1、探究解析幾何中的定值、最值問題江蘇省宜興中學儲六春橢圓、雙曲線、拋物線的定義中都存在定點、定值問題，如到兩個焦點的距離 之和(之差的絕對值)等于定長、至U定點的距離與到定直線的距離相等。其實在解 析幾何中有關定點和定值問題很多，在競賽考試中也常出現，下面我們討論一下幾 類定值問題：一.與解幾中的特殊點有關的定值問題在解析幾何中的一些特殊點，如焦點、頂點、準線與對稱軸的交點等x2 y例1 已知橢圓 -=1(a b 0) , Fi,F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的a b一個動點，作.FiPF-的旁切圓，求證該圓與 x軸切于定值。如果橢圓換成雙曲線又會給出怎樣的命題呢？雙曲線上的任一點 p與兩焦點

2、連成的三角形 中，作其內切圓，則與雙曲線的對稱軸的切點A應是雙曲線的頂點，若 P點在左支上，則切 點A應是左頂點，若點 P在右支上，則點 A應是右頂點。2 2x y例2已知橢圓 2 =1(a b 0) , F是橢圓的右焦點，過F任作一直線交橢a b圓于A、B兩點。2x已知雙曲線2a問在x軸的正半軸上是否存在一定點 P,使.BPF二.APF 。2y1(a0,b0)中,b過雙曲線的焦點作一直線與雙曲線的同一P,使 BPF 二 APF。此支交于A、B兩點，則在雙曲線的對稱軸上存在一定點 點是雙曲線的準線與對稱軸的交點。2 2X y例3已知P為橢圓2=1(a b 0)上的一點，A、B分別為橢圓的左、右

3、頂a b點，直線丨是橢圓的準線，直線 PA、PB分別交丨于M、N兩點，求證：以 MN為直 徑的圓過橢圓內的一定點。引申：若Fi,F2分別為橢圓的兩個焦點，求證:MFi NF2是一個定值。例4 .已知橢圓-1(a b 0),F,F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上的一個動點，過F?作/RPF?的外角平分線的垂線，垂足為M ,求證：OM的長為定值。在雙曲線中命題為2 2X y已知雙曲線2 (a 0,b0),a b雙曲線的兩個焦點， P為雙曲線上的任-F2作.f,pf2的角平分線的垂線，垂足為證：0M的長為定值。例5 .已知橢圓2 2X y a2 b2=1(a b 0) , O為坐標原點，過O作兩條互相

4、垂直的射.與解幾中的特殊量 a,b有關的定值問題:線OA、OB交橢圓于A、B兩點。1 1(1) 求證：二為定值；OA2 OB2(2) 求證：O到AB的距離為定值。注：江蘇08年數學競賽預賽考了這樣一題：2 2X y已知雙曲線 2=1(a 0,b0) , O為坐標原a b點，過O作兩條互相垂直的射線OA、OB交雙曲線父于A、B兩點。1 1(1)求證：OA2 OB2為定值;(2) 求證：O到AB的距離為定值。2 2X y例6若M , N是橢圓C :二 2 =1上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任a b意一點，當直線 pm、pn的斜率都存在，并記為 kpM,kpN時，求證：kPM -kpN為定值。

5、kPN提示：只要設點代入，可求得結論三與其它問題有關的定值x2例7如圖，點A是橢圓一42y1的上頂點，過點 A的直線2第5頁 1 h：y =kx，2,l2：y x ,2(k0,-1)分別交橢圓于 B、C兩點，當k變化k時，求證：(1)直線BC的斜率小于-2 ; ( 2)直線BC經過y軸上的一個定點。2X2例&已知橢圓寸=1的左、右兩個頂點分別為 A , B,直線X二t(-2 ： t ： 2)4與橢圓相交于 M、N兩點。(1)求經過三點 A、M、N的圓。勺方程；(2)設過B、M、N的圓為圓C2，求證：無論t如何變化，圓 C1與圓C 2的圓心距為定值；四解析幾何中的最值X2 y2例9橢圓2 -1(

6、a b 0)的左、右兩個焦點分別為 只丁2，點A是橢圓的a b下頂點，過F2作垂直于X軸的直線交橢圓于 M、N兩點，(M位于第一象限)，用kAM表示直線AM的斜率(其它類似記號意義相同)，記 .二如，.二工也。屁“kAN(1) 求證：4 1 =0 ;(2) 求- 的最小值以及取得最小值時橢圓的離心率；(3) 是否存在這樣的橢圓，使AM _ F1N,F1M JAN，如果存在，求出橢圓的離心率，如果不存在，說明理由。例10.( 08年全國聯賽)如圖， P是拋物線y2 = 2x上的動點，點B, C在y軸上，第6頁2例11 .（ 01年全國聯賽）設曲線 0 :篤 y2 =1 （a為正常數）與C2： y

7、2=2a（x+m）在x軸上方僅有一個公共點 P. 求實數m的取值范圍（用a表示）；1O為原點，若 G與x軸的負半軸交于點 A,當0a 時，試求 OAP的面積2的最大值（用a表示）.練習1.直線h : y = kx 1與雙曲線 x2 - y2 = 1的左支交于 A , B兩點；直線12過點P（-2, 0）以及AB的中點M , CD是y軸上的一條線段，對于任意的直線12與線段CD都沒有公共點，試問線段 CD的最大值是否存在？若存在，求出此值，若 不存在，請說明理由。2 .如圖，梯形 ABCD （AB / CD / y 軸，且 AB CD ） 內接于橢圓2 2牛占=1（a b 0） , E是對角線a bAB =m,CD =n, OE = d試求m -nAC 與 BD 的交點，設的最大值。23 .如圖，已知拋物線 x =2py(p 0)與直線4 .在平面上給定不共線的三點A、B、C,以線段AB為一條軸(長軸或短軸)作一個不經過C點的橢圓，與另兩條邊 AC、BC分別交于E、F,過E