1、第 2 講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1 平面向量基本定理如果e1、e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)， ，使12a e e 1122其中，不共線的向量e1、 e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè) a (x1， y1)， b (x2， y2)，則a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， y，2 y2a (x1 1)|a|11x(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè) A(x1， y1)， B( x2， y2)，則

2、AB (x2 x1， y2 y1)，(x2 x1)2 (y2 y1)2 |AB|3 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a (x1， y1)， b (x2， y2)， a b? x1y2 x2y10判斷正誤 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2) ， 若 a， b 不共線，且 1a 1b 2a 2b，則 1212.()(3) 平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示 ()(4)若 a (x1， y1) ，b (x2， y2)，則 a b 的充要條件可表示成x1 y1.()x2 y2答案： (1) (2) (3) (4)

3、( 教材習(xí)題改編 ) 下列哪組向量可以作為平面向量的一組基底()1 (2， 4)， e2 (1， 2)A eBe1 (4 ，3)， e2 ( 3， 8)Ce1 (2 ，3)， e2 ( 2， 3)D e1 (3， 0)， e2 (4， 0)解析： 選 B對(duì)于 A ， e 2e2，對(duì)于 C， e ，對(duì)于 D， e 32，對(duì)于 B，不存11e214e在 R，使 e1 e2，故選 B已知點(diǎn) A(0， 1)， B(3， 2)，向量 AC ( 4， 3)，則向量 BC()A(7， 4)B (7， 4)C( 1， 4)D (1， 4)解析： 選 A 法一： 設(shè) C(x， y)，則 AC (x， y 1)(

4、 4， 3)，x 4，所以y 2，從而 BC ( 4， 2) (3， 2) ( 7， 4)故選 A 法二： AB (3， 2) (0， 1) (3， 1)，BC AC AB ( 4， 3) (3， 1) ( 7， 4)故選 A( 教材習(xí)題改編 ) 向量 a， b 滿足 a b ( 1， 5)， ab (5， 3)，則 b _解析： 由 a b ( 1，5)，a b (5， 3)，得 2b (1， 5)(5 ， 3) (6， 8)，所以 b 12( 6，8) ( 3， 4)答案： ( 3， 4)( 教材習(xí)題改編 ) 已知 A( 2， 3)， B(2，1)， C(1， 4)，D ( 7， t)，若

5、 AB 與 CD 共線，則 t_解析： AB (2， 1) ( 2， 3)(4，4)，CD ( 7， t) (1， 4) ( 8， t4) 因?yàn)?AB與 CD 共線，所以 4(t 4) 4( 8) 0.即 4t 160，所以 t 4.答案： 4( 教材習(xí)題改編 ) 已知 ?ABCD 的頂點(diǎn) A( 1， 2)，B(3， 1)，C(5，6)，則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 _ 4 5x，x 1，解析： 設(shè) D (x，y)，則由 AB，得 (4，1) (5 x，6 y)，即解得 DC1 6y，y 5.答案： (1，5)平面向量基本定理及其應(yīng)用 典例引領(lǐng) 1 1 如圖，以向量 OAa， OB b 為鄰邊作 ?O

6、ADB ， BM BC ，CN CD ，用 a， b33表示 OM，ON，MN .【解】 因?yàn)?BAOB a b， OA1 1115BM6BA6a 6b，所以 OM OB BM 6a 6b.因?yàn)?OD a b，111222所以 ON OC 3CD 2OD6OD3OD 3a3b，所以 MNON OM2 2 1 51 13a3b 6a6b 2a6b.15 2211綜上 ，OM 6a 6b， ON3a 3b， MN 2a6b.平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路(1) 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2) 用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

7、是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決注意 在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理 通關(guān)練習(xí) 1在 ABC 中， P，Q 分別是 AB， BC 的三等分點(diǎn)，且11AP AB，BQ BC，若 AB33)a， AC b，則 PQ(1111A 3a3bB3a3b1111C3a 3bD 3a 3b2121111 解析： 選 A 由題意知 PQ PB BQ 3AB 3BC 3AB 3(AC AB)3AB3AC 3a1 3b，故選 A 2已知點(diǎn) A，B 為單位圓O 上的兩點(diǎn)， 點(diǎn) P 為單位圓 O 所在平面內(nèi)的

