1習(xí)題1111判斷下列方程是幾階微分方程（1）；（2）；23DTANSI1YTT76D0XYXY（3）；（4）20XX42解微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，叫做微分方程的階所以有，（1）一階微分方程；（2）一階微分方程；（3）三階微分方程；（4）三階微分方程2指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解（1），；XY25X（2），；03SIN4COSYX（3），；2E（4），0XYLNXY解（1）將代入所給微分方程的左邊，得左邊，而右邊510YX210X左邊，所以是的解22025（2）將，代入所給微分方程的左邊，3COS4IN3SIN4COSYX得左邊右邊，所以是INS0X3SIN4COSYX所給微分方程的解0Y（3）將，代入所給微分方程2EX2EX2E4EXXY的左邊，得左邊（右邊），22240XXXX所以不是所給微分方程的解2EY0Y（4）對的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得LNXYX，1Y即X2再對求導(dǎo)，得X，2YXYXY即，20所以是所給微分方程的解LNYX2XYYY3確定下列各函數(shù)關(guān)系式中所含參數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件（1），；（2），2C05X210E,XCY0XY解（1）將，代入微分方程，得Y205所以，所求函數(shù)為2X（2），將，22112EEEXXYCC0XY分別代入01X和，21X212XY得，10C2所以，所求函數(shù)為2EXY4能否適當(dāng)?shù)剡x取常數(shù)，使函數(shù)成為方程的解EXY90Y解因?yàn)椋詾槭购瘮?shù)成為方程X2EX的解，只須滿足90Y，2E90X即2X而，因此必有，即或，從而當(dāng)，或時，E0X29033函數(shù)均為方程的解33,EXYY5消去下列各式中的任意常數(shù)，寫出相應(yīng)的微分方程12,C（1）；（2）；2CXTANYXC（3）；（4）12EXY21解注意到，含一個任意常數(shù)及兩個變量的關(guān)系式對應(yīng)于一階微分方程；含3兩個獨(dú)立常數(shù)的式子對應(yīng)于二階微分方程（1）由兩邊對求導(dǎo)，得2YCXX，YC代入原關(guān)系式，得所求的微分方程為22X（2）由兩邊對求導(dǎo)，得TANYXC，2TANSECYC即2TTANXX而，故所求的微分方程為TANYXC，2YX化簡得2YY（3）由兩邊對求導(dǎo)，得12EXXYC，12EXXC兩邊再對求導(dǎo)，得，12XXY這樣便可得所求的微分方程為Y（4）由兩邊對求導(dǎo)，得21YCX，122C將代入上式，并化簡得212X，1XY對上式兩邊再對求導(dǎo)，得，2故所求的微分方程為0XY習(xí)題1121求下列微分方程的通解或特解4（1）；（2）；LN0XYCOSINSICO0XYDXYD（3）；（4）；2Y1（5），；X01（6），22SIND3COSDYY16X解（1）分離變量，得，LNYX兩端積分，得，LLC即，LNYX所以原方程的通解為ECX注該等式中的與等本應(yīng)寫為與等，去絕對值符號時會出現(xiàn)號；XC|但這些號可認(rèn)為含于最后答案的任意常數(shù)中去了，這樣書寫簡潔些，可避開絕對值與正負(fù)號的冗繁討論，使注意力集中到解法方面，本書都做這樣的處理（2）原方程分離變量，得，COSCSDINIYX兩端積分，得，LSILSILNC即，LNILYX故原方程的通解為SI（3）原方程可化成，2D1YX分離變量，得，2YX5兩端積分，得，12LN|1|XCY即2LN|1|X是原方程的通解（4）分離變量，得，D11YX兩邊積分，得，LNLNLC即E1XYX是原方程的通解（5）分離變量，得，2D31YX兩端積分，得，22LNLN6YC即12623EX由定解條件，知01XY，即，16C16故所求特解為，即12623XYE223EXY（6）將方程兩邊同除以，得SIN0，2COD3IXY兩端積分，得6，12COSD3INXYC積分后得（其中），2LNLSILXY1LN從而有，23INXC代入初始條件，得16XY4SI26因此，所求方程滿足初始條件的特解為，23INXY2一曲線過點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸間任意點(diǎn)處的切線被切點(diǎn)所平分，求此曲0,M線的方程解設(shè)曲線的方程為，過點(diǎn)的切線與X軸和Y軸的交點(diǎn)分別YFX,MXY為及，則點(diǎn)就是該切線的中點(diǎn)于是有2,0AX,2B,AB，即，且，YXY23Y分離變量后，有，1DXY積分得，LNLC即YX由定解條件，有23XY，6C故為所求的曲線6YX3一粒質(zhì)量為20克的子彈以速度（米/秒）打進(jìn)一塊厚度為10厘米02V的木板，然后穿過木板以速度（米/秒）離開木板若該木板對子彈的阻力187與運(yùn)動速度的平方成正比（比例系數(shù)為K），問子