1、第 32 煉 解三角形中的不等問題一、基礎知識：abcABC 外接圓的半徑1、正弦定理：sin B2R，其中 R為sin Asin C正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關于邊， 或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（ 1） sin2 Asin2 Bsin Asin Bsin 2 Ca2b2ab c2（ 2） bcosCc cosBa sin B cosCsin C cosBsin A （恒等式）bcsin B sin C（ 3）2sin 2Aa2、余弦定理： a2b2c22bc cos A變式： a2bc2此公式在已知 a,

2、 A 的情況下，配合均值不等式可得2bc 1 cos A到 b c和 bc 的最值3、三角形面積公式：（1） S1 a h （ a 為三角形的底， h 為對應的高）2（2） S1 absin C1 bc sin A1 ac sin B222（3） S1absin C12R sin A 2Rsin B sin C 2R2 sin Asin B sin C （其中 R 為外接22圓半徑）4、三角形內角和：（1）正余弦關系式：A BC，從而可得到：sin AsinB Csin B Ccos AcosBCcos BC（2）在已知一角的情況下，可用另一個角表示第三個角，達到消元的目的5、兩角和差的正余弦

3、公式：sin ABsin AcosBsin B cosAcos ABcos AcosBsin Asin B6、輔助角公式： a sin Abcos Ba2b2 sin A，其中 tanba7、三角形中的不等關系（ 1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構成三角形時，只需驗證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號成立的條件，在求最值時使用較少（ 2）在三角形中，邊角以及角的三角函數值存在等價關系：abABsin Asin Bcos AcosB其中由 ABcos AcosB 利用的是余弦函數單調性，而 ABsin Asin B個三角形內有效。僅在一8、解三角形中處理不等關系的幾種方法（

4、1）轉變為一個變量的函數：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉變為函數，從而將問題轉化為求函數的值域（ 2）利用均值不等式求得最值二、例題精析：例 1： ABC 各角的對應邊分別為a,b, c ，滿足bc1 ，則角 A 的范圍是caabA (0, B (0, C ,)D ,)3636思路：從所給條件入手，進行不等式化簡：bc1acabb a bc a cacabb2c2a2bc ，觀察到余弦定理公式特征，進而利用余弦定理表示cos A ： b2c2a2bccos Ab2c2a21，可解得：2bc2A 0,3答案： A例 2：在 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為a,b,c ，已

5、知ac3cos Asin C（1）求 A 的大?。?）若 a6，求 bc 的取值范圍解：（ 1）由條件ac可考慮使用正弦定理，將分子進行“邊化角”sin C3cos Aacsin Asin C1t a nA33 cos Asin C3 cos Asin CA3（2）思路：考慮在ABC 中，已經已知 A,a ，從而可求出外接圓半徑R ，進而 B,C 與 b, c也可進行邊角互化。 若從邊的角度考慮， 則能夠使用的不等關系只有“兩邊之和大于第三邊”，但不易利用 A60這個條件，考慮利用角來解決解：bca43sin Csin Asin Bb43sin B,c4 3sin CAB C2C233B3bc

6、43 sin Bsin C43sin Bsin2B343sin B3 cos B1 sin B123 sin B1 cos B12sin B222260B2B6, 5,sinB61 ,13662bc6,12例 3：在銳角ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為a, b, c ，且 2bcosC2ac（ 1）求角 B（ 2）求 sin Asin C 的取值范圍解：（ 1）方法一：使用余弦定理2b cosC2a c2ba2b2c22a c2abb2c2a 2acb2a2c2ac由余弦定理得： b2a2c22ac cos Bc o sB1B23方法二：觀察等式a, b, c 齊次，考慮使用正弦定

7、理2b cosC2a c2sin B cosC2sinAsinC2sin B cosC2sinB Csin Csin C 2sin C cosBcos B1B32（2） A2C2AC33sin Asin23Asin A32cos A1 sin A23 sin Acos A21 sin22A31 c o sA2114s i n A242s i nA 2640AABC 為銳角三角形A, B,C0,2A2620A2322A6, 5s i nA261, 1sin Asin C1 , 366224小煉有話說： 要注意對銳角三角形條件的運用：三個角均為銳角， 而 C 用 A 代換，所以 C 滿足銳角的條件

