1、 基于課本習題的一類高考試題的探究一 問題提出題目（2009年安徽文科14）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，且，其中，則= _.本題主要依據平面向量的加法運算求解.，所以,，所以.問題可以進一步一般化，如取，取，或者更一般的取，相應的都可以得到以及的值.這類試題2009年之前考過，之后又多次在高考題和一些模擬題中出現.這類試題常考不衰“魅力”何在？問題中求出的僅僅是一個數字？有沒有數學意義，如果有，那么它的數學意義是什么？它的“根”在哪里？ 二 試題尋“根” 新課標人教A版必修四第102頁，習題B組第4題：如圖2，設OX、OY是平面內相交成角的兩條數軸，、分別是與X軸、

2、Y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標.假設，（1）計算的大小；（2）由平面向量基本定理，本題中向量坐標的規定是否合理？【點評】如圖3，根據平面向量基本定理，以平面內一組不共線的向量作基底，對平面內任一向量 有且僅有惟一的有序實數對使得這樣，對應于基底，向量就與惟一確定的有序實數對相對應！顯然，規定有序數對為向量在坐標系中的坐標是合理的.如果一組基底是正交的，就是向量在直角坐標系下的坐標，如果不是正交基底，我們不妨把它稱為基底下的“斜坐標”！至此，這類考試題的“根”就崢嶸再現！原來是“斜坐標（系）”問題！直角坐標系下的問題還是其特例，足見其“根”是相當的深！下面

3、我們就對這個“根”的一些相關性質做一些探究（為表述方便，我們也把向量在斜坐標系下的坐標記為點P的坐標，文中類似情形不再一一說明）.三 初步結論 類比直角坐標系，根據平面向量基本定理，不難得到，基于基底（）下的斜坐標的一些結論，如結論1：點A、B的坐標分別是（1，0），（0，1）；結論2：如圖4，向量所在直線把平面分成四個部分，在四個區域內點的坐標的符號與平面直角坐標系下的規律一致；在直角坐標系下，表示過點（1，0），（0，1）的一條直線，那么在斜坐標系下表示什么呢？由平面向量基本定理，易知，結論3：如圖5，當且僅當點P分別位于直線AB、上時，依次滿足方程、，也即直線AB、的方程分別為、；結論4

4、：如圖6，在斜坐標系中為一族平行直線，其中為直線在向量上的“截距”；結論5：如圖7，向量正向所圍成的區域被直線AB分割成兩個部分（不含邊界），其中，包含點O的區域內點的坐標滿足，另一區域內點的坐標滿足類似的，在直線分成的兩個區域內，包含點O的區域內的點的坐標滿足，另一側點的坐標滿足，.結論6：四 在考題中的相關應用 4.1 符號問題【示例1】（2007年上海春季高考試題第13題）如圖8，平面內的兩條相交直線和將該平面分割成四個部分、 (不包括邊界）. 若，且點落在第部分，則實數滿足A B. C. D.【點評】直接利用結論2，答案選D；4.2 范圍問題【示例2】（2006湖南高考文科第10題）如

5、圖9：OMAB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界）.且，則實數對（x,y）可以是AB. C. D. 【點評】根據結論2，排除選項A；根據結論4排除選項B,D,所以答案為C；【示例3】（2006年湖南省高考理科第10題）如圖10, , 點在由射線, 線段及的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動, 且,則的取值范圍是_; 當時, 的取值范圍是_. 【點評】由結論2，的取值范圍是；由結論4、5，由射線, 線段及的延長線圍成的區域內(不含邊界)點（x,y）滿足，當時.【示例4】（2010年上海高考試題）設點是三角形內一點（不包括邊界），且,則的取值范圍為 A B. C.

6、D. 【點評】根據結論5有，根據線性規劃的知識，作出如圖12陰影部分，表示點P(0,2)到陰影內點的距離的平方，顯然到點A(0,1)的距離最近，為1，到點B（1,0）的距離最遠，這時=5，故選B.43 截距問題回到開始提出的問題，令，求即在“斜坐標系”下求“斜率”為-1過點C的直線在向量上的“截距”.如圖13，過點C作EF的平行線CG，交AF的延長線與G，則為直線CG在坐標軸AF上的“截距”，由，得到.【示例5】（2009安徽理科14）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖14所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若，其中，則x+y的最大值是 .【點評】x+y為過點C“斜率”為-1的直線的“截距”，如圖15，顯然，當且僅當過點C且垂直于直線OC的直線的“截距”最大，在中 ，=2，即x+y的最大值是2.【示例6】(湖北省八市2011三月調考理科試題)如圖16，在直角梯形ABCD中，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內運動，設，則的取值范圍是A B C D 【點評】令，則為在上的截距.顯然只要考慮兩個極限位置.與BD相切時=1，直線BD、EF的方程分別為，兩個截距分別為1, ,故選D.【示例7】(2011屆蘇錫常鎮揚五市高三調研測試)如圖17，在正方形中，為的中點，為以為圓心、為半徑的圓弧上