1、第五章 連通性XX(0,1)BA(0,-1)(1,0)普通幾何中的圖形“連通”性是一個非常直觀的概念，似乎無需給出數學的定義。然而，對于一些復雜的圖形，單憑直觀是不行的，例如：例： 設的一個子集（曲線）有兩部分構成，其中 如右圖，細線為，粗線為，我們很難判斷它們是否連通的。有兩種描述圖形連通的方法：1）、利用集合是否相交來判定； 2）、利用任何亮點是否有圖形內的線段相連。前者稱為“連通性”，后者稱為“道路連通性”。在上例中，是連通的，但是，不是道路連通的。5-1 連通空間先看一個例子：考慮上的兩個子集與。它們是不交的，（即交為空集）。但是，它們的并為卻構成了一個“整體”； 而與也是不相交的，但

2、它們的并仍是兩個部分。原因是：的一個聚點1，屬于，而不屬于。為此，給出一個“分離”的概念。定義1 設和是拓撲空間的兩個非空子集，如果與，則稱與是分離的。 定義2 稱拓撲空間是連通的，如果不能表示為兩個非空分離集合的并。 顯然，連通與下面幾種說法是等價的。 不能分解為兩個非空不相交開集的并； 不能分解為兩個非空不相交閉集的并； 沒有既開又閉的非空真子集； 中只有和是既開又閉的。上述的四種說法與連通是等價的，可以作為習題，有同學們自己去證明。例1 （1）是連通的，因為它的任意兩個非空開集一定相交。（2）雙曲線不連通，它的兩支是互不相交的的非空閉集。（3）空間是連通的。結論（3）是明顯的。但是，人們

3、常常里利用已知連通空間論證其它空間的連通性，所以，常常被作為論證一維流形連通的出發點。因此，有必要去證明一下。 證明的思路：中任何非空真子集不可能既是閉的又是開的，則是連通的。 以下是證明： 不妨設是的非空真閉集，于是只要證明不會是開集。設的下確界為，上確界為。因為是閉集，則有。又設，不妨假定（對于情形可作類似的討論），由于，即不是的內點，從而不是開集。證畢。下面討論連通空間的性質。定理1 連通空間在連續映射下的象也是連通的。證明： 設連通，連續，我們要證明也連通。不妨設（否則也可以考慮）。又設是的既開又閉的非空子集，則是的既開又閉的子集（這是根據連續映射的性質）。又由于非空，并且是連通的，故

4、只要（不可能為），因為映射是滿射，從而，這說明的既開又閉的非空子集只能有。于是，是連通的。 例2 單位圓是連通的。 因為是連通的，且有映射，有。 例3 設，則連通 是區間。 例3可作為定理1的推論。 推論1 連通空間上的連續函數取到一切中間值（即，象集是區間）。事實上，這個推論適于上的映射，而對于其他的拓撲空間，應該有“序”的概念。所以只作理解即可。即，設連通，根據例3。推論立證。引理1 若是的既開又閉子集，是的連通子集，則或者，或者。證明：顯然。由于是連通的，則不可能存在既開又閉的子集，則要么，要么，即。定理2 若有一個連通的稠密子集，則連通。證明：思路：證明的既開又閉子集只有和。設是的連通

5、稠密子集，且是的既開又閉子集。如果，則必有。由引理1，有。于是，從而。因此，的既開又閉子集只有和。推論2 若是的連通子集，且，則連通。注釋：這是因為是的稠密子集，由定理2，立得推論。下面的定理給出判斷連通性的一個常用法則。Au1u2u3u4u5定理3 如果有一個連通覆蓋（即中每個成員都是連通的），并且有一連通子集，與中每個成員都相交，則連通。定理意義的解釋：中每個成員都是連通集，它們構成的覆蓋，它們之間不一定都有交，但是存在一個的子集，與它們都相交。 證明： 證明思路：的既開又閉子集只有和。 設是的既開又閉子集，是的一連通子集。根據引理1，要么，要么。如果，則，因，所以 ，并且由引理，必有（注

6、：是連通子集），則 又，如果，則，由引理，必有，則 又，故有，即。 證畢。YXABxx 例4 我們可以利用定理3的方法去證明是連通的。記，顯然，。即是的覆蓋，而，是連通的（連通）故是的連通覆蓋。記，則連通，。由定理3知，連通。利用歸納法，可以證明連通。定理4 連通性是可乘的。證明： 設都是連通空間，則是的連通覆蓋。取，則連通，且與每個都相交。由定理3知，連通。證畢。5-2 連通分支與局部連通空間連通分支是研究不連通空間時引出的一個概念。定義3 拓撲空間的一個子集稱為的連通分支，如果它是連通的，并且不是其他連通子集的真子集。注釋：說是的一個連通分支，即，若的子集，且，則一定不連通。也就是說，連通