8、也由A 來承擔，這也是在利用等式消元時所要注意的一點：若被消去的元帶有范圍，則這個范圍由主元承擔。例 4：在ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為a,b,c ，已知 sin Asin Cp sin BpR ，且 ac1 b24（1）當 p5 ,b1時，求 a, c 的值4（2）若角 B 為銳角，求 p 的取值范圍解：（ 1） sin A sin C5 sin Bac5 b5ac14444a5a11ca41 或41cac4c14（ 2）思路：以“角B 為銳角”為突破口，聯想到余弦定理，而acpb, ac1 b2也剛4好得到 p 與 cos B 的關系式，再由0cosB1 可解得 p 的范

9、圍解：考慮余弦定理b2a2c22ac cos Ba22ac 1cosBcb2p2b21 b2 1cos Bp231 cosB222B 為銳角，0cos B1p23 ,2a cpbp02p 6 , 22例 5：若 ABC 的內角滿足 sin A2 sin B2sin C ，則 cosC 的最小值是思路：所求cosC 的最值可想到余弦定理用邊進行表示，cosCa2b2c22ab，考慮sin A2 sin B2sin C 角化邊得到： a2b2c ，進而消去 c 計算表達式的最值即可解： cosCa2b2c2由 sin A2 sin B2sin C 可得： a2b2c2abca2b2a2b2a2b2

10、32122a2b2c224 a2 b2ab3 a 1 b2cosC2ab2ab2ab8 b4 a423ab68b4a4答案：64例 6：在銳角ABC 中A2B,B、C 的對邊長分別是b 、 c , 則 b的取值范圍b+c是()A (1,1)B(1,1)C (1,2)D(2,3)43322334思路：本題所給條件為角的關系，不易從邊入手，所以將所求進行邊化角：bsin B1，只需求出 sin C 的范圍即可。條件所給的是A,B 關系，b+csin B sin C1sin Csin Bsin B從 而s i CnsAi nBc o s Bs iAnc osB,減少角的個數：s i BnBs in，

11、 利 用A 2sin Asin2 B2sin B cosB,cos Acos2B2cos2 B 1， 代 入可得：sin C4cos2 B1，根據銳角三角形求出 B 的范圍即可。sin B解：bsin B1b+csin BsinCsin C1sin Bsin Csin ABsin Acos B sin B cos Asin Bsin Bsin B由A 2Bsin Asin2 B 2sin B cosB,cos A cos2B 2cos2 B 1sinC2sin B cos2 Bsin B cos2 B2cos2 B cos2B 4cos 2 B 1sin Bsin B0B2因為ABC 為銳角三

12、角形0A 2B2解得：B640C3B2cos B2,3sin C4cos 2 B11,222sin Bb11, 1b+c1sin C3 2sin B答案： B小煉有話說： 本題的關鍵點有兩個，一個是解題系統的確定，由于題目中沒有涉及到邊的關系，只是給了角的條件，所以優先選擇角的系統，從而進行角化邊的處理，并進行了一個分式的常見變形，將變量集中在分母上。另一個就是主元的確定：本題的主元是B ，所以在求表達式范圍時將A,C 均用 B 來進行表示，以便于求得值域。例 7：已知ABC 的角 A, B,C 所對的邊分別是 a,b, c ，且 a2b2c22 ab ，若ABC 的3外接圓半徑為3 2，則A

13、BC 面積的最大值為 _2思路：由 a2b2c22 ab 可聯想到余弦定理求cosC ，所以 cosCa2b2c21，32ab3從而 sin C2 2，所求面積可表示為 S ABC1 ab sin C ，則只需解出 ab 的最大值即可。32由外接圓半徑 R32及 sin C 可得： c2R sinC 4 ，所以a2b2162 ab ，而23a2b22ab ，所以有162 ab 2abab 12，所以 S ABC1122 24 2323答案： 42小煉有話說：本題的入手點來自于條件中對余弦定理的暗示，從而解出C ，在計算面積時有三組邊角可供選擇：S1 absin C1 bc sin A1 ac