彈穿過木板的時間解依題意有，2DVMT0T即，21DKVT兩端積分得，（其中20克002千克），10KTCTVM代入定解條件，得02T，120故有10VKT設(shè)子彈穿過木板的時間為秒，則T021D1TK0LNTKT，1L015K又已知時，米/秒，于是TT180V，210KT從而，5為此有，01LN150T所以（秒），7LN2T508962故子彈穿過木板運(yùn)動持續(xù)了（秒）0884求下列齊次方程的通解或特解（1）；（2）；20XYX2D0XYX（3）；（4）；3DY1E1DY（5），；（6），22X1X230XYX01XY解（1）原方程變形，得，21YX令，即，有，則原方程可進(jìn)一步化為YUXUXYU，21X分離變量，得，21DUX兩端積分得，2LNLNC即，21UX將代入上式并整理，得原方程的通解為YUX22YXC（2）原方程變形，得，即2DXY21DYX令，即，有，則原方程可進(jìn)一步化為YUXUXU，21X即9，1DUX兩端積分，得，21LN|C將代入上式并整理，得原方程的通解為YUX（其中）2L|YX12（3）原方程變形，得，即，32DXY32D1YX令，有，則原方程可進(jìn)一步化為YUXYU，32D1UX即，231UX兩端積分，得，31LN2LLNC即，23XU將代入上式并整理，得原方程的通解為YUX3XYCX（4）顯然，原方程是一個齊次方程，又注意到方程的左端可以看成是以為XY變量的函數(shù)，故令，即，有，則原方程可化為XUYUYDXUY，12E10U整理并分離變量，得，D2EUY兩端積分，得10，LN2ELNUYC即UY將代入上式并整理，得原方程的通解為XUY2EXYC（5）原方程可化為2DX令，有，則原方程可進(jìn)一步化為YUXDUX，2DUX即，21UX兩端積分，得，LN|C將代入上式，得YUX，LN|XY代入初始條件，得1XY1LC因此，所求方程滿足初始條件的特解為LN|XY（6）原方程可寫成2D130XY令，即，有，則原方程成為XUYUYDU11，2D130UUY分離變量，得，21UY兩端積分，得，2LNLNC即，21UY代入并整理，得通解XUY23XYC由初始條件，得于是所求特解為01XC325設(shè)有連結(jié)點(diǎn)和的一段向上凸的曲線弧，對于上任一點(diǎn),AAO，,PXY曲線弧與直線段所圍成圖形的面積為，求曲線弧的方程AOP2X解設(shè)曲線弧的方程為，依題意有YX，201DX上式兩端對X求導(dǎo)，2YXYX即得微分方程，4X令，有，則微分方程可化為YUXDU，即，D4XD4UX積分得，LN|UC因，故有YUXYXO11A1,1PX,YXYY124LN|YXC又因曲線過點(diǎn)，故于是得曲線弧的方程是1,A1CL|6化下列方程為齊次方程，并求出通解（1）；（2）1D41D0XYYX3解（1）原方程可寫成，1D4YX令，解得交點(diǎn)為，作坐標(biāo)平移變換，041XY01XX，有Y，DD1YYXX所以原方程可進(jìn)一步化為，D4Y這是齊次方程設(shè)，則，于是（13）式可化為YUXUUX，D/14Y即，D1UX變量分離，得，24U兩端積分，得，2111LNARCTNLXC即，2L4RT2XUU12將代入上式，得原方程的通解為1YYUXX1322LN41ARCTN1YYXCX（2）原方程可寫成，D3XY該方程屬于類型，一般可令DYFAXBYCUAXBC令，有，則原方程可化為UD1U，43UX即，D2XU積分得，3LNC將代入上式，得原方程的通解為UXY2LXYX習(xí)題1131求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；2EXY23XYDTAN5YX（4）；（5）；（6）1LNYX26D0YXY2D解（1）DDEEPXPXQC222DDEDXXX221EXXC（2）原方程可化為，3YX故通解為1433DD3321EXXYCCX（3）原方程可化為，COS5SDINIYX故通解為COSCOSDDININEEIXXYC25SSISI5IXXX（4）所給方程的通解為11DDLNLN1ELNDXXYCXCLLX（5）方程可化為，2D6XY即，31D2XYY故通解為33DDEEYYXC321Y3C（6）3D3D3E2E2D33C2求下列微分方程的特解15（1），；（2），DTANSECYX0XYCOSDT5EXYX；24X（3），23D1YX1XY解（1）TANDTANDESCEXCLNCOSLNCOSEEDXXC，1OOXXS代入初始條件，得故所求特解為0,Y0COSYX（2）COTDCOTDSE5EXXYC，COS1INSINXCOS15ESINXC代入初始條件，得，故所求特解為,42XY，COS15EINXY即COSSIX（3）3322DDEEXXYC22113LN3LNEDXC2222111333DXXXX，22211233EEXXXC代入初始條件，得，故所求特解為,0Y213EXY3求一曲線的方程，這曲線通過原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于,XY162XY解設(shè)曲線方程為，依題意有，即從而YX2YX2YXDDE2EDCCE2EXXX由，得故所求曲線的方程為0XYC21XY4設(shè)