1、精品文檔 第十章曲線積分與曲面積分 0 1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 計(jì)算下列曲線積分： 1 （x? +y）ds，其中L是以0 （ 0，0），A（ 1，0），B（ 0，1）為頂點(diǎn)三角形邊界. 2 Lxds，其中L為直線y=x與拋物線y=x2所圍區(qū)域的邊界. X2 十2； 3 e y ds，其中L為半圓0乞y乞詔- x的邊界。 L（x y）ds，其中L為曲線弧x二t,y二t3 （0沁叮）。 2 2 5 (x + y)ds，其中L為雙紐線P =a cos2申右面一瓣。 6 L ,2y2 z2ds，其中L為圓周 7 求曲線x二a, y二at, z二空t叮,a 0)的質(zhì)量，設(shè)其線密度為 2 精品文檔 0 2對(duì)坐

2、標(biāo)的曲線積分 2 2 2 1計(jì)算（x +y ）dx，其中L為拋物線y=x上從點(diǎn)（0, 0）到點(diǎn)（1, 1）的一段弧。 2計(jì)算Lxdy，其中L是由坐標(biāo)軸及直線 |=1所構(gòu)成的三角形周界，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方 向。 3計(jì)算j 一xcosydx + ysinxdy，其中L為由點(diǎn)A（0，0）到點(diǎn)B（2兀，4兀）的線段。 2 2 x y 4計(jì)算（x + y）dx +（x -y）dy，其中L為依逆時(shí)針方向繞橢圓 + = 1 一周的路徑。 La b 5計(jì)算 dx +dy，其中 L 為以 A( 1, 0), B( 0, M|+|y| 1), C (-1 , 0), D ( 0, -1 ）為頂點(diǎn)的 正方形邊界，取正向

3、. f 到橢圓中心的 A （ a ， 0）移 6在橢圓x =acost, y =bsint上每一點(diǎn)M都有作用力F，大小等于從點(diǎn) M 距離，而方向朝著橢圓中心，求質(zhì)點(diǎn)P沿橢圓位于第一象限中的弧從點(diǎn) 動(dòng)到點(diǎn)B（ 0，b ）時(shí)，力F所作的功。 03格林公式 XX 1 計(jì)算 L(e sin y+8y)dx + (e cosy 7x)dy，其中 L是從 o (0, 0)到 A (6, 0)的上 半圓周。 2 計(jì)算 I =(exsiny b(x + y)dx+ (ex cosy ax)dy，其中 a,b 為正常數(shù)，L 為從 A(2a,0)沿曲線 y = -.2ax - x2 到點(diǎn) O(0,0)的弧。 3設(shè)

4、L為連接A（ 1，2），B（ 3，4）的某曲線弧，弧 L與其上方的直線 AB所圍成的面積 為 m,試計(jì)算：I 二 L（2xey 1）dx （x2ey x）dy 的值。 4計(jì)算廠xd今，其中L為以點(diǎn)（1, 0）為中心，R為半徑的圓周（R . 1），取逆時(shí)針 L 4x2 +y2 方向。 K 5設(shè)位于（0, 1）的質(zhì)點(diǎn)A，對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為 （K0為常數(shù)），r為質(zhì)點(diǎn)A與M r 之間的距離，質(zhì)點(diǎn) M沿曲線y-X2自點(diǎn)B（ 2，0）運(yùn)動(dòng)到0（ 0，0）求質(zhì)點(diǎn)A 對(duì)點(diǎn)M的引力所做的功。 6利用曲線積分計(jì)算星形線 x =acos3t, y =asin3t所圍圖形的面積。 7驗(yàn)證下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計(jì)

