1、臨沂大學理學院 畢業論文（設計） 反證法在分析學中的應用反證法在分析學中的應用 專 業數學與應用數學數學與應用數學 系（院） 理學院理學院 摘 要 “反證法”是數學證明中的一種重要方法，運用起來簡明間接，是一種重 要的數學思想方法.本文主要介紹了“反證法”的邏輯依據和步驟.列舉了一些在 分析學中比較適合用反證法解決的問題.同時指出了如何正確的運用反證法. 關鍵字：數學分析 反證法 應用 abstract reductio ad absurdum is an important method of mathematical proof, use condensed indirect, is an

2、 important mathematical thinking. this paper describes the rationale of the reductio ad absurdum and steps. examples reductio ad absurdum more suitable for use in the analysis of learning to solve problems.also pointed out how to properly use reductio ad absurdum key words: mathematical analysis, re

3、ductio ad absurdum, the application 目 錄 1 1，引言，引言 .1 1 2 2 ，反證法的原理和步驟，反證法的原理和步驟 .1 1 3 3，反證法的應用，反證法的應用 .1 1 3.1 應用類型一.2 3.2 應用類型二.3 3.3 應用類型三.5 3.4 應用類型四.8 3.5 應用類型五.9 4.4.結束語結束語 .10 參考文獻參考文獻 .1212 致謝致謝 .1313 1 引言 反證法是分析學中經常要用到的解題方法之一.無論是在定理證明中還是 在解題中，經常都要用到反證法.并且相對對一些比較抽象或者是用直接證 法比較困難的命題而言，反證法具有一定的

4、優勢，效果非常明顯.此外，反 證法作為一種間接證明的方法在分析學中應用非常廣泛.首先我們來了解一 下反證法. 2，反證法的原理和步驟 反證法就是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類， 即肯定題設二否定結論，通過推理導出矛盾，進而證明命題. 反證法證明命題的具體步驟：（1）反設，即作出與求證結論相反的假設； （2）由反設與題設條件出發，推出與公理，定義，已知定理或題設相矛盾的結 果.（3）存真，即由所得矛盾證明了反設不成立，從而肯定了原結論正確. 3，反證法的應用 反證法運用巧妙，適用范圍廣泛。一般說來，能用直接證明的命題，其證明 過程都可以改寫成反證法的形式.但通常我們只對那

5、些用直接證法難以下手的問 題轉而使用反證法.而如何判斷命題“若a則b“有沒有直接證明的證明依據，則 是數學分析中是否建立了關于b或不b的有關理論而定.若建立了關于b的有關理 論，則宜用直接證法證明，若沒有建立關于b的有關理論，而建立了關于不b的 有關理論，則用反證法. 經過觀察，以下幾種命題類型用反證法證明比較合適. 3.1當命題的結論中帶有“函數f(x)f(x) 某個特定的常數”時，適合用 反證法證明. 例例 1 1 設f為閉區間上的連續函數，且f(a)f(b)0,則,使得ba,ba, f（）=0. 證法證法1 1 不妨設f（a）0,f(b) 0. 假設f(x).現將兩等分，若f()0,則取

6、，bax, 0ba, 2 ba 2 1 ba b =a;若f()0，則取，=b. 此時，f（）0,f（）0. 1 a 2 ba 2 1 ba a 1 b 1 a 1 b 再將兩等分，若f()0，則取=，=；若 11,b a 2 11 ba 2 a 1 a 2 b 2 11 ba f（）0,則取，=，此時f（）0,f（）0,如此 2 11 ba 2 11 2 ba a 2 b 1 b 2 a 2 b 下去，得一遞降閉區間套： ，ba, 11,b a 22,b a nn ba , =0（n+），f（）0,f（）0.根據實數連續 nn ab n ab 2 n a n b 性命題（三）（閉區間套原理）

7、知，顯然，= 1 0 , n nn baxba, lim n n a =. 0 x lim n n b 由f連續知，0f（）=f（）=f（）0.所以有f（）lim n n a 0 x lim n n b 0 x =0，又f（a）0,f(b) 0，故a,b, ,這與假設相矛盾.因此， 0 x),( 0 bax 必有，使得f（）=0.ba, 證法證法2 2 假設f(x),由f連續知，0，s.t.f在bax, 0 x 上嚴格同號，則開區間族baxx xx , q=baxxx xx , 為上的一個開區間覆蓋，根據實數連續性命題（四）（的緊致性）知ba,ba, 存在有根的子覆蓋q =。不失一般性，設 1