曲線積分在右半平面（）內(nèi)與路徑無關(guān)，DDLFXFY0X其中可導(dǎo)，且，求FX1FF解依題意及曲線積分與路徑無關(guān)的條件，有，2XFYFX即2FFF記，即得微分方程及初始條件為YFX，1YX1XY于是，11DD22EDXXYCXC3X代入初始條件，得，從而有1,XY123FXX5求下列伯努利方程的通解（1）；（2）；2DYX423YXY（3）；413XY17（4）3D1LND0XYX解（1）方程可以化為21DYX令，則，即代入上面的方程，得1ZYDZYXZX，1DZ即，ZX其通解為，11DDELNXXZCX所以原方程的通解為1LXY（2）原方程化為41233DXX令，則，即代入上面的方程，得13ZY43D1ZYXYZ，2D3ZX即，2DZX其通解為22DD33EEXXZC24332733XC18所以原方程的通解為12337YCX（3）原方程化為4312令，則，于是原方程化為3ZY4ZY，ZX其通解為DDE12EE12EDXXXXZCC，XXX所以原方程的通解為321EXY（4）原方程化為，即31LNYXX321LNYXX令，則，則原方程化為2ZY3Z，21LNZX其通解為22DDELEXXZC221LN331LDXXX23321LN9C，2LXX所以原方程的通解為，221LN39YC19或?qū)懗?34LN9XXCY習(xí)題1141求下列全微分方程的通解（1）；（2）；2DD0XYY2236D46D0XYXY（3）34X解（1）易知，因?yàn)镻Y21QXY，所以原給定的方程為全微分方程而2001,DDXYUYX，22214Y故所求方程的通解為2214XYC（2）易知，因?yàn)?36PX36Q，1PXY所以原給定的方程為全微分方程而23200,3D46DXYUYXY，故所求方程的通解為342XYC（3）易知，因?yàn)?2PY2Q，46PXQY20在的區(qū)域內(nèi)為全微分方程，故0Y24011,2D3DXYUYXY222331Y所求方程的通解為，（或），213XYC23XYC即23XY2用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解（1）；D0XY（2）2231XY解（1）用乘方程，便得到了全微分方程2，21D0YX即2YYXX故通解為CX（2）用乘方程，便得到了全微分方程21Y，21D3D0XYXY，21D30XY故原方程的通解為21213XYC3用積分因子法解下列一階線性方程（1）；（2）24LNXYTANYX解（1）將原方程寫成，4LNXY此方程兩端乘以后變成2DEX，24LNYX即，2L兩端積分，得，2224LNDLXYXXC故原方程的通解為2L1X（2）方程兩端乘以，則方程變?yōu)門ANDECOSX，IY即，CSSX兩端積分，得，ODINCOYXC故原方程的通解為TA1CSXX習(xí)題1151求下列微分方程的通解（1）；（2）；2YXEXY（3）54022解（1），112DARCTNYXCX12ARCTN212RTALNXC（2），1EDEXXY，1212EXC3E2DXY23XX（作為最后的結(jié)果，這里也可以直接寫成）11C（3）令，則有，可知，從而有4ZY0DZXZX，4Y再逐次積分，即得原方程的通解5321245YCXXC2求下列微分方程的通解（1）；（2）；YX0XY（3）；（4）303解（1）令，則，且原方程化為PYPX利用一階線性方程的求解公式，得DD11EEDXXXXPCCEXXX即，1EXP再積分，得通解2112EDXXYCC（2）令，則，且原方程化為P，0P分離變量，得23，DPX積分得，1LNLCX即，1P再積分，得通解12DLN|CYX（3）令，則，且原方程化為YPP，3D10Y分離變量，得，3PY積分得，21C故，2112|YPYY再分離變量，得21|DXCY由于，故上式兩端積分，|SGNY，即，21DYX2112SGNYCX兩邊平方，得2211CY（4）令，則，且原方程化為，即YPDP3DPY242D10PY若，則是原方程的解，但不是通解0PYC若，由于的連續(xù)性，必在的某區(qū)間有于是PXP，2D10PY分離變量，得，21P積分得，1ARCTNYC即，1TP亦即1COTDYCX積分得12LNSILN即，12IEXYC也可寫成21ARCSINX由于當(dāng)時，故前面所得的解也包含在這個通解之內(nèi)20C1YY3求下列初值問題的解（1），；SINYX02Y（2），；2Y13（3），；YE0（4），210Y解（1）易知，21COSYXC312SIN6XCX由初值條件，知，得；由，知0010Y25，得故特解為210C213SIN16YX（2）令，則，且原方程化為YP，21PX變量分離，得，2DX兩端積分，得，21YPC再兩端積分，得，312X由初值條件，有03Y，210C解得，13由初值條件，有01Y20C解得，21故所給初值條件的微分方程的特解為3YX（3）在原方程兩端同乘以，得，即，2EY2EY積分得，21YC代入初始條件，得0Y，1從而有2EY26分離變量后積分，2DE1YX即，2DEYX得，2ARCSINYC代入初始條件，得0Y2于是得符合所給初值條件的特解為，ESINYX即LCOLE（4）令，則，且原方程化為YPDPY，21Y分離變量，得，2D1P兩端積分，得，21LNYC代入初始條件，得0Y10從而，即，2LNYP21EYYP再分離變量，得，即21DEYX2DDE1YX兩端積分，得27，2ARCHEYXC代入初始條件，得0Y，20C從而有滿足所給初始條件的特解為，即ARCHEYXECHYX或?qū)懗蒐N4試求的經(jīng)過點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線YX0,1M12YX解由于直線在處的切線斜率為，依題設(shè)知，所求積分曲2,線是初值問題，YX0102XY的解由，積分得YX，21YC再積分，得，2126X代入初始條件，解得01XY0X，12C于是所求積分曲線的方程為216YX5對任意的，曲線上的點(diǎn)處的切線在軸上的截距等0XF,FXY于，求的表達(dá)式01DXFTF解設(shè)曲線的方程為，其中有二階導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)YFXYFX處的切線方程為,MXF28，YFXXX令，知切線在軸上的截距為0XY，F(xiàn)F據(jù)題意，有，即01DXFTFXF20DXXFFFT兩端求導(dǎo)，得，2FFFFFX即0,XFFX已知，故有0X,FF令，則，且原方程化為YPYD0,PX分離變量，得，1DPX兩端積分，得，即1LNLPCX1CYPX再對兩端積分，得，即12LY12LNF習(xí)題1161下列函數(shù)組中，在定義的區(qū)間內(nèi)，哪些是線性無關(guān)的（1），；（2），；EX23SINX2COSX（3），；（4），COS2INXL解（1）因?yàn)椋瑵M足1EY2X常數(shù)，212EXY所以函數(shù)組，是線性無關(guān)的EX29（2）因?yàn)椋瑵M足213SINYX21COSYX，223IN所以函數(shù)組，是線性相關(guān)的2SIXCSX（3）因?yàn)椋瑵M足1OY2IY常數(shù)，12OSCT2INX所以函數(shù)組，是線性無關(guān)的CS2XI（4）因?yàn)椋瑵M足1LY2LY常數(shù)，12NLX所以函數(shù)組，是線性無關(guān)的LNX2驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該方程的1COSY2SIYX20Y通解證明由，得，；1SX1SIN21COSX由，得，2INYCOYXINY可見，2SIN0I1,2I故及都是方程的解1COSYX2SINYX2Y又因?yàn)槌?shù)，故與線性無關(guān)于是所給方12T1COSX2SINYX程的通解為1212CSIYCX3驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該21EXYEX40YY方程的通解證明由，得，；21X21XY21EX由，得，2EY22X2364XY因?yàn)椋?2221144EE0XXXXY30222232464E1E4E0XXXYXY所以及都是方程的解1EEX0YY又因?yàn)槌?shù)，故與線性無關(guān)，于是所給方程的通解21Y21EX2EX為2121EXYC4若，都是方程13Y22X3X（）PQYF0F當(dāng)，都是連續(xù)函數(shù)時，求此方程的通解PXQF解因?yàn)椋?21YX32EXY所以及都是方程對應(yīng)齊次方程的特解又因?yàn)?XEPF常數(shù)，所以與線性無關(guān)因此，所給方程3221Y2132的通解為PXQYFX12EXYC習(xí)題1171求下列微分方程的通解（1）；（2）；40Y310YY（3）；（4）；96解（1）所給方程對應(yīng)的特征方程為，240R解之，得，12所以原方程的通解為412EXYC（2）所給方程對應(yīng)的特征方程為230R解之，得31，15R2所以原方程的通解為12EXXYC（3）所給方程對應(yīng)的特征方程為2960R解之，得，123R所以原方程的通解為1312EXYC（4）所給方程對應(yīng)的特征方程為，0R解之，得，1I2I所以原方程的通解為12COSINYCX（5）所給方程對應(yīng)的特征方程為，2650R解之，得，134I2I所以原方程的通解為12ECOSIN4XYCX（6）所給方程對應(yīng)的特征方程為，即425360R90R解之，得，1,23,4I所以原方程的通解為1234ECOSIN3XXYCCX2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解（1）；0043,6,1XXYY（2）；232（3）；0025,2,5XXYY（4）133Y解（1）所給方程對應(yīng)的特征方程為，240R解之，得，123所以原方程的通解為，12EXXYC從而，312XX代入初始條件，得006,XXY126,30C解得，124,C故所求特解為34EXY（2）所給方程對應(yīng)的特征方程為，210R解之，得，1,2所以原方程的通解為，121EXYC從而，12221EXXX代入初始條件，得002,XXY3312,0,C解得，12,C故所求特解為12EXY（3）所給方程對應(yīng)的特征方程為，250R解之，得，1,2I所以原方程的通解為，12