AB = 4,BC=3,沿將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D

6、 則四面體A.企12B 125. C. 125. D. 125.963ABCD的外接球的體枳足（）;-a=t=5, r = 43= 125tt.236解由題意分析可知，四面體腫CD的外接球的球心落在蟲(chóng)C的中呂 此時(shí)満足oaod = ob = oc93 球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問(wèn)題需寧握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化平面問(wèn)題求解.外接球內(nèi)切球問(wèn)題答案例7在半徑為R的球內(nèi)放:入大小相等的4個(gè)，卜球，則，卜球半徑r的最大值為()B：要使得小球的半徑最大，需使得4個(gè)小球的球心為一個(gè)正四

7、面體的 四個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示，此時(shí)正四面體A - BCD的外接球的球心為0,即為半徑為R的域的球心，則=幾又因。為AO】的四分自 故4AO=(R-r)-t在RtLABOx中，AB = 2幾= | J3r,:. (R_ r) x|2 = (2r)2 - (| 陰,.廠=(不一 2)R圖o4球與幾何休的各條技相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題,關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解如與正四面體各棱都相切的球的半從為相對(duì)棱的一4例8把一個(gè)皮球放入如圖1 0所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨衆(zhòng)內(nèi)，使皮球的表面與S根鐵絲都有接貝女點(diǎn)，則皮

8、球的半徑為 ( )A. 10 石 cmB. 10cmC. 10 2 cmD. 30cm9 /8外接球內(nèi)切球問(wèn)題答案如圖11所示，由題意球心在AP上，域心為0,過(guò)0作BP的垂線ON垂足為N, ON=R, OM=R.因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為20,所以AM=10, BP=20,BM=10, AB=1072?設(shè)ZBFH二 Q,R _V2OP = 2在 RtL BPM 中，BP2 = BM2+PM2,所以 PM = 10/5 在總Apam 中，PM2 = AM2 +AP2 9 所以 在膠ABP中，= 在R5中，$心筍笳所以所以O(shè)P=J在&40AM 中，OM2 = AO2 + AM2，所以，疋= （10磁一農(nóng)刃2+

9、100,解得，A = 10或30（舍），所從 RS檢選B.綜合上面的四種類型，解決與球的外切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通 過(guò)作截面來(lái)解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作；把一個(gè)多 面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的待點(diǎn)，即球心到多 面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮好空間鴉象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問(wèn)題即可得解.如果 是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體竽可以借助結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確-1.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)丈圓上，則該 正三棱錐的體積是（）A.坯B過(guò)C.逅D.血答案B434122.直三棱柱ABC-AC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC=AA1 = 2, ZBAC = 12CFM此球的 表面積等于。解:在MjBC中AB = AC=2, ZaiC = 120,可得BC = 25.由正弦定連，可得 &LBC外接圓半徑】=2,設(shè)此圓圓心為球心為O、在RTAOBCf中,易得球半弦 =館，故此球的表為4爐滬=2（k