8、一點(diǎn)，且 OA與 OB不共線(1)在 OAB 中，點(diǎn) P 在 AB 上，且 AP 2PB，若 AP rOB sOA，求 r s 的值；(2)已知點(diǎn) P 滿足 OP mOA OB(m 為常數(shù) )，若四邊形 OABP 為平行四邊形， 求 m 的值2 解： (1)因?yàn)?AP 2PB，所以 AP3AB，2 2 2 所以 AP3(OBOA ) 3OB3OA，又因?yàn)?AP rOB sOA，2 2所以 r 3， s 3，所以 r s0.(2)因?yàn)樗倪呅蜲ABP 為平行四邊形，所以 OB OP OA， 又因?yàn)?OP mOA OB，所以 OB OB (m 1)OA，依題意 OA， OB是非零向量且不共線所以 m

9、 10，解得 m 1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(高頻考點(diǎn) )平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是每年高考的重點(diǎn)，題型為選擇題、 填空題， 涉及向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，難度適中主要命題角度有：(1)已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；(2)解析法 (坐標(biāo)法 ) 在向量中的應(yīng)用 典例引領(lǐng) 角度一已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知向量 a (5，2)，b( 4，3)，c (x，y)，若 3a 2b c 0，則 c ()A ( 23， 12)B (23， 12)C(7， 0)D ( 7，0)(2)已知向量 a(2 ，1)， b (1， 2) 若 manb (9， 8)(m， n R)，則 m n 的值為_(kāi)(3)平面直角坐

10、標(biāo)系xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C( 1，c)( c0) ，且 |OC| 2，若 OCOA OB，則實(shí)數(shù) 的值為 _【解析】(1)3a 2bc (23 x， 12 y) 0，故 x 23，y 12，故選 A(2)由向量 a(2， 1)， b (1， 2)，得 ma nb (2m n， m 2n)(9， 8)，2m n9，m2，則解得故 m n 3.m 2n 8，n 5， 22 4，因?yàn)?c0，所以 c(3)因?yàn)?|OC| 2，所以 |OC| 1 c3.因?yàn)?OC OAOB，所以 ( 1，3) (1， 0) (0，1) ，所以 1， 3，所以 3 1.【答案】(1)A(2)3(

11、3)31角度二解析法 (坐標(biāo)法 )在向量中的應(yīng)用(2017 考全國(guó)卷高 )在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2，動(dòng)點(diǎn) P 在以點(diǎn) C 為圓心且與 BD 相切的圓上若AP AB AD，則 的最大值為 ()A3B22C5D2【解析】以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) ， AB， AD 所在直線分別為x， y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ，則 A(0， 0)， B(1， 0)， C(1， 2)， D (0，2)，可得直線BD 的方程為2x y2 0，點(diǎn) C 到直線 BD 的距離為2 2 ，圓 C：( x 1)2 (y 2)24，因?yàn)?P在圓 C上，所12 2255以 P(1 25cos ，22555si

12、n )， AB (1， 0)，AD (0， 2)，AP AB AD (， 2)，所251 5cos ， 22 55以5cos 5 sin 2 sin( ) 3， tan 2，選 A 2255sin 2，【答案】A(1)向量坐標(biāo)運(yùn)算的策略向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則(2)向量問(wèn)題坐標(biāo)化當(dāng)題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標(biāo)系( 如矩形、等腰三角形等)時(shí)，可建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化 ，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，更便于計(jì)算求解 通關(guān)練習(xí) 1已知四邊形 ABCD 的三個(gè)頂

13、點(diǎn) A(0， 2)，B( 1， 2)， C(3，1)，且 BC2AD，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A 2，7B 2，122C(3， 2)D (1， 3)4 2x，解析：選 A 設(shè) D (x，y)，AD (x，y 2)，BC (4，3)，又 BC2AD，所以3 2(y 2)，x 2，所以y 7， 故選 A 22向量 a，b，c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 c a b(，R )，則 _解析： 以向量 a 和 b 的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為 1)，則 A(1， 1)，B(6，2)，C(5 ， 1)，所以 aAO ( 1，1)，bOB (6，2)，c BC 6 1，(