COS5INYCX從而，12ICSX代入初始條件，得002,XXY12,5C解得，12,C故所求特解為COS5INYX（4）所給方程對應(yīng)的特征方程為，24130R解之，得，1,2I所以原方程的通解為，12ECOS3INXYCX從而，34，21221E3COS3SINXYCXCX代入初始條件，得00,X120,3,解得，120,C故所求特解為2ESIN3XY3具有特解，的最低階常系數(shù)齊次線性微分方程是21XYCO_解由題意可知特征方程至少有一個是三重實(shí)根，是一對共軛0RIR2復(fù)數(shù)根因此，滿足條件的最低階的特征方程應(yīng)為，即32R532所以滿足條件的最低階常系數(shù)齊次線性微分方程是05Y習(xí)題1181求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系數(shù)）（1）；（2）；231YXYX（3）；（4）；E3EX（5）；（6）；X2（7）；（8）；26SINY5SINXY（9）；（10）ECOXEY解（1）是型（其中，），對應(yīng)231FMP231MPX0齊次方程的特征方程為20R易知，不是特征方程的根，所以特解的形式為0Y（這里A、B和C為待定系數(shù)）2YAXBC35（2）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程的特FXEXMPMPX0征方程為20R易知，是特征方程的一個單根，所以特解的形式為0Y（這里A和B為待定系數(shù)）2YXABX（3）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程的特EFMP1MPX征方程為，20R易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式為1Y（其中A為待定系數(shù)）2EXY（4）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程的EXFMP1MPX特征方程為，230R易知，是特征方程的一個單根，所以特解的形式為1Y（其中A為待定系數(shù)）EXY（5）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程的EXFMPMPX1特征方程為，230R易知，是特征方程的一個單根，所以特解的形式為1Y（其中A和B為待定系數(shù)）2EEXXYAB（6）是型（其中，），23FXMP23MPX1對應(yīng)齊次方程的特征方程為，20R易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式為1Y（其中A、B和C為待定系數(shù)）2EXYAXBC（7）屬于型（其中，ESINFCOSSINLPX2，）對應(yīng)齊次方程的特征方程為10LP1，2760R36易知，不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為I2I（其中A、B為待定系數(shù)）ECOSNXYABX（8）屬于型（其中，2INFCOSSINLPX2，）對應(yīng)齊次方程的特征方程為10LPX1X，2450R易知，是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為I2I（其中A和B為待定系數(shù)）ECOSINXYABX（9）屬于型（其中，2FECOSSINLPX2，）對應(yīng)齊次方程的特征方程為1LPX0NX，20R易知，不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為I2I（其中A、B、C和D為待定系數(shù)）2ECOSSINXYABXCDX（10）屬于型（其中，EINFECOSINLPX1，）對應(yīng)齊次方程的特征方程為10LPX，20R易知，是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為I1I（其中A、B、C和D為待定系數(shù)）ECOSSINXYABXCDX2求下列各微分方程的通解（1）；（2）；2EXY32EXY（3）（4）3691COSX解（1）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程XFMPMP1的特征方程為，210R解得，12故對應(yīng)齊次方程的通解為12EXXYC37因?yàn)槭遣皇翘卣鞣匠痰母蕴亟獾男问綖?Y，EXYA代入原方程得22XX消去，有，即EX1A，EXY故原方程的通解為12XXYC（2）是型（其中，），對應(yīng)齊次方3EXFMP3MP1程的特征方程為，230R解得，12故對應(yīng)齊次方程的通解為12EXXYC因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃蕴亟獾男问綖?Y，2EXXYXAB代入原方程并消去，得EX23比較系數(shù)，得，AB即，23EXY故原方程的通解為221E3EXXXYYC（3）是型（其中，），對應(yīng)齊次3XFXMP1MP3方程的特征方程為，2690R解得38，1