1、 第八章第八章 空間問題空間問題 8-4 8-4 空間球對稱問題空間球對稱問題 8-3 8-3 空空間軸對稱問題間軸對稱問題 8-2 8-2 直角坐標下的基本方程直角坐標下的基本方程 8-1 8-1 概概 述述 1 本章首先給出空間問題直角坐標下的平衡方程、幾何 方程和物理方程。針對空間問題的解析解一般只能在特殊 邊界條件下才可以得到，我們著重討論空間軸對稱問題和 空間球對稱問題。 8-1 8-1 概概 述述 球對稱問題 軸對稱問題 x z y x z y p 2 8-2 8-2 直角坐標下的基本方程直角坐標下的基本方程 一 平衡微分方程 在物體內任意一點 p，取圖 示微小平行六面體。微小平行

2、六 面體各面上的應力分量如圖所示。 若以連接六面體前后兩面中 心的直線為ab，則由 得 0 ab m 22 dy dxdz dy dxdzdy y yz yz yz 0 22 dz dxdy dz dxdydz z zy zy zy 化簡并略去高階微量，得 3 yxxy xzzx zyyz 同理可得 這只是又一次證明了 剪應力的互等關系。 由 0, 0, 0zyx 立出方程，經約簡后得 這就是空間直角坐標下的 平衡微分方程。 0 0 0 z yxz y xzy x zyx yz xzz xyzyy zx yx x 二 幾何方程 在空間問題中，形變 分量與位移分量應當滿足 下列 6 個幾何方程

3、z w y v x u z y x y u x v x w z u z v y w xy zx yz 其中的第一式、第二式和 第六式已在平面問題中導 出，其余三式可用相同的 方法導出。 4 三 物理方程 對于各向同性體，形 變分量與應力分量之間的 關系如下： yxzz xzyy zyxx e e e 1 1 1 xyxy zxzx yzyz g g g 1 1 1 這就是空間問題的物 理方程。 將應力分量用應變分 量表示，物理方程又可表 示為： zz yy xx ge ge ge 2 2 2 xyxy zxzx yzyz g g g 其中： zyx e 211 e 5 四 相容方程 6 將幾何

4、方程第二式左邊對z的二階導數與第三式左邊對 y的二階導數相加，得 y w z v zyyz w zy v yz z y 2 2 3 2 3 22 2 將幾何方程第四式代入，得 zyyz yz z y 2 2 2 2 （a） 同理 yxxy xzzx xyy x zxxz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 （b） 7 將幾何方程中的后三式分別對x、y、z求導，得 zy u zx v z yx w yz u y xz v xy w x xy zx yz 22 22 22 并由此而得 zyx u zy zy u xzyxx x xy zx yz 22 2 22 2 8 yxyxzz xzxzy

5、y zzx yzxy yyzxy zx 2 2 2 2 同理 （d） 方程(a)、(b)、(c)、(d)稱為變形協調條件，也稱相容方 程。 將物理方程代入上述相容方程，并利用平衡微分方程 簡化后，得用應力分量表示的相容方程： 即 zyzyxx x xy zx yz 2 2（c） 9 稱其為密切爾相容方程。 y y x x z z z x x z z y y y z z y y x x x z y x 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x x y yx x z z x xz z y y z zy xy zx yz 11 11 11 2 2 2

6、 2 2 2 在空間問題中，若彈性體的幾何形狀、約束情況 以及所受的外來因素，都對稱于某一軸（通過這個軸 的任一平面都是對稱面），則所有的應力、形變和位 移也對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。 根據軸對稱的特點，應采用圓柱坐標 表示。 若取對稱軸為 z 軸，則軸對稱問題的應力分量、形變 分量和位移分量都將只是 r 和 z 的函數，而與 坐標 無關。 zr, 軸對稱問題的彈性體的形狀一般為圓柱體或半空 間體。 8-3 8-3 空空間軸對稱問題間軸對稱問題 10 一 平衡微分方程 取圖示微元體。由于軸對 稱，在微元體的兩個圓柱面上， 只有正應力和的軸向剪應力； 在兩個水平面上只有正應力和