8、 kixx ii xixi ,.,2 , 1, ，如果，那么f與f（a）嚴格同 11 11 , xx xxa 111 , 1 xxba xba, 號，從而f(a)f(b) 0，這與題設f(a)f(b)0相矛盾，因此， ，從而，不妨設. 11 11 , xx xxbbax i x , 1 22 22 , xxxi xxx i 由于，所以f在與 221 2211 , xxx xxxx 11 11 , xx xx 上嚴格同號，依次得到一串開區間 22 22 , xx xx ，f在這些開區間上依次是同號的，并且kllixx ii xixi 其中,.,2 , 1, ，所以f（a）與f（b）嚴格同號，這與

9、f（a）與f（b）嚴 ll xlxl xxb, 1 格異號相矛盾. 3.2當命題的結論中帶有“極限零或某個特定的常數”時，在已知極 限存在或者易證出極限存在的前提下，宜于用反證法證明；反之， 則比較適合用直接法來證明. 例例 2 2 設收斂，f在中一致收斂，則=0. x a dxf , a xf x lim 證證 假設0，則.又因為f在 xf x lim 010 , 0. ., 0 xfts有 xf 上一致連續，故時，有, a xx當, 0 . 2 0 xfxf 于是，當時，有 = 11,x xx xf = xfxfxfxfxfxf 1111 2 0 0 2 0 并且f（x）與f(x )同號，

10、（否則， 1 矛盾）.如果 2 0 1011 xfxfxfxfxf與 , 0, 0 1 xfxf則 從而 . 2 0 xf 故， 22 00 1 1 1 1 x x x x x dxf 這就證明了，對于. ., 0, 0 2 11 0 tsxx . 2 0 1 1 x x x dxf 根據無窮積分的cauchy準則，發散，這與題設收斂矛盾. x a dxf x a dxf 3.3當命題的結論中帶有“不存在”或者類似的帶有否定意味的詞 時，反證法相對直接證證法比較好證. 例例 3 3 證明dirichlet函數 d（x）= qx qrx , 1 /, 0 在任何點處無極限. 證證 反設在點，則0

11、與1中至少有一個不為a.不妨設 axd xx rx )(lim 0 , 0 ，則存在a的開領域.于是，時，1a auau1 , 0 0, 0 xx當 d(x)u(a).當然d（x）.但因q在r中是稠密的，必有1 所以，,0 . . 0 xxtsqx， 1=d（）u(a), x 這與1u（a）相矛盾. 例例 4 4 設f在區間上可導，則導函數無第一類間斷點.ba, f 證法證法1 1 假設為的第一類間斷點，則與存在極限，因為f 0 x x f 0 xf 0 xf 在點處可導，故f在點處連續.根據導數極限定理，有 0 x 0 x =. 0 xf 0 xf 0 x f 0 xf 0 xf 所以，在點

12、處連續，這與為的間斷點相矛盾. f 0 x 0 x x f 證法證法2 2 假設為的第一類間斷點，則與存在極限，且 0 x x f 0 xf 0 xf （或）.不失一般性，設.對 00 xfxf 00 xfxf 00 xfxf 0 0，時， 00 xfxf 00 , 0 xxx當 ， 00 0 0 2 1 2 xfxfxfxf . 0000 1 0 2 1 2 1 xfxfxfxfxfxf 任取，則.在中無，s.t. 001 ,xxx 001 2 1 xfxfxf 01,x x ，這與darboux定理（導函數介值定理）的結果相矛 00 2 1 xfxff 盾. 例例 5 5 不存在函數f：r

