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薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈膇莄蚇羀艿芇薃羀罿蒃葿薆肁芅蒞薅膄蒁蚃薄袃芄蕿蚄羆葿蒅蚃肈節莁螞芀肅螀蟻羀莀蚆蝕肂膃薂蠆膅荿蒈蚈襖膁莄蚈羆莇螞螇聿膀薈螆膁蒞蒄螅袁膈蒀螄肅蒃莆螃膅芆蚅螂裊蒂薁螂羇芅蕆螁肀蒀莃袀膂芃螞衿袂肆薈袈肄芁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞袆羈膂蚄裊肁莈薀襖膃膁蒆羃袂莆莂羂羅腿蟻羈自考高數線性代數課堂筆記自考高數線性代數課堂筆記第一章行列式1113第一集三階行列式的計算比較復雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計算公式，我們可以采用下面的對角線法記憶任何階數三角形行列式的值為主對角線的三個數之積（二）N階行列式N階行列式也是一個數，至于它的值的計算方法需要引入下面兩個概念。12行列式按行（列）展開行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值。凡是含零行或零列的行列式，其值必為零。13行列式的性質與計算性質1行列式和它的轉置行列式相等，即性質2用數K乘D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于KD。即行列式可以按行和按列提出公因數注意如果行列式有多行或多列有公因數，必須按行或按列逐次提出公因數。任意一個奇數階反對稱行列式必為零。所謂反對稱行列式指的是，其中主對角線上的元素全為0，而以主對角線為軸，兩邊處于對稱位置上的元素異號。性質3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號。即對于如下兩個行列式根據這個性質可以得到下面的重要推論如果行列式中有兩行（列）相同，則此行列式的值等于零。性質4如果行列式中某兩行（列）的對應元素成比例，則此行列式的值等于零。性質5行列式可以按行（列）拆開，即性質6把D的某一行（列）的所有元素都乘以同一數K以后加到另一行（列）的對應元素上去，所得的行列式仍為D。即定理131N階行列式零，即的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應元素的代數余子式的乘積之和等于，（110），（111）例9計算行列式解這個行列式有特殊的形狀，其特點是它的每一行元素之和為6，我們可以采用簡易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因數6，再將后三行都減去第一行例10計算行列式1例12計算范德蒙德行列式14克拉默法則定理（克拉默法則）在N個方程的N元一次方程組則N元一次方程組有唯一解。（1）中，若它的系數行列式0推論N元一次齊次方程組（1）若系數行列式D0，（2）若系數行列式D0，方程組只有零解，（2）中則方程組（2）它必有無窮多個非零解。第二章矩陣第2集21矩陣的概念通常用A，B，C等表示矩陣。也可記為A（AIJ）MN或（AIJ）MN或AMN。當MN時，稱A（AIJ）NN為稱為N階方陣。它不是一個數，它與N階行列式是兩個完全不同的概念。只有一階方陣才是一個數。幾種常用的特殊矩陣1N階對角矩陣形如或簡寫為的矩陣，稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣。2數量矩陣當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數量矩陣。特別，當A1時，稱它為N階單位矩陣。N階單位矩陣記為EN或IN3N階上三角矩陣與N階下三角矩陣4零矩陣22矩陣運算221矩陣的相等（同）記為AB。行列式相等與矩陣相等有本質區別222矩陣的加、減法AB（AIJBIJ）MN。只有當兩個矩陣是同型矩陣時，它們才可相加。注意（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區別；（2）階數大于1的方陣與數不能相加。