7、徑向剪應力；在兩個垂直面上 只有環向正應力，圖示。 根據連續性假設，微元體 的正面相對負面其應力分量都 有微小增量。注意：此時環向 正應力的增量為零。 由徑向和軸向平衡，并利 用 ，經約簡 并略去高階微量，得： 1 2 cos, 22 sin ddd 11 0 z rrz rzrzz 0 r rzrr k rzr 這就是軸對稱問題的 柱坐標平衡微分方程。 二 幾何方程 通過與平面問題及極 坐標中同樣的分析，可見， 由徑向位移引起的形變分 量為： z u r u r u r zr rr r , 由軸向位移引起的形變分 量為： r w z w zrz , 由疊加原理，即得空 間軸對稱問題的幾何方程

8、： z w r u r u z r r r r w z ur zr 12 三 物理方程 由于圓柱坐標，是和 直角坐標一樣的正交坐標， 所以可直接根據虎克定律 得物理方程： rzz rz zrr e e e 1 1 1 zrzrzr eg 121 應力分量用形變分量 表示的物理方程： zz rr e e e e e e 211 211 211 zrzr e 12 其中： zr e 13 四 軸對稱問題的求解 將幾何方程代入應力 分量用應變分量表示的物 理方程，得彈性方程： z w e e r u e e r u e e z r r r r 11 11 11 r w z ue r zr 12 其中

9、： z w r u r u e rr 再將彈性方程代入平 衡微分方程，并記： 2 2 2 2 2 1 zrrr 得到 0 21 1 12 2 2 r r r k r u u r ee 0 21 1 12 2 zw z ee 這就是按位移求解空間軸 對稱問題所需要的基本微 分方程。 顯然，上述基本微分 方程中的位移分量是坐標 r、z 的函數，不可能直接 求解，為此介紹下列方法： 14 五 位移勢函數 為簡單起見，不計體 力。位移分量的基本微分 方程簡化為： 0 21 1 2 2 r u u r e r r 0 21 1 2 w z e 現在假設位移是有勢 的，把位移分量用位移勢 函數 表示為：z

10、r, zg w rg u r 2 1 , 2 1 從而有 2 2 1 gz w r u r u e rr 2 2 2 1 2 1 zgz e rgr e 2 2 2 2 1 rgr u u r r 22 2 1 zg w 0, 0 22 zr c 2 代入不計體力的基本微 分方程，得 即 15 0 2 取 ，則 。即 0c 為調和函數，由位移勢函 數求應力分量的表達式為： rrr r 1 , 2 2 zrz rzz 2 2 2 , 這樣，對于一個軸對 稱問題，如果找到適當的 調和函數 ，使得由此 給出的位移分量和應力分 量能夠滿足邊界條件，就 得到該問題的正確解答。 zr, 為求解軸對稱問題，

11、 拉甫引用一個位移函數 zr, 注：并不是所有問題中的 位移函數都是有勢的。若 位移勢函數有勢，則體積 應變 。 ce 2 六 拉甫位移函數 令 zrg ur 2 2 1 2 2 2 12 2 1 zg w 其中 2 2 2 2 2 1 zrrr 16 將上式代入不計體力 位移分量基本微分方程， 可見： 0 4 rrz rz r 1 2 2 2 2 即 是重調和函數，稱為 拉甫位移函數。由拉甫位 移函數求應力分量的表達 式為： 2 2 2 2 2 2 1 2 zr zz zr z 可見，對于一個軸 對稱問題，只須找到恰 當的重調和的拉甫位移 函數 ，使得該位 移函數給出的位移分量 和應力分量能

12、夠滿足邊 界條件，就得到該問題 的正確解答。 zr, 17 七 舉例：半空間體在邊界上受法向集中力 設有半空間體，體力不計，在其邊界上受有法向集 中力，如圖所示。試求其應力與位移。 解：取坐標系如圖。通過量綱 分析，拉甫位移函數應是f乘 以r、z、等長度坐標的正一 次冪，試算后，設位移函數為 zzrzazraa zrzrara 22 2 22 21 21 ln ln 根據位移分量和應力分量與位移函數的關系： 2 2 2 2 )1 (2 2 1 , 2 1 zgzrg ur x z y p r z 18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )1 (,)2( 1 , zrzz rrzrz zr