14、 1， 3)因?yàn)?ca b，所以 (1， 3) ( 1，1) (6， 2)，即解 2 3，得 2，1，所以2 4.答案： 43.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為2C在以O(shè)為1 的平面向量 OA和 OB，它們的夾角為3.如圖所示，點(diǎn)圓心的圓弧 AB上運(yùn)動(dòng)若 OC xOA yOB，其中 x， y R，求 x y 的最大值x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 ，則 A(1，解：以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ，OA所在的直線為0)，B 1，3，222設(shè) AOC 0， 3，則 C(cos ， sin )，1cos x2y，由 OC xOAyOB，得3sin 2 y，323所以 xcos 3sin ， y3sin ，所以 xy cos

15、 3sin 2sin ，62 5又 0， 3 ，所以 6，6 6 ，1所以 sin 6 2， 1 ，故 x y 的最大值為 2.平面向量共線的坐標(biāo)表示 (高頻考點(diǎn) )平面向量共線的坐標(biāo)表示也是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題主要命題角度有：(1)利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)利用向量共線求參數(shù) 典例引領(lǐng) 角度一利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)已知點(diǎn) A(4， 0)，B(4， 4)，C(2， 6)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與 OB 的交點(diǎn) P的坐標(biāo)為 _【解析】 法一： 由 O，P，B 三點(diǎn)共線 ，可設(shè) OPOB (4，4)，則APOP OA(44， 4) 3 又 AC O

16、COA (2，6)，由 AP與 AC共線，得 (4 4) 6 4 ( 2) 0，解得 ，43 所以 OP 4OB (3， 3)，所以P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(3， 3)法二： 設(shè)點(diǎn)xyP(x，y)，則 OP (x，y)，因?yàn)?OB (4，4)，且 OP與 OB共線 ，所以 44，即xy.又 AP (x 4， y)，AC (2， 6)，且AP 與 AC共線，所以 (x 4) 6 y ( 2) 0，解得 x y 3，所以 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3， 3)【答案】(3， 3)角度二利用向量共線求參數(shù)已知向量 OA (1， 3)，OB (2， 1)， OC ( k1， k 2)，若 A、 B、C 三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形

17、，則實(shí)數(shù)k 應(yīng)滿足的條件是 ()1A k 2B k 2Ck 1D k 1【解析】 若點(diǎn) A、B、C 不能構(gòu)成三角形 ，則向量 AB ，AC共線 ，因?yàn)?ABOB OA (2， 1) (1， 3) (1，2)，ACOC OA (k 1，k 2) (1， 3) (k，k 1)，所以 1 (k 1) 2k 0，解得 k 1.【 答案】 C平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量 a 共線的向量時(shí) ，可設(shè)所求向量為 a( R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程 ，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(2) 利用兩向量共線求參數(shù)如果已

18、知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí) ，利用 “ 若 a( x1， y1)， b (x2， y2)，則 ab 的充要條件是 x1y2 x2y1” 解題比較方便 通關(guān)練習(xí) 1 已知梯形 ABCD ，其中 AB CD ，且 DC 2AB，三個(gè)頂點(diǎn) A(1 ，2)， B(2， 1)， C(4，2)，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 _解析： 因?yàn)樵谔菪蜛BCD 中， ABCD ， DC 2AB，所以 DC 2AB.設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (x，y)，則 DC (4， 2) (x， y) (4 x， 2 y)， AB (2， 1) (1， 2) (1， 1)，所以 (4 x， 24 x2，x 2，y)2(1， 1)，即 (