但是A（AIJ）MN與數量矩陣AEN可以相加矩陣的加法滿足下列運算律設A，B，C都是MN矩陣，O是MN零矩陣，則（1）交換律ABBA；（2）結合律（AB）CA（BC）；（3）AOOAA；（4）消去律ACBCAB2223數乘運算數K與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以K，而數K與行列式DN的乘積只是用K乘DN中某一行（列）的所有元素。數乘運算律（1）結合律（KL）AK（LA）KLA，K和L為任意實數。（2）分配律K（AB）KAKB，（KL）AKALA，K和L為任意實數。224乘法運算兩個矩陣可以相乘當且僅當A列B行。當CAB時，C行A行，C列B列。矩陣乘法具有以下性質（1）ENAAENA；（2）（AEN）AA（AEN）；（3）在一般情形下，ABBA；（4）當ABO時，一般不能推出AO或BO；（5）當ABAC時，一般不能推出BC。若矩陣A與B滿足ABBA，則稱A與B可交換。此時，A與B必為同階方陣。被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側消去。例8設矩陣，求出所有與A可交換的矩陣。為與A可交換的矩陣，則。解因為與A可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設由AXXA，可推出X120，X11X22，且X11，X21可取任意值，即得乘法運算律（1）（AB）CA（BC）；（2）分配律（AB）CACBC，A（BC）ABAC。（3）K（AB）（KA）BA（KB），K為任意實數。（4）EMAMNAMN，AMNENAMN。方陣的方冪例11設N階方陣A和B滿足證由方冪的規則AKALAKL，（AK）LAKL，K，L為任意正整數。，證明。可推出B2AEN。再由B2（2AEN）（2AEN）4A24AEN，證得因為矩陣乘法不滿足交換律，所以對于N階方陣A和B，有以下重要結論（1）（AB）2（AB）（AB）A2ABBAB2A22ABB2ABBA。（2）（AB）（AB）A2ABBAB2A2B2ABBA。（3）當ABBA時必有（AB）KAKBK（4）當AB時，在滿足可乘條件下必可推出ACBC，CACB，但未必有ACCB，CABC。因為矩陣乘法不滿足消去律，所以對于N階方陣A和B，有以下重要結論（1）ABO，AO不能推出BO；（2）由A2O不能推出AO；（3）由ABAC，AO不能推出BC。（4）由A2B2不能推出AB225矩陣的轉置把NM換成NM，稱為A的轉置矩陣，記AT或A，轉置運算律（1）（AT）TA；（2）（AB）TATBT；（3）（KA）TKAT，K為實數；（4）（A1A2AN）TANTAN1TA1T若ATA，則稱A為對稱矩陣；若ATA，則稱A為反對稱矩陣。例16證明任意一個實方陣A都可以惟一地表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。證取其中則AXYXX是對稱陣。Y是反對稱陣。226方陣的行列式矩陣與行列式的區別（1）矩陣是一個數表，行列式是一個數。（2）矩陣的行數與列數未必相等，但行列式的行數與列數必須相等。（3）對于不是方陣的矩陣不可以取行列式。3方陣的行列式性質（1）；（2）；（3）。（行列式乘法規則）；|AB|A|B|任意奇數階反對稱矩陣的行列式必為零。227方陣多項式任意給定一個多項式和任意給定一個N階方陣A，都可以定義一個N階方陣，稱F（A）為A的方陣多項式。注意在方陣多項式中，末項必須是數量矩陣而不是常數。方陣多項式是以多項式形式表示的方陣。例22設，求F（A）解23方陣的逆矩陣第三集,即。滿足則稱A是可逆矩陣,不滿足則為不可逆矩陣可逆矩陣的基本性質設A，B為同階的可逆方陣，常數K0，則（1）為可逆矩陣，且（2）（3）（與轉置類似）（4）（5）（6）（7）若A可逆且ABAC，則有消去律BC對角陣的逆矩陣等于其原元素的倒數；如果A20，IA1IA；若A是可逆的，則A1是唯一的。如何判定一個給定方陣是否可逆呢定義232設，為的元素的代數余子式（I,J1,2,N），則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為。（27）類似可得（28）N階方陣A為可逆矩陣。由14節中的定理141可得求逆矩陣公式例1若解。當N3時，計算量很大，不宜使用，而用初等行變換來計算參考254。，求例4設A為N階方陣，則例5若解（1）（2）例6設A是3階方陣且解（1）。證由知道。當時，顯然有。求A的逆矩陣和AE的逆矩陣。