7、分支是極大連通子集。如果是連通的，則它只有一個連通分支，即自身。命題1 連通分支是閉集。證明： 設是的一個連通分支，由定理2，也是連通的。由的極大性推出。因此，是閉集。例如，在中，區間是連通的，則也是連通的。定義4 拓撲空間稱為局部連通的，如果，的所有連通鄰域構成的鄰域基。注釋：關于“局部連通的”有多種定義表達形式。粗略地說：局部連通性就是每一點處都有一個“任意小”的連通鄰域。“對于，的每一個鄰域，存在的一個連通鄰域，使得，此時稱處局部連通的；如果的每一點都是局部連通的，稱是局部連通的”。這一解釋可以從定義4直接推出。連通與局部連通的關系：（1）局部連通的空間不一定是連通的。例如，的子空間是不

8、連通的，但它是局部連通的。XX(0,1)AB(0,-1)p（2）連通的空間未必是局部連通的。例如，設是的子空間：，其中 這里被稱為“拓撲學家的正弦曲線”，事實上，可以看出。因為，是在連續映射下的區間的象，故是連通的。又（即是的極限點或稱聚點集合），故也是連通的。而在的每一點處都不是局部連通的，因而，不是局部連通的。命題2 局部連通空間的連通分支是開集。證明：設局部連通，是的一個連通分支，有一連通鄰域使得，所以是的內點。因此，為開集。5-3 道路連通性（弧連通性）一、關于道路（或弧）的概念道路是“曲線”概念的抽象化。曲線可以看作點的運動軌跡。如果將運動的起點、終點時刻分別記為0和1，則運動就是閉

9、區間到空間的一個連續映射，曲線就是這個映射的象。拓撲學中把這個連續映射稱作道路或弧。定義5 設為拓撲空間，從閉區間到的一個連續映射稱為中連接點到的弧或道路。和分別稱為道路的起點和終點（統稱端點）。注釋： 道路或弧是指映射，而不是它的象。象集是中的曲線。兩者不是同一個概念，有區別。定義6 對于中任意兩點，都存在中的道路,，則稱為道路連通的。例：是道路連通的。因為對于任意，定義道路, ， 中任一區間也是道路連通的。定理5 若則一定是連通的。證明： 設是道路連通的，,則有中的道路，使得,.于是在的同一連通子集中，從而它們屬于同一連通分支。由于的任意性，故只有一個連通分支，即連通。 注：定理5說明：

10、道路連通 連通， 但是連通 （未必）道路連通例如，在前面討論過的例子中，中圖形記為，上閉區間記為。我們知道，且是連通的，則也是連通的（即連通）。但是，中任一點與中任一點不能用道路連接，即不是道路連通的。定理6 道路連通空間的連續映象是道路連通的。證明：設是道路連通的，連續，取。由于道路連通，故有道路，使得，于是是中的道路，且。這即證明了是道路連通的。二、道路連通分支在拓撲學中規定它的點之間的一個關系：若點與可用上的道路連接，則說與相關，記做（弧連通的）。可以證明，是一個等價關系。定義7 拓撲空間在等價關系下分成的等價類，稱為是道路連通分支，簡稱道路分支。根據定義7，下面的結論是顯然的：（1），

11、僅屬于的某一個（唯一的）道路分支。（2）的每個道路連通子集包含在某個道路分支中。（3）是道路連通的 它只有一個道路分支。（4）拓撲空間的道路分支是它的極大道路連通子集。附錄：代數拓撲學中常見概念介紹（一）關于流形概念球面、環面以及我們所熟悉的其它曲面，它們往往比平面復雜得多。但是，從局部上分析，有些曲面上的每一點近旁都有一塊區域同胚與平面。具有這種局部歐氏特性的拓撲空間成為流形。定義1 一個Hausdorfrf空間稱為維（拓撲）流形，如果的任一點都有一個同胚于的開鄰域。二維流形稱為曲面。如，（球面），（環面），平面和Mbius帶都是曲面。沒有邊界點（全是內點）的緊致連通曲面稱為閉曲面。研究曲面

12、分類問題是代數拓撲的一項重要內容。（二）關于同倫與基本群概念同倫與基本群概念也是研究曲面分類中提出的概念。在拓撲學中，利用道路概念替代曲線，道路本身是一種映射。同倫是一種描述連續映射變形（道路收縮變形）的概念。定義2 設是的兩個道路，且和都以為起點，以為終點。如果存在連續映射使得對于每一個和， 則稱與是道路同倫的，稱為與之間的一個道路同倫，記。解釋：所謂與同倫，意味著可以“連續的”變為。Fx0x1ffXst101易知，同倫關系是等價關系。的所有道路在下分成的等價類稱為的道路類。從分析知，所謂與同倫，即上存在道路到的連續變形。從道路變形角度看，球面上閉曲線可以連續的變形收縮成一點，而環面上則不可以。見下圖。f這種差別可以反映閉曲面的不同幾何特征。關于道路的乘法和逆設是拓撲空間點到的道路連接，是到的道路連接，定義道路，的乘法是從到