19、4 x，2 y) (2， 2)，所以解得故點(diǎn) D 的坐標(biāo)2 y 2，y 4，為(2， 4)答案： (2，4)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A，2設(shè) OA ( 2，4)， OB ( a， 2)， OC (b， 0)， a0， b0， OB， C 三點(diǎn)共線，則1 1的最小值為 _ab解析： 由已知得 AB (a 2， 2)，AC (b 2， 4)， AC，所以 (a 2， 2) (b 2， 4)，又 AB a 2 (b 2)，即整理得2a b 2， 2 4，1 1 1(2a b)1112a b13 22a b 3 2.所以3ba2a b 2ab2b a2答案： 322對(duì)平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定

20、理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)(2)平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a e e 的形式1122向量共線的作用向量共線常常用來(lái)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題和三點(diǎn)共線問(wèn)題，向量共線的充要條件用坐標(biāo)可表示為 x1y2 x2 y1 0.向量坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)注意的兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意運(yùn)用兩個(gè)向量a， b 共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2 x2y1 0.(2)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息1.如圖，在平行四邊形AB

21、CD 中，E 為 DC 邊的中點(diǎn)， 且 AB a，AD b，則 BE等于 ()11A b 2aB b2a11Ca2bD a2b11解析： 選 A BE BA AD DE a b2a.2ab12在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a (1，2)，a 2b(3 ，1)，c(x，3)，若(2a b) c，則 x ()A 2B 4C 3D 111解析：選 D.因?yàn)?a b (3，1)，所以 a (3，1) b，則 b ( 4，2)所以 2ab (222， 6)又 (2a b) c，所以 6 6x， x 1.故選 D. 1 的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若3.已知向量 AC， AD 和 AB在邊長(zhǎng)為AC AB

22、)AD ，則 等于 (A 2B 2C3D 3解析： 選 A 如圖所示 ，建立平面直角坐標(biāo)系，則 AD (1， 0)，AC(2， 2)， AB (1， 2)，所以 (2， 2) (1， 2) (1，0) ( ， 2)，因?yàn)?AC AB AD2 ， 1，所以解得所以 2.故選 A 2 2， 3，4在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知 A(1， 0)， B(0，1) ，C 為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且 AOC ， |OC| 2，若 OC OA OB ，則 ()4A2 2B 2C2D4 22，2，解析：選 A 因?yàn)?|OC|2，AOC，所以 C(2)，又 OC OA OB，所以 (42) (1， 0)(0

23、 ，1) (， )，所以 2， 22.5已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a (m， 3m4)， b (1， 2)，且平面內(nèi)的任一向量 c 都可以唯一地表示成c a b(， 為實(shí)數(shù) )，則 m 的取值范圍是 ()A (， 4)B (4， )C( ， 4) (4， )D (， )解析： 選 C平面內(nèi)的任意向量c 都可以唯一地表示成c a b，由平面向量基本定理可知 ，向量 a，b 可作為該平面所有向量的一組基底，即向量 a，b 是不共線向量又因?yàn)閍 (m，3m4) ，b (1，2)，則 m 2 (3m4) 1 0，即 m 4，所以 m 的取值范圍為(， 4) (4， ) 6設(shè)向量a (x， 1)，

24、b (4， x)，若 a， b 方向相反，則實(shí)數(shù)x 的值為 _解析： 由題意得x2 1 4 0，解得 x 2.當(dāng) x2 時(shí)， a (2， 1)， b (4， 2)，此時(shí) a，b 方向相同 ，不符合題意 ，舍去；當(dāng) x 2 時(shí)，a ( 2，1)，b(4 ，2)，此時(shí) a， b 方向相反 ，符合題意答案： 27已知點(diǎn) A(2，3)，B(4， 5)， C(7，10)，若 AP AB AC( R )，且點(diǎn) P 在直線 x 2y 0 上，則 的值為 _解析： 設(shè) P(x， y)，則由 AP AB AC，得 (x 2， y 3) (2，2) (5， 7) (2 5， 27)，所以 x5 4，y 75.又點(diǎn)