，求（1）（2）（3）（4）4（2）（3）（4）24分塊矩陣對于任意一個MN矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法行向量表示法、列向量表示法。分塊矩陣的所有運算僅僅是前面所講的矩陣運算換了一種形式的表述方法，而并不是另外定義一種新的矩陣運算。241分塊矩陣的加法把MN矩陣A和B作同樣的分塊例1設的值。，則都是四階方陣的列向量分塊矩陣。已知和，求出行列式解根據分塊矩陣加法的定義知道，242數乘分塊矩陣數K與分塊矩陣243分塊矩陣的轉置“內外一起轉”的乘積為設則其轉置矩陣為244分塊矩陣的乘法和分塊方陣求逆設矩陣，。利用分塊矩陣計算乘積AB時，應使左邊矩陣A的列分塊方式與右邊矩陣B的行分塊方式一致，然后把矩陣的子塊當做元素來看待，并且相乘時，A的各子塊分別左乘B的對應的子塊。例4對于矩陣，用分塊矩陣計算AB。方陣的特殊分塊矩陣主要有以下三類（凡空白處都是零塊）（1）形如的分塊矩陣稱為分塊對角矩陣或準對角矩陣，其中均為方陣。（2）兩個準對角矩陣的乘積設是同階方陣，則（3）準對角矩陣的逆矩陣若都是可逆矩陣，則分塊對角矩陣5可逆，并且重要結論上述兩類特殊分塊矩陣的行列式都是它們的主對角線上各子塊的行列式的乘積，即25矩陣的初等變換與初等方陣251初等變換（I）交換A的某兩行（列）。（II）用一個非零數K乘A的某一行（列）。（III）把A中某一行（列）的K倍加到另一行（列）上。定義251若矩陣A經過若干次初等變換變為B，則稱A與B等價，記為性質。（1）反身性（2）對稱性若則矩陣之間的等價關系有以下三種則（3）傳遞性若252初等方陣由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣為初等方陣。我們對N階單位矩陣E施行三種初等變換得到以下三類N階初等方陣。有下面的定理。定理251PIJ左（右）乘A就是互換A的第I行（列）和第J行（列）DI（K）左（右）乘A就是用非零數K乘A的第I行（列）。TIJ（K）左乘A就是把A中第J行的K倍加到第I行上。TIJ（K）右乘A就是把A中第I列的K倍加到第J列上。253矩陣的等價標準形定理252任意一個MN矩陣A，一定可以經過有限次初等行變換和初等列變換化成如下形式的MN矩陣。這是一個分塊矩陣，其中ER為R階單位矩陣，而其余子塊都是零塊矩陣。稱其為A的等價標準形。初等方陣都是可逆矩陣，若干個可逆矩陣的乘積仍然是可逆矩陣，所以定理252可以等價地敘述為定理252對于任意一個MN矩陣A，一定存在M階可逆矩陣P和N階可逆矩陣Q，使得254用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣第4集用初等行變換把（A，EN）化為（EN，A1），如果前N列不可能化為單位矩陣，則說明A不是可逆矩陣。注意用初等行變換方法求逆矩陣時，不能同時用初等列變換，而且在求出A1以后，最好驗證式子AA1EN。變換過程是先把第一列變好，再變第二列，以此類推。255用矩陣的初等變換求解矩陣方程最常見的方程有以下兩類（1）設A是N階可逆矩陣，B是NM矩陣，求出矩陣X滿足AXB原理AXB時方法用初等行變換把分塊矩陣（A，B）化成（E，A1B）即公式（A，B）（E，A1B）則XA1B例4求解矩陣方程。（2）設A是N階可逆矩陣，B是MN矩陣，求出矩陣X滿足XAB。解由方程XAB（方法）（AT，BT）（EN，（BA1）T）（AT，BT）（E，XT）先求XT，再求X。例5求解矩陣方程6XAA1BA1，解為XBA1（而不可以寫成XA1B）。1關于矩陣方程的另一種常用求解方法是先求出逆矩陣A，然后，求出AXB的解XA1B，或者XAB的解XBA126矩陣的秩第4集方法一定義261在MN矩陣A中，非零子式的最高階稱為A的秩，記為R（A）。所謂非零子式的最高階數指的是，在所有的不等于零的那些子式中，階數最高的子式的階數有一個就行例2顯然，的秩序為R定理1對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩。推論設A為MN矩陣，P和Q分別為M階和N階可逆矩陣，則R（PA）R（A），R（AQ）R（A）。要確定非零子式的最高階數，可以采用階梯形矩陣方法二定義262滿足下列兩個條件的矩陣稱為階梯形矩陣R（A）R（T）“T”中非零行的行數。定理262對于任意一個非零矩陣，都可以通過初等行變換把它化成階梯形矩陣。注在求矩陣的秩時，可以只用初等行變換，但也可以用初等列變換。