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文檔簡介

1、,4.2 方差,一、方差的概念 引例： 現有甲、乙兩位射手，甲射手射擊中命中的環數 用X表示，乙射手射擊中命中的環數用Y表示，甲、乙兩射 手射擊中命中的環數分布分別為： 現在問甲、乙兩位射手誰的射擊水平誰更穩定些？ 易知，甲、乙兩位射手每次射擊命中的平均環數分別為 ， ,可見，甲、乙兩位射手每次射擊命中的平均環數相等，這 表明這兩位射手的射擊水平相當但是，誰的射擊水平誰更穩 定呢？通常的想法是，看誰命中的環數 與其平均環數 的 偏差絕對值 的平均值最小,即 最小. 愈小，X的值就愈集中于 附近，表明此射手發揮愈穩定; 愈大，X的值在 附近就愈分散，表明此射手發揮 愈不穩定然而在實際中 帶有絕對

2、值，在數學運算 上不方便，因而，通常用 來表達隨機變量X取值的 分散程度或集中程度 據此分析，我們可以算得 ， 由于 ,因此,我們認為乙的射擊水平更 穩定一些,可以看出， 是用來描述隨機變量X與其平均值 偏 離程度的一種量，為此我們給出如下定義 定義4.3 設X是一個隨機變量，若 存在，則稱 為X的方差（Variance），記為 或 ，即 ， （412） 而稱 為X的標準差（Standard Deviation）或均方差,記為 ,即 ，它與X有相同的量綱 隨機變量X的方差 刻畫的是X的取值關于其數學期望 的分散或集中程度， 愈小，X的取值關于 愈集中； 愈大，X的取值關于 愈分散 由定義可知，

3、隨機變量X的方差是其函數 的數學 期望，因此，從計算上講，方差與數學期望沒有質的區別，通 常用下列公式計算方差： （413） 這是因為 ，所以,二、離散型隨機變量的方差 設X為離散型隨機變量，其分布列為 若 存在，且 收斂，則 （414） 或 （415）,三、連續型隨機變量的方差 設X為連續型隨機變量，其概率密度函數為 ， 存在, 若 收斂，則 （416） 或 （417） 四、方差的性質 設X是一個隨機變量,c為常數，則有 性質1. ； 性質2. ；,性質3. 若 相互獨立，則 ;特別地 證明1. ； 2. ； 3. 因為 相互獨立，所以 與 也相互獨立,于是 （418） 因此 ,此性質可以推

4、廣到n維隨機變量的情形. 設 相互 獨立， 是常數，則 （419） 性質4. 的充分必要條件是X以概率1取常數 即 （證略） 五、幾類重要隨機變量的數學期望和方差 1.( 0 1 )分布 設X的分布列為 由例4.8知： ， ,2. 二項分布 設 ,由二項分布的定義,X是n重貝努里試驗中事件 A發生的次數,且在每次試驗中A發生的概率為p,引入隨機變量 則 相互獨立，且均服從分布列 顯然 ，又 ， 因此 = = = ； 利用定義也可以直接求得二項分布的數學期望和方差，但 過程較繁瑣，有興趣的讀者不妨一試,3 . 泊松分布 設 ,由于 ,因此， ； ， . 4. 均勻分布 設 ，則其概率密度函數 根據定義，, 5

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