誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果華南理工大學考試數學分析三參考答案及評分標準注意事項1考前請將密封線內填寫清楚；2所有答案請直接答在試卷上；3考試形式閉卷；4本試卷共兩大題，滿分100分，考試時間120分鐘。題號一計算二證明總分得分評卷人一計算題（共8題，每題9分，共72分）。1求函數在點0,0處的二次極限與二重極限331,SINSIFXYYX解，因此二重極限為43,Y0分因為與均不存在，3301LIMSINSIXYX3301LIMSINSIYX故二次極限均不存在。9分2設是由方程組所確定的隱函數,其中和分別,YXZ,0ZXFYFFF具有連續的導數和偏導數,求D解對兩方程分別關于求偏導X，4分。解此方程組并整理得9分YYXYZFFXFXFDZ3取為新自變量及為新函數，變換方程,WV。2ZZXYX_學院專業學號姓名座位號密封線內不答題密封線線10XYDZYFFD設（假設出現的導數皆連續）,2YXYWZE解看成是的復合函數如下Z。4分,2YXYE代人原方程，并將變換為。整理得XYZ。9分2W4要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省31M解設圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為求目標函數在約束條件下RH的最小值，其中目標函數,2S表約束條件。3分21RH構造LAGRANGE函數22,1FRHRH。令6分240,RHR解得，故有由題意知問題的最小值必存在，當底面3314,H半徑為高為時，制作圓桶用料最省。93,2R分5設,計算32YXFEDFY解由含參積分的求導公式5分33222232YYXXYXYXYEEDEE32752YXYYYD。9分37521XYEE6求曲線所圍的面積，其中常數2XYABC,0ABC解利用坐標變換由于，則圖象在第一三象限，從而可OS,IN0XY以利用對稱性，只需求第一象限內的面積。3分2,0,SINCO2AB則6分,2XYVD122SINCO0ABD20SINCOAB9分7計算曲線積分,其中是圓柱面與平面352LZDXYDZL21XY的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時針方向3ZY解取平面上由曲線所圍的部分作為STOKES公式中的曲面，定ZY向為上側，則的法向量為。3分1COS,CS0,2由STOKES公式得352LZDXYDZOCOS352DSXYZ6分S21XYD9分8計算積分,為橢球的上半部分的下側SYZDX221ZABC解橢球的參數方程為，其中SINO,SIN,COSYZ且02,。3分2SI,ZXAC積分方向向下，取負號，因此，6分YZDX22320SINOSIBD220IICACD9分4二證明題（共3題，共28分）。9（9分）討論函數在原點0,0處的連續性、3224,00XYYF可偏導性和可微性解連續性當時，2XY，當，2440XYF,0,XY從而函數在原點處連續。3分0,可偏導性，,0,LIMXXFFFX，,Y0,0YY即函數在原點處可偏導。5分可微性不存在，2232422001LILIXYXYXYFFYXY從而函數在原點處不可微。9分,10（9分）（9分）設滿足,FXY（1）在上連續，00,DXYAB（2），0F（3）當固定時，函數是的嚴格單減函數。,XY試證存在，使得在上通過定義了一個0X,0FXY函數，且在上連續。Y證明（I）先證隱函數的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴格單減函數，而由條件0,FX0,YBY（2）知，從而由函數的連續性得0,0FX，。Y,現考慮一元連續函數。由于，則必存在使得0,X0,YB10，。0,FXB1,OX同理，則必存在使得2，。0,Y02,取，則在鄰域內同時成立12MINX，。3分0,FXB0,FYB于是，對鄰域內的任意一點，都成立,O，。0,Y0,X固定此，考慮一元連續函數。由上式和函數關于的連續性可X,FXY,FXY知，存在的零點使得,FY0B0。,而關于嚴格單減，從而使0的是唯一的。再由的任意性，,X,XYX證明了對內任意一點，總能從找到唯一確定的與相0,OX,FY對應，即存在函數關系或。此證明了隱函數的存在性。FF6分（II）下證隱函數的連續性。YFX設是內的任意一點，記。X0,YFX對任意給定的，作兩平行線，。由上述證明知，。,0FXY,0FXY由的連續性，必存在的鄰域使得,OX，。,X對任意的，固定此并考慮的函數，它關于嚴格單減且XOYFYY，。,0FY,0FX于是在內存在唯一的一個零點使，,X即對任意的，它對應的函數值滿足。這證明了函數,XY是連續的。9分YF11（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。10SINDX02證明此積分在上非一致收斂。證明如下2作變量替換，則XT。3分1201SINSINDTDT不論正整數多么大，當時，恒有。3,2,4AN2SINT5分因此，7分2211SINAATDDTT214TA，當時。2043N2因此原積分在上非一致收斂。10分0注不能用DIRICHLET判別