13、z r 可以求得位移分量和應力分量 3 2 5 2 3 1 3 2 5 3 3 1 2 3 1 3 2 5 3 3 1 2 3 2 12 3 1 3)21 ( 3)21 ( , )( )21 ( , )( 13)21 ( , 2 43 2 , )(22 r ra r rz r r a r za r z r z a zrr a r za zrrr z a r zr r z a gr a r z rg a zrgr ra gr rza u zr z r r 19 邊界條件是 0)( 0)( 0,0 0,0 rzrz rzz (a) (b) 根據圣維南原理，有 0 0)d2(prr z (c) 邊界

14、條件(a)是滿足的。由邊界條件(b)得 0)21 ( 2 1 aar (d) 由條件(c)得 paa 21 214(e) 由(d)及(e)二式的聯立求解，得 pa p a 2 )21 ( , 2 2 1 20 將得出的a1及a2回代，得 5 2 5 3 2 3 2 2 2 pr3 , 2 3 2 )21 ( 3)21 ( 2 r z r pz zr r r z r p r zr zr r r p rzzrz r 2 2 2 )1 ( 2 2 )1 ( )21 ( 2 )1 ( r z er p zr r r rz er p ur 21 在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況 以及所受的外

15、來因素，都對稱于某一點（通過這一點的 任意平面都是對稱面），則所有的應力、形變和位移也 對稱于這一點。這種問題稱為空間球對稱問題。 根據球對稱的特點，應采用球坐標 表示。若 以彈性體的對稱點為坐標原點 ，則球對稱問題的應力 分量、形變分量和位移分量都將只是徑向坐標 r 的函數， 而與其余兩個坐標無關。 ,r o 顯然，球對稱問題只可能發生于空心或實心的圓球 體中。 8-4 8-4 空間球對稱問題空間球對稱問題 22 一 平衡微分方程 取微元體。用相距 的 兩個圓球面和兩兩互成 角 的兩對徑向平面，從彈性體 割取一個微小六面體。由于 球對稱，各面上只有正應力， 其應力情況如圖所示。 dr d 由

16、于對稱性，微元體只 有徑向體積力 。由徑向平 衡，并考慮到 ，再 略去高階微量，即得球對稱 問題的平衡微分方程： r k 22 sin dd 0 2 rr r k rdr d 23 二 幾何方程 由于對稱，只可能 發生徑向位移 ；又由 于對稱，只可能發生徑 向正應變 及切向正應 變 ，不可能發生坐標 方向的剪應變。球對稱 問題的幾何方程為： r u r t dr du r r r u r t 三 物理方程 球對稱問題的物理方 程可直接根據虎克定律得 來： trr e 2 1 rtt e 1 1 將應力用應變表示為： trr e 21 211 rtt e 211 24 25 四 位移法求解的基本

17、微分方程 將幾何方程代入物理方程，得彈性方程 r u dr due r u dr due rr t rr r 211 21 211 再代入平衡微分方程，得 0 22 211 1 22 2 rr rr ku rdr du rdr ude 這就是按位移求解球對稱問題時所需要用的基本微分方 程。 五 舉例：空心圓球受均布壓力 設有空心圓球，內半徑為a，外半徑為b，內壓為qa， 外壓為qb，體力不計，試求其應力及位移。 其解為 得應力分量 0 22 22 2 r rr u rdr du rdr ud 解： 由于體力不計，球對稱問題的微分方程簡化為 2 r b aru r 3 3 121 1 2 21

18、r be a e r be a e t r x z y 26 將邊界條件 bbrraarr qq 代入上式解得 1 2 ,21 33 33 33 33 abe qqba b abe qbqa a baba 于是得問題的徑向位移 應力表達式 bar q b a r a q a b r b e r u 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 21 2 1 1 21 21 batbar q b a r a q a b r b q b a r a q a b r b 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 1 1 2 , 1 1 1 1 27 習題8.1 設有任意形狀的等截面桿，密度為 上端懸掛。 下端自由，如圖所示。試證明應力分量 00000 yzyzxyzyx z， 能滿足所有一切條件。 z y 解： 已知應力分量為 000 00 yzyzxy zyx z ， ， 體力分量為 zyx, 0 28 一 檢驗平衡微分方程 顯然滿足。 0 0 0 z zyx y zyx x zyx z yz xz zyyxy zx yx x 二. 檢驗相容性 因為體力為常量，相容方程為： 29 01, 01 01, 01 01, 01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xyz zxy yzx xyz zxy yzx 將應力