13、r，在所有無理點不連續，而在所有有理點連續. 證法證法1 1 假設存在函數f：rr在所有無理點不連續，而在所有有理點連續. 令 . n xwxfrxe fn 1 的振幅在 顯然，為閉集且為內點。另一方面，設可數集q= n eqren/ q=,則獨點集也是無內點的閉集.于是，,.,. 2, 1n rrr n r r=q. 11 / n n n n erqr 根據baire定理1.3.6知，r為內點，這與r中任一點都為內點相矛盾. 證法證法2 2 假設存在函數f：rr在所有無理點不連續，而在所有有理點連續. 設q=,取，因f在處連續，故,.,. 2, 1n rrr 1 * 1 / rqr * 1

14、r ，2，且有 1 * 11 * 111 ,. ., 0rrrts 2 1 1 . 1 * 11 * 1 * 1 , 2 1 rrxrfxf 再取. *1211 * 11 * 1 * 2 ,rrrqrrr 由f在處連續知，s.t. * 2 r0 2 , 2 21 * 11 * 12 * 22 * 2 * 121 2 1 2 ,rrrrrrr 且有 . 2 * 22 * 2 2 * 2 , 2 1 rrxrfxf 如此下去，可取 * 1 * 111 * 11 * 1 * ,.,.,/, nnnnnnn rrrrqrrr 再由f在處連續知，s.t. * n r0 n nnnnnn rrrrrr *

15、 1 * 1,1 ,.,., , 2 1 2 , 1 * 11 * 1 n nnnnn rr 且有 . nnnn n n rrxrfxf * , 2 1 根據閉區間套原理知，.易見，點為無理點，且 1 * 01 , n nnnn rrx 0 x ，即f在無理點處連續，這與假設矛盾. 0 0 xwf 0 x 例例 6 6 設m,n 0，證明+mx+n=0不存在實數根. 3 x 例例 7 7 方程-3x+m=0（m為常數）在上不可能存兩個不同的根. 3 x 1 , 0 這兩個例子都是需要證明的命題中出現了否定形式不存在的情況.因為在分析 學的一些內容里，例如積分中值定理、 零點定理和微分基本定理等

16、大部分都是 以至少存在一點的肯定形式出現的，所以要論證這類以否定形式出現的問題沒 有正面的依據來直接證明.而當作出反面假設后，則可將論證展開，因此使用反 證法比較適合這類題型. 3.4，當證明的命題為“函數的有界性”時，適合用反證法. 例例 8 8 函數f（x）在閉區間上連續，則f在上有界.ba,ba, 設s=.由分析可知，s為非空有上界數集，于是baxxafx,上有界，在 由確界原理，存在=sup s.現用反證法證明=b. 若b，由連續函數的局部有界性，f（x）在（）內有0 0 00, 界，即相矛盾，所以=b.sup, 00 而這與使sxx 再證函數f在上有界.因為f在點b連續，于是，f在（

17、b-上有ba,0b, 界；再由b=sups，可知f在中有界，于是f在上有界. ba,ba, 例例 9 9 用區間套定理證明閉區間上連續函數的有界性定理.nm, 例例 1010 證明有界閉區域d上的二元函數z=f必有界. yx, 以上兩個例子中，第一個限定要用區間套定理證明，第二個是第一個的推廣， 在此意義下，若直接論證，構造可使論證展開的區間套極為困難，而其否定 陳述：函數無界，則至少在閉區間的二等分的子區間中的某一個上界，nm, 因此可用二等分區間法構造區間套，將論證展開，故都適合用反證法證明. 3.4當命題的結論中出現“唯一”，“最多只有”“必有”和“至 少”等詞的情況下，適合用反證法來證

18、明. 例例 1111 極限唯一性的證明：設數列有極限（實數，或+，或-），則 n a 極限是唯一的. 證法證法1 1 設=a,及=b，a，br. n x a lim n x a lim 反設ab,不失一般性,設ab.令=0. 0 2 ab 由極限定義1.1.1知 n,當n時，a-a+； 1 n 1 n 0 n a 0 n，當n時，b-b+. 2 n 2 n 0 n a 0 所以，當nn=max時， 21,n n =b-=b-a+=a+=, 2 ab 2 ab 0 0 2 ab 2 ab 矛盾.即證得極限的唯一性. 證法證法2 2 設=a,及=b，a，br. n x a lim n x a li