5、算其值。 x f （y）連續(xù)，曲線Lad是由圓弧 -1），D（ 1，2）。 | = （e （cosydx sin ydy），其中 L 是從 A（ 0,0）到 B（ a,b）的任意弧段。 I f (y) cosx _2ydx f(y)sinx_2xdy，其中 L AD Ab 及折線 BCD組成，其中 A（ 0，1）, B（ -1，1），C（ 0, 8 設(shè)f （xy）關(guān)于中間變量u二xy具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)， 證明：沿任意分段光滑閉曲線 L曲 線積分 I = l f (xy)(ydx xdy) = 0 9求下列微分式的原函數(shù)： (x2 2xy-y2)dx (x2 -2xy _ y2)dy 22 (2

6、xcosy_y sinx)dx (2ycosx_x sin y)dy (3y -x)dx (y -3x)dy (x + y)3 10設(shè)f(x, y)在區(qū)域門5 /R2內(nèi)可微，AdyJ, B(X2,y2)是內(nèi)兩點(diǎn)，L是以A為起點(diǎn) B為終點(diǎn)的逐段光滑的有向曲線。 f訐 將.d dy改寫成向量形式； L ;:x;:y 設(shè)A(x“ yj, B(x2, y2)都在第一象限，計(jì)算 x xdy - ydx 0 4對(duì)面積的曲面積分 4x y z 1計(jì)算 (2x y z)dS，其中匕為平面1在第一卦限中的部分。 V 3234 2計(jì)算I i(x y z)dS，其中Z為上半球面z = a2 - x2 - y2 3計(jì)

7、算n(x2 y2)dS，其中二為球面x2 y2 z2 = a2 4計(jì)算 n(x2 y2)dS，其中i為曲面z= x2 y2與平面z = 1所圍成的立體的表面。 y 5設(shè)3為錐面z二,x2 y2在柱體x2 y2 2x內(nèi)的部分，求曲面積分 .zdS 0 5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 1設(shè)匕是平面x y z=-3被三坐標(biāo)平面截下的部分的上側(cè)，求： ！xdydz h(x y)dzdx！!yzdxdy 2 2 2設(shè)匕是平面z = 2 (x y - 4)的下側(cè)，求 XXS iisin xdydz cosydzdx arctan?dxdy r2 3設(shè)匕是半球面 z1-x2-y2 的上側(cè)，求JJ yzdzdx 4 把！

8、 iP(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy 化為對(duì)面積的曲面積分，其中3 y 為上半球面z =1 - x2 y2的上側(cè)。 0 6高斯公式和散度 利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分(1 5) 1 i ix2dydz y2dzdx zdxdy，其中 Z 是 z = 1 -xy2 4 z = . x2 y2 所圍立體的 外表面。 2 ii(xcos= hycos ： zcos )dS，其中三是由z = x2 y2,z = 4所圍立體的外表面, 2； COS，COS :,cos 是匕外法線方向的方向余弦。 3 I ix3dydz y2dzdx zdxdy，其

9、中匕是x2 y2 = 4,1,2所圍立體的內(nèi)表面。 y 2 2 2 4 .i.iyzdzdx 2dxdy，其中二是球面x y z - 4的外側(cè)在z_0的部分。 y 2 z - - a2 - x2 -y2 的上側(cè)。 5 axdydz+(a+z) dxdy，其中為下半球面 Z(x2y2z2)2 ,匕為空間立體i 的全表面, 匕分片光滑，n為其外法線向量, V為門 的體積，求證：VUdS J J n 7求F二xy,y2,3穿過曲面z=2-x - y (x y - 2)通量，曲面法向量向上。 8求下列向量場(chǎng)F的散度: F = xy, arctanexy, In(1 yz) -fc F =xy, yz,x 0 7斯托克斯公式和旋度 1 L 是閉折線 ABCA，求 zdx + xdy + ydz，其中 A(1,0,0), B(0,1,0),C (0,0,1)。 嚴(yán)2 2 L為曲線 0 FX +y ,從z軸的正方向看L沿順時(shí)針方向，求 z = 1 ： L(y _z)dx (z _ x)dy (x _ y)dz L為曲線 從y軸的正方向看L沿逆時(shí)針方向，求 2 2 ;x ydx yz dy zxdz L為曲線 5求