,23R故對應(yīng)齊次方程的通解為312EXYC因?yàn)槭翘卣鞣匠痰亩馗蕴亟獾男问綖?Y，23323XXYXAB代入原方程并消去，得EX61比較系數(shù)，得，A2B即，3231E6XYX故原方程的通解為3323121EEXXYYC（4）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為20R解得，1,2I故對應(yīng)齊次方程的通解為12COSINYCX因，對應(yīng)于方程，可設(shè)特解為；對應(yīng)于方程ECOSXFEY1EXYA（是特征方程的根）可設(shè)特解為，YI2COSINBCX故由疊加原理，設(shè)原方程的特解為12ECOSINXYABCX代入原方程，得，ECOSIXXC比較系數(shù)，得，12A0B12即39，1ESIN2XY故原方程的通解為121COSIESIN2XYYCX3已知函數(shù)所確定的曲線與軸相切于原點(diǎn)，且滿足FX2SINFX，試求F解顯然函數(shù)滿足初值條件YX，2SINX0Y0可解得方程的通解為I121COSICOSYYCX由定解條件，有00120,解得12,C所求的曲線為1COSINCOS2YXX4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求X0EDXTTX解由于函數(shù)連續(xù)，故可導(dǎo)，從而有0XT，0EDXXT，00EDXXTT于是有初值問題，EX1可解得方程的通解為X40121COSINEXXC由定解條件，可解得，故所求的函數(shù)為011COSINE2XX5求下列微分方程的通解（1）；（2）250XY2D30YXX（3）LNX解（1）令，即，原方程化為二階常系數(shù)的齊次線性方程ET，2D30YTT其特征方程為，特征根，因此通解為2310R1R2121ETTYC再以代之，得原方程的通解為LNTX121X（2）令，即，原方程化為二階常系數(shù)的齊次線性方程ETLN，2D0YTT其特征方程為，21R特征根為，因此通解為12R12ETYCT將代入上式，則得原方程的通解為LNTXLN1212LLNXXX（3）令，即，原方程化為二階常系數(shù)的非齊次線性方程ET，2DETYT（）其特征方程為，特征根，故對應(yīng)齊次方程通解為20R1R24121ETTYC設(shè)方程特解為，TAB代入方程（），經(jīng)比較系數(shù)得，于是21ETY故方程（）的通解為21EETTTYC把變量還原為，將代入上式，則得原方程的通解為TXLNTX211LNYX習(xí)題1191設(shè)圓柱形浮筒，直徑為05M，鉛直放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒在水中上下振動的周期為2S，求浮筒的質(zhì)量解設(shè)X軸的正向鉛直向下，原點(diǎn)在水面處平衡狀態(tài)下浮筒上一點(diǎn)A在水平面處，又設(shè)在時刻T，點(diǎn)A的位置為，此時它受到的恢復(fù)力的大小為XT（是浮筒的半徑），恢復(fù)力的方向與位移方向相反，故有210|GVR排水，210MGR其中M是浮筒的質(zhì)量記，則得微分方程22G20X解其對應(yīng)的特征方程，得，故20R1,IR，12COSINSIXCTTAT21AC1SINCA由于振動周期，故，即T，210GRM從中解出浮筒的質(zhì)量為42圖119圖1110（KG）21095GRM2設(shè)有一個由電阻R，電感自感L，電容C和電源E串聯(lián)組成的電路簡稱RLC串聯(lián)電路，其中R,L,C為常數(shù)，電源電動勢是，這里及也是常數(shù)SINMETME（圖119）求出RLC串聯(lián)電路中電容C上的電壓所滿足的微分方程CUT解設(shè)電路中的電流為IT，電容器所帶的電量為QT，自感電動勢為LET由電學(xué)知識知道,DQIT,CULDIET因而在RLC電路中各元件的電壓降分別為（1）,1RCLCIDIUELUTQ根據(jù)回路電壓定律，得RLCE將1式代入上式，得,CU變形，得（2）1SINMCCERTLL這就是串聯(lián)電路中電容C上的電壓所滿足的微分方程T如果電容C經(jīng)充電后，撤去外接電源即E0，方程2成為（3）1CCRUL3在如圖1110所示的電路中，先將開關(guān)K撥向A，使電容充電，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后再將開關(guān)撥向B設(shè)開關(guān)K撥43向A的時間T0,求T0時回路中的電流IT已知E20伏，C05法拉，L16亨利，R48歐姆，且0,TI025TDI解在電路RLC中各元件的電壓降分別為,1RCLUIQDIET根據(jù)回路電壓定律，得RLCU將上述各式代入，得1DIQET在上式兩邊對T求導(dǎo)，又因?yàn)樗杂?IT210,DLRITTC即2IIDTLT將R48，L16，C05代入，得（）25304IIT方程（）的特征方程為2R特征根為15,2R1所以方程的通解為4451221TTICE為求得滿足初始條件的特解，求導(dǎo)數(shù)得51221TTIE將初始條件代