14、sin B ，通常是 “依角而選” ，從而222把目標轉向求ab 的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項，再配上均值不等式往往可以找到最值。例 8：設ABC 的內角 A,B,C 所對的邊為 a, b, c ，若 a,b,c 成等比數列， 則 sin B 的取值范sin A圍是 _思路：由 a, b, c 成等比數列可得： b2ac ，也可視為 sin2 Bsin AsinC，所求表達式 sin B也可視為 b 。如果從角入手，則sin Asin2 Bsin AsinCsin2 Bsin AsinAB無法與asin B 聯系。所以考慮從邊入手。由b2ac 可得： cb2，在ABC 中，若

15、 abc，sin Aab ，所以 b225 ，同理，若 c則 caa b ，即bb1 01b1ba ，aaaa2則 abcabb251bsin Bb5151，解得：21。綜上sin Aa2,2aa答案：51 ,5 122例 9：已知 ABC中，角 A,B,C 所對的邊分別為a,b,c ，且 BC邊上的高為 a ，則 bc 的取cb值范圍為 _思路：一方面由所求 bc 出發，可用均值不等式得到bc2bc2，驗證 b c 時cbcbcb存在這樣的三角形，得到最小值；再從另一個角度入手bcb2c2可聯想到余弦定理cbbca2b2c22bc cos A，而由題目中的底和高可得S ABC1 a21 bc

16、 sin Aa2bc sin A ，所以有：22bca22bc cos Abc sin A2bc cos Asin A2cos A ，只需求得 sin A2cos Acbbcbc的 范 圍 即 可 ， 考 慮 sin A1sin A2，2cos A5cosA5sin A55tan2 ，所以 sin A 2cos Abc55 ，綜上：2,cb答案：2,5小煉有話說 ：（ 1）在解三角形中，能夠從所給式子中發現定理的影子，可幫助你迅速確定解題方向，本題沒有選擇邊化角， 而是抓住余弦定理的影子為突破口， 然后再去尋找條件能否把多余的元消去（比如本題中的a2 ），從而整理出一個可操作的表達式（2）最后

17、運用輔角公式時，輔助角并不是特殊角。這種情況下可用代替俯角，并用的一個三角函數值刻畫其大小。本題可通過作圖大致觀察到A 的范圍，從而確定 A的范圍能經過，所以5 能夠取到2例10：（2014，重慶）已知ABC的內角A,B,C滿足si An2A si B n(CC)1sA，i面積nB S 滿足 1 S 2，記 a,b,c 分別是2A, B,C 所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）A.bc bc8B.ab ab162C.6abc12D.12abc24思路：本題需判斷的式子比較多，先從條件出發向所求靠攏?；喴阎獥l件sin 2 Asin( ABC )1可 得 4 s Ai n B1， s 即i n

18、sin C A Bs i Cn122sin Asin B sin C，聯想到面積公式 S2r 2 sin Asin B sin C 及 1S 2可 得 ：811 r 22 2r22 ， 從 而 abc 可 用 r 進 行 表 示 求 出 范 圍 ， 另 一 方 面 可 由4bcabc bcabc ，利用不等式的傳遞性即可求出bc bc 的范圍解： sin 2 Asin( ABC )sinCAB121sin 2 Asin2Bsin2C21sin 2Asin 2Bsin 2C2sin 2Asin 2Bsin2 A2B121sin 2Asin 2Bsin 2Acos2 Bsin 2B cos2 A1

19、2sin 2 A 1cos2Bsin 2B 1cos2 A212sin 2Asin 2 B2sin 2B sin2A214sin Acos Asin 2 B4sin B cosB sin 2 A2sin Asin B sin AcosBsin B cos A1811sin Asin B sinAB即 sin Asin B sin C88由正弦定理可得：a2R sin A,b2R sin B,c2R sin CS ABC1ab sin C12R sin A2R sin B sin C2R2 sin Asin B sin C1R22214所以由 1S2可得： 1R222R224abc8R3 sin