25、 P 在直線 x 2y 0 上，故 54 2(7 5) 0，解得2 3.2答案： 8在梯形ABCD 中，已知 AB CD，AB 2CD ， M、N 分別為 CD 、BC 的中點(diǎn)若 ABAM AN ，則 _1 解析： 由 AB AM AN，得AB 2(AD1 AC) ( AC AB )，則 221 AB 2AD 11 3 1AD2 2AC 0，得2AB 2AD 2 22AB 0，得44 1AB 2AD 0.又 AB與 AD不共線 ，13 1 0，8445，所以解得42 0，54所以 5.答案：459已知 A(2， 4)，B(3， 1)，C( 3， 4)設(shè) AB a，BC b， CA c，且 CM

26、 3c，CN 2b.(1)求 3a b3c；(2)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m， n；(3)求 M、 N 的坐標(biāo)及向量 MN 的坐標(biāo)解： 由已知得a (5， 5)， b (6， 3)， c(1， 8)(1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1， 8) (15 63， 15 3 24) (6， 42)(2)因?yàn)?mb nc ( 6m n， 3m 8n)， 6m n 5，m 1，所以解得3m8n 5，n 1.(3)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ，因?yàn)?CM OM OC 3c，所以 OM 3cOC (3， 24) ( 3， 4) (0， 20)所以 M(0， 20)又因?yàn)镃NON OC 2

27、b，所以 ON 2bOC (12， 6) ( 3， 4) (9， 2)，所以 N(9， 2)所以 MN (9， 18)10如圖， AB 是圓 O 的直徑， C， D 是圓 O 上的點(diǎn)， CBA 60， ABD 45， CDxOA yBC，求 x y 的值解： 不妨設(shè) O 的半徑為 1，則 A( 1， 0)，B(1， 0)， D(0， 1)， C 1， 3221， 131， 3所以 CD ，BC 2222 .又 CD xOAyBC，所以1， 1 3 x( 1， 0) y1， 32222 . 1 x1y3 3x3所以22，解之得，333 231 22 yy3333 233所以 xy333 .1若

28、， 是一組基底，向量 x y(x， y R)，則稱 (x， y)為向量 在基底， 下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a 在基底 p (1， 1)， q (2， 1)下的坐標(biāo)為 ( 2， 2)，則 a 在另一組基底 m ( 1， 1)，n (1， 2)下的坐標(biāo)為 ()A(2， 0)B (0， 2)C( 2， 0)D (0， 2)解析： 選 D. 因?yàn)?a 在基底 p， q 下的坐標(biāo)為 ( 2， 2)，即 a 2p 2q (2， 4)，令 axm yn ( x y，x 2y)， x y 2，x 0，所以即x2y 4，y 2.所以 a 在基底 m， n 下的坐標(biāo)為 (0， 2)2.如圖， A，B，C 是圓 O 上

29、的三點(diǎn)， CO 的延長(zhǎng)線與線段BA 的延長(zhǎng)線交于圓O 外一點(diǎn)D，若 OC mOA nOB，則 m n 的取值范圍是 ()A(0， 1)B (1， )C( ， 1)D ( 1，0)解析： 選 D.由點(diǎn) D 是圓 O 外一點(diǎn) ，可設(shè) BD BA (1) ，則 OD OBBA OA (11 )OB.又 C，O，D 三點(diǎn)共線 ，令OD OC( 1)，則 OC OAOB( 1， 1)，所以 m，n1 1 1( 1， 0)，則 m n 13設(shè) P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 AP BP CP 0， BDBC，則 AD AP _3解析：因?yàn)?BP APAB，CP AP AC，AP BP CP 0，所以3APAB AC，即AP1 1 3AB3AC.11212因?yàn)?AD AB BD AB 3BC AB 3( AC AB ) 3AB 3AC，所以 AD AP AB 3AC.2 答案： AB 3AC4.如圖， O 點(diǎn)在 ABC 的內(nèi)部， E 是 BC 邊的中點(diǎn)，且有 OA 2OB 3OC 0，則 AEC 的面積與 AOC 的面積的比為 _解析： 取 AC 的中點(diǎn) D ，連接 OE，OD.因?yàn)?D ，E 分別是 AC，BC 邊的中點(diǎn) ，所以 OAOC 2OD， OBOC 2OE，因?yàn)?OA 2OB