19、m 反設ab.令=0，根據數列極限的定義1.1.1， 0 ba ，當nn時, ,nn 2 0 aan 2 0 ban 所以，+=，ba baaa nn 2 0 2 0 0 ba 矛盾. 值得注意的是這種證法不能應用到極限為的情況，因此還必須給出能推, 廣到的證法，方法一即是.-或 證法證法3 3 設=a,及=b，a，br. n x a lim n x a lim 反設ab.不妨設ab，則存在a的開領域與b的開領域，s.t. = a u b u a u b u .由極限定義1.1.1知，,當n時，；,當nnn 11 n an ua nn 2 時, ,所以，nmax時，矛盾. 2 n bn ua

20、21,n n ban uua 例例 1212 由實數連續性命題（三）實數連續性命題（四） 實數連續性命題（三）：（閉區間套原理）設遞降閉區間序列 .,., 2211 nn bababa 其長度，則，即，nab nn 0 1 01 , n nn bax nn bax, 0 .表示存在惟一 1 nn 實數連續性命題（四）（有界閉區間的緊致性，heine boral 有限覆蓋定理） 的任何開覆蓋q（q中的元素均為開集，且對，必有開集u q，使ba,bax, 得x u,或）必有有限子覆蓋（有，即 qu uba ,baquuu n ,., 21 覆蓋 ）. n k k uba 1 , 證證 反設區間不能

21、被q中有限個開集所覆蓋，將等分為兩個閉區間ba,ba, 與，則此兩個區間中必有一個不能被q中有限個開集所覆蓋， 2 , ba a b ba , 2 記此區間為.再將等分為二，二者中又必有一個不能被q中有限個 11,b a 11,b a 開集所覆蓋，記此區間為，如此下去，得一遞降閉區間序列： 22,b a .,., 2211 nn bababa 其中每一個都不能被q中有限個開集所覆蓋， 且長度 . n ab ab n nn , 0 2 因此，連續性命題（三）（閉區間套原理），.由于q覆蓋， 1 01 , n nn baxba, 故必存在.但為開集，顯然，時，有 000 . .,uxtsqu 0

22、unnn當, . 00 ,ubax nn 于是，區間被中的一個（當然是有限個）開集所覆蓋。這與上面構造 nn ba , 不被q中有限個開集所覆蓋相矛盾. nn ba , 例例 1313 設f在區間i上連續，且只有唯一的極值點， 0 x （1）如果為f的極大值點，則為f的唯一的最大值點； 0 x 0 x （2）如果為f的極小值點，則為f的唯一的最小值點. 0 x 0 x 證證（1）假設有，使f（）f（），不妨設.ixxx 101 , 1 x 0 x 1 x 0 x 由于f在上連續，則它必有最小值.因為為f的極大值，故，使 10,x x 0 x0 得 f（x）f(), 0 x 00,x xx 則必

23、有，使f（）f()（否則f（x）f(), 00,x xx x 0 x 0 x ,從而 中任何點均為f的極值點，這與只有唯一的極 00,x xx 00,x x 值點相矛盾）.由以上討論知，與 均不為f在中的最小值點.其最 0 x 0 x 1 x 10,x x 小值點，當然為f的極小值點，這與為f的唯一的極值點相矛盾. 10,x x 0 x 4，結束語 要用好反證法, 就要正確掌握、靈活運用 反設、歸謬，這兩個反證步驟.反設 是反證法的第一步,能否正確否定結論, 對論證的正確性有著直接的影響. 參 考 文 獻 1李得虎. 數學方法論與解題研究m . 北京: 高等教育出版社, 2003 2孫本旺，汪浩.數學分析中的典型例題和解題方法.長沙：湖南科學技術出版 社，1985 3徐利治，馮克勤，方兆本，徐森林.大學數學解題法詮釋.合肥：安徽教育出 版社，1999 4汪林.數學分析中的問題和反例.昆明：云南科技出版社，1990 5裴禮文.數學分析中的典型問題和方法.北京：高等教育出版社，1985. 6胡傳孝. 高等數學的問題、方法與結構m . 武漢大學出版社, 1997. 7朱如恒. 數學教學中的逆向思維j . 工科數學, 1990, ( 6) . 8張順燕.數學的思想，方法和應用m.北京：高等教