而且不必化成簡化行階梯形矩陣矩陣的秩，有以下結論。（1）設A（AIJ）MN,則R（A）MINM,N。（2）R（AT）R（A）,實際上，A與AT中的最高階非零子式的階數必相同。所以，可逆矩陣常稱為滿秩矩陣。（3）N階方陣A為可逆矩陣27矩陣與線性方程組在求解齊次線性方程組時，可利用矩陣的初等行變換，將其系數矩陣化為簡化行階梯矩陣，得出易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解。對于非齊次線性方程組，我們可以利用矩陣的初等行變換把它的增廣矩陣化成簡化行階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程的解。下面利用矩陣的秩給出齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。定理271N元齊次線性方程組AX0有非零解的充分必要條件是系數矩陣A（AIJ）MN的秩R（A）N。說明A的秩R（A）K時表示方程組中有效的保留方程個數也是K。R（A）N表示保留下來的有效方程個數未知數個數N，所以有自由未知數，因而解有無窮多，當然有非0零解。推論1含有N個方程的N元齊次線性方程組AX0有非零解的充分必要條件是且當它有非零解時，必有無窮多個非零解。推論2若方程組AX0中方程的個數小于未知量的個數，則方程組必有非零解。事實上，方程組的系數矩陣的秩不超過其行數，即方程的個數，所以R（A）MN。第三章向量空間31N維向量概念及其線性運算311N維向量及其線性運算向量的運算滿足下列8條運算律設，都是N維向量，K，L是數，則（1）；（加法交換律）（2）（）（）；（加法結合律）（3）0；（4）（）0（5）1；（6）K（）KK；（數乘分配律）（7）（KL）KL；（數乘分配律）（8）（KL）K（L）。（數乘向量結合律）312向量的線性組合71向量的線性組合例1設（2，1，3），（1，3，6），（2，1，4），求向量23。解232（2，1，3）3（1，3，6）（2，1，4）（4，2，6）（3，9，18）（2，1，4）定義向量組1（1，0，0，0），2（0，1，00），N（0，0，0,1），其中每一個向量只有一個分量為1，其余分量為0，叫標準單位向量組。顯然，任何一個向量都可以表示為標準單位向量組的線性組合。2向量的線性表出關系例4（1）因為（2，4，6）2（1，2，3，），所以（2，4，6）可用（1，2，3）線性表出2。3線性組合的矩陣表示法向量（B1，B2，AN1）T可用向量組1（A11，A21，AN1）T，,M（A1M，A2M，ANM）T線性表出的充分必要條件是存在M個數K1，K2，KM使得K11K22KMM（31）于是滿足（31）式的表出系數K1,K2，KM就是線性方程組AX的解。若方程組（32）有惟一解，則表明可用1，2，M線性表出，且表示法是惟一的若方程組（32）有無窮多解，則表明可用1，2，M線性表出，且表示法不惟一若方程組（32）無解，則表明不能用1，2，M線性表出。如果1，2，M和都是N維行向量，此時必須構造NM矩陣成列向量再依次存放構造出矩陣A，則4表出系數求法舉例例5問（1,1,5）T能否表示成1（1,2,3）T，2（0,1,4）T，3（2,3,6）T的線性組合解設線性方程組為X11X22X33能否表示成1，2，3的線性組合，取決于該方程是否有解，對它的增廣矩陣施行行初等變換，得，即把所給的行向量全部轉置有解。，X11X22X33的同解方程組TXD就是它的惟一的解就是X11,X22,X31,所以可以惟一地表示成1,2,3的線性組合，且1223例6問（4,5,5）能否表示成1（1,2,3），2（1,1,4），3（3,3,2）的線性組合解考察線性方程組用矩陣的初等行變換化簡方程組的增廣矩陣，方程組的同解方程組為取X3K，則有（32K）1（K1）2K3，K可任意取值。32線性相關與線性無關定義321設1，2，M是M個N維向量，如果存在M個不全為零數K1，K2，,KM，使得K11K22KMM0。則稱向量組1，2，M線性相關，稱K1，K2，KM為相關系數，否則，線性無關。D1,D2,DK經初等行變換為階梯陣，若階梯陣非零行的行數向量向量組線性相關；或階梯陣非零行的行數向量向量組線性無關。結論（1）含有零向量的向量組一定線性相關。（2）單個向量A線性相關0；單個向量A線性無關0（3）兩個向量的向量組，線性相關與的分量