入，得0,TI02TDI120,55C解得因此得回路電流為125,4C51224TTIE下圖為電流I的圖象當(dāng)開關(guān)K撥向B后，這回路中的反向電流I，先由0開始逐漸增大，達(dá)到最大值后又逐漸趨于零習(xí)題11101對于技術(shù)革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型（1）推廣工作通過已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行，推廣速度與已采用新技術(shù)人數(shù)成正比，推廣是無限的；（2）總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度還會隨著尚未采用新技術(shù)人數(shù)的減少而降低；（3）在第（2）問的前提下考慮廣告媒體的傳播作用解設(shè)時刻采用新技術(shù)的人數(shù)為XT（1）指數(shù)模型圖111145DXT（2）LOGISTIC模型，為總?cè)藬?shù)DAXNT（3）廣告等媒介在早期作用比較大，它對傳播速度的影響與尚未采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，在模型（2）的基礎(chǔ)上，有DXABXT第（2）問和第（3）問的區(qū)別見下圖2偵察機(jī)搜索潛艇設(shè)T0時艇在O點(diǎn)，飛機(jī)在A點(diǎn)，OA6里此時艇潛入水中并沿著飛機(jī)不知道的某一方向以直線形式逃去，艇速20里/時，飛機(jī)以速度40里/小時按照待定的航線搜索潛艇，當(dāng)且僅當(dāng)飛到艇的正上方時才可發(fā)現(xiàn)它（1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，A點(diǎn)位于的向徑上，見右,R0圖分析圖中由P、Q、R組成的小三角形，證明在有限時間內(nèi)飛機(jī)一定可以搜索到潛艇的航線，是先從A點(diǎn)沿直線飛到某點(diǎn)，再從0P沿一條對數(shù)螺線飛行一周，而是一個圓周0P上的任一點(diǎn)給出對數(shù)螺線的表達(dá)式，并畫出一條航線的示意圖；（2）為了使整條航線是光滑的，直線段應(yīng)與對數(shù)螺線在點(diǎn)相切，找出這0P條光滑的航線；（3）在所有一定可以發(fā)現(xiàn)潛艇的航線中哪一條航線最短，長度是多少，光滑航線的長度又是多少解（1）證明記飛機(jī)速度40里/小時，艇速20里/時設(shè)是所求航UVPRXX（2）（3）XT（2）O（3）O,DQR,DRRA,PR46線上的一段，即當(dāng)潛艇沿航行時飛機(jī)、潛艇在相遇（圖1），那么當(dāng)潛艇沿,R航行時，二者必在相遇，記弧長為，則，,RPRDS2URV注意到，即可得到，這是一條對數(shù)螺線，222DDSR0/3ER是滿足的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，而位于以為圓心、半徑0,R0/OPA02,為4里的圓周上飛機(jī)從沿直線飛至，再沿螺線飛0行，最遠(yuǎn)飛行一圈至，總能發(fā)現(xiàn)潛艇（圖2中實(shí)線為2P飛機(jī)航線，虛線為潛艇航線）（2）考察對數(shù)螺線上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑夾角（圖3），有P，對于，夾角，而螺線起始點(diǎn)所在的圓DCOSR03ER1TAN30P周上只有點(diǎn)使與的夾角也是（圖4），所以沿的航線是12,P1AO13A光滑的O,DQRD,RRA,PR圖1SA,PR圖3DAO6123,P3圖4OA圖20P2P47O（3）一定可以發(fā)現(xiàn)潛艇的航線是，直線段加上螺線一圈（圖2）顯0AP0P然最短的航線是取點(diǎn)為（2，0），沿螺線飛行至點(diǎn)點(diǎn)的向徑P32ER22即為潛艇的航程，因?yàn)椋曙w機(jī)最短航線的長度為23ERUV里15同理，光滑航線的長度為里23E60如果計算螺線的長度，則需代入求積分0R0222DR總習(xí)題十一（A）1填空題（1）已知及是微分方程的解（其中21EXY2EX0YPXQY、都是已知的連續(xù)函數(shù)）則該方程的通解為_；PXQ（2）若曲線過點(diǎn)，且曲線上任意一點(diǎn)處的切線YFX01,2M,MXY的斜率為，則_；2LN1XF（3）微分方程的特解的形式為_；6EXYY（4）若,都是微分方程212X253XYYPXQY的解（其中，都是已知的連續(xù)函數(shù)），則此微分方程FX0FPQ的通解為_解（1）因?yàn)榕c線性無關(guān)，所以所求通解為1Y2；2121EXYCYC（2）因?yàn)椋訪NF2DLN1DFFXX，21C48由定解條件，知，故有102F0C221LNFXX（3）是型（其中，），對應(yīng)齊次方程6EXFMP6MP1的特征方程為210R易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式為1Y（這里A和B為待定系數(shù)）2EXYXAB（4）因?yàn)椋际菍?yīng)齊次方程的解，并且線性無關(guān)，21532Y故對應(yīng)齊次方程的通解為，251EXXYC取所給方程的一個特解為，于是所給方程的通解為Y2521XX2選擇題（1）函數(shù)、為任意常數(shù)）是方程的（21EXCY120Y）（A）通解（B）特解（C）不是解（D）是解，既不是通解，又不是特解（2）方程是（）D54DXYXY（A）一階線性齊次方程（B）一階線性非齊次方程（C）齊次方程（D）可分離變量的方程（3）具有特解，的三階常系數(shù)齊次線性微分方程1EXY2EX3EXY是（）（A）（B）00Y（C）（D）61YY2Y（4）微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（式、為常數(shù)）（EXAB49）（A）（B）（C）（D）EXABEXABEXABX解（1）因?yàn)椋鼘?shí)際只含有一個任意常數(shù)，2211XCXY所以它既不是通解，又不是特解而滿足所給方程，所以是所給方程的E解應(yīng)選（D）（2）方程可變形為D54DXYXY，2XY它是典型的齊次方程，故選（C）（3）由于，可知，是特征方程的二重根且于是所給1Y231,2R31R方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，23210RR故所求的微分方程應(yīng)為YY本題應(yīng)選（B）（4）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為相對于方程1,2R，因，是特征方程的（單）根，故該方程的特解應(yīng)形如EXY1EXF11A又相對于方程，因，不是特征方程的根，故該方程的Y2FX0特解應(yīng)形如2B按微分方程解的疊加原理，原方程的特解應(yīng)形如12EXYAB本題應(yīng)選（B）3求下列微分方程的通解（1）；（2）；2XYXYDLNYXX（3）；（4）；D423D0Y50（5）；（6）2D0YXX2E4XY解（1）所給方程可以化為，1122DYXX令，則，方程就化成線性方程12ZY12DZYXZD12XX其通解為11DD221EEXXZCX因此，原方程的通解為XY（2）原方程可以化為，D2LNY解此線性方程，有通解22DDELEYYXC2211LNLNYY（3）令，則，從而方程可化為2ZYDZX，24ZX解得，2D2D2E4E1EXXXZC故原方程的通解為221EXY（4）原方程可化為，3DXYY51或，23DXYY令，則有2ZXDZXY，3D62ZYY解得66DD36643E2EDYYZCYCY故原方程的通解264XY（5）由于，故原222D1D1DARCTNYXXXYYY方程可表示為，22DDARCTN0XXY即2ARCTXYX所以原方程的通解為2ARCTNXXYCY（6）原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，有根，320R10R，故對應(yīng)齊次方程的通解為21R3213EXXY對于方程，因，其中是特征方程的（單）2EXY1XF根，故可令其特解為，代入方程中并消去，1ABEXYEX得，683XX比較系數(shù)得52解得61,830AB1,64,9A于是有214E69XY對于方程，因，其中是特征方程的（單）根，Y24FX0故可令其特解為，代入方程中，得2XCD2EXY，比較系數(shù)得解得4,20C1,CD于是有2YX根據(jù)線性方程解的疊加原理得原方程的特解，12Y2E4XY故原方程的通解為2221234EE69XXXYYC4求下列微分方程滿足初值條件的特解（1），；32DD0XY1X（2），；YAX0（3），；SIN202XYXY（4）,COSY0X03X解（1）所給方程可以化為，即23DXY213D2XYY令，則，即，代入上面的方程，有1ZX2ZZ，3D2Y解得此線性方程的通解為53，22DD321EELNYYZCY即12LNXY由定解條件，可得，所求的特解為1XYC，即12L1Y2LXY（2）令，則，代入原方程有YP，即，2D0APX2DPAX積分得，或，1CP1AXC即，1DYX將初值條件代入上式，可得，從而有01XY，DYXA再積分，得21LNYC將初值條件代入上式，可得，故滿足初值條件的特解為0XY20L1YAX（3）令，代入原方程，得YPDP，即2SINY2DSINPY積分得21COSC將初值條件代入上式，可解得從而有01XY154，即，221COSINYYSINY分離變量，得，DSIXY兩端積分，得，或2LNTALNXC2TAEXY將初值條件代入上式，可解得，故滿足初值條件的特解為02XY1，或TANEXY2ARCTNEXY（4）屬于型（其中，COSFXCOSSILP01，）對應(yīng)齊次方程的特征方程為1LP0N，210R解得，1,2對應(yīng)齊次方程的通解為，12EXYC因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母钥稍O(shè)其特解為ICOSINYAB從而有，SINYXCOSINX代入原方程，得，COSI2IICOSAXBABABX即，SINCOSXX比較系數(shù)，得，0A12B故1SIN