20、 Asin B sin CR38,162，所以 C , D 均不正確b cabc bcabc8 A正確同理 ab cab ababc8， B不正確三、近年好題精選1、（ 2016，上海十校聯考）設銳角ABC 的三內角 A, B, C 所對邊的邊長分別為a,b, c，且a 1,B2A ，則 b 的取值范圍為（）A.2, 3B.1,3C.2,2D.0,22、（2016 江蘇高三第一次聯考）在ABC 中， AB3, AC4,N 是 AB 的中點，邊 AC（含端點）上存在點M ，使得 BMCN ，則 cos A 的取值范圍是 _3、（ 2015，新課標I）在平行四邊形ABCD 中， ABC75 ， B

21、C2 ，則 AB 的取值范圍是 _4、（ 2016，哈爾濱六中上學期期末考試）在ABC 中，內角 A, B,C 的對邊分別為a, b, c ，且 c2,b2a ，則ABC 的面積最大值為 _5、（ 2014，新課標全國卷 I）已知 a,b,c 分別為 ABC 三個內角 A, B, C 的對邊， a2 且b 2 sin Asin Bcb sin C ，則ABC 面積的最大值為 _6、（2016 ，洛陽 12月月考）在ABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為a, b,c ，則下列命題正確的是 _ 若 sin Asin B2sin 2 C ，則 0C4 若 ab2c ，則 0C3 若 a4b4c

22、4，則ABC 為銳角三角形 若 ab c 2ab ，則 C2A, B,Ca,b,c72014ABC 的內角的對邊分別為、（，陜西）（1）若 a,b, c 成等差數列，證明：sin AsinC 2sinA C（2）若 a,b, c 成等比數列，求cos B 的最小值8、設ABC 的內角 A, B,C 所對的邊分別為a, b, c, 且 a cosC1 cb .2（1）求角 A 的大小；（2）若 a1，求ABC 的周長 l 的取值范圍 .9、已知ABC 和A1B1C1 滿足： sin A cosA1,sin BcosB1 ,sin CcosC1,（1）求證：ABC 是鈍角三角形，并求最大角的度數（

23、2）求 sin 2 Asin2 B sin 2 C 的最小值10、（ 2016，安徽六校聯考）已知函數f x 2cos 2 xcos2 x 1 .3（1）求 fx 的對稱中心（2）若銳角ABC 中角 A, B,C 所對的邊分別為a, b, c ，且 fA 0 ，求 b 的取值范圍c習題答案：1、答案： A解析： B2 Asin Bsin 2Asin B2sin Acos Ab2a cos A2cos A0B2A2由 銳 角ABC 可知：0A2， 解 得A，所以640CAB3A2cos A2,3 ，從而 b2cos A2,3222、答案：3 ,18解析：方法一：若AC 存在點 M ，使得 BMC

24、N ，則BNC 為銳角或直角在 BNC中BN2CN 2BC20CN 2AN 2AC 22ANAC cos ABC 2AB 2AC 22 ABAC cos ABN 2AN 2AC 22 ANAC cos AAB2AC 22AB AC cos A 0代入 BNAN3, AB3, AC4 ，可得：29916 12cos A91624cos A0449c o sA312cos A82cos A3 ,18方法二（向量法）以 A 為 原 點 ， 直 線 AB 為 x 軸 建 系 ， 則 B 3,0, N 3 ,0 ， 設 C 4 cos A , 4 sinA ，2AMt0t4M t cosA,t sin AB Mct o s A3 ,t s i nAC, N34 c oAs, 4 Asi n2BMCNBMt cos A334cos At sin A4sin A02cos A155由 t0,4和 cos A1,13,18t8可得 cos A383、答案：62,62解 析 ：延 長 BA,CD交 于 點E， 則 在ADE中，DAE105 ,ADE45 ,E30設