,第七章應力狀態分析強度理論,材料力學,第七章應力狀態分析,71應力狀態的概念72平面應力狀態分析解析法73平面應力狀態分析圖解法,74梁的主應力及其主應力跡線,75三向應力狀態研究應力圓法,76復雜應力狀態下的應力-應變關系（廣義虎克定律）,77復雜應力狀態下的變形比能,作業,7應力狀態的概念,應力狀態分析強度理論,一、引言,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,四、普遍狀態下的應力表示,三、單元體：單元體構件內的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質a、平行面上，應力均布；b、平行面上，應力相等。,二、一點的應力狀態：過一點有無數的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態（StateofStressataGivenPoint）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,應力狀態分析強度理論,x,y,z,s,x,sz,s,y,五、剪應力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應力分量,則兩個面上的這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。,應力狀態分析強度理論,六、原始單元體（已知單元體）：,例1畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。,應力狀態分析強度理論,七、主單元體、主面、主應力：,主單元體(Principalbidy)：各側面上剪應力均為零的單元體。,主面(PrincipalPlane)：剪應力為零的截面。,主應力(PrincipalStress）：主面上的正應力。,主應力排列規定：按代數值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,應力狀態分析強度理論,單向應力狀態（UnidirectionalStateofStress）：一個主應力不為零的應力狀態。,二向應力狀態（PlaneStateofStress）：一個主應力為零的應力狀態。,三向應力狀態（ThreeDimensionalStateofStress）：三個主應力都不為零的應力狀態。,應力狀態分析強度理論,72平面應力狀態分析解析法,應力狀態分析強度理論,規定：截面外法線同向為正；ta繞研究對象順時針轉為正；a逆時針為正。,圖1,設：斜截面面積為S，由分離體平衡得：,一、任意斜截面上的應力,應力狀態分析強度理論,圖1,考慮剪應力互等和三角變換，得：,同理：,應力狀態分析強度理論,二、極值應力,應力狀態分析強度理論,在剪應力相對的項限內，且偏向于x及y大的一側。,應力狀態分析強度理論,例2分析受扭構件的破壞規律。,解：確定危險點并畫其原始單元體,求極值應力,O,應力狀態分析強度理論,破壞分析,鑄鐵,應力狀態分析強度理論,73平面應力狀態分析圖解法,對上述方程消去參數（2），得：,一、應力圓（StressCircle）,此方程曲線為圓應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）,應力狀態分析強度理論,建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）,二、應力圓的畫法,在坐標系內畫出點A(x，xy)和B(y，yx),AB與sa軸的交點C便是圓心。,以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓；,應力狀態分析強度理論,三、單元體與應力圓的對應關系,應力狀態分析強度理論,四、在應力圓上標出極值應力,應力狀態分析強度理論,例3求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa),A,B,解：主應力坐標系如圖,AB的垂直平分線與sa軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓,s1,s2,在坐標系內畫出點,應力狀態分析強度理論,s1,s2,主應力及主平面如圖,A,B,應力狀態分析強度理論,解法2解析法：分析建立坐標系如圖,應力狀態分析強度理論,74梁的主應力及其主應力跡線,如圖，已知梁發生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。,單元體：,應力狀態分析強度理論,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0=90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,應力狀態分析強度理論,主應力跡線（StressTrajectories)：主應力方向線的包絡線曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。,實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。,應力狀態分析強度理論,x,y,主應力跡線的畫法：,1,1截面,2,2截面,3,3截面,4,4截面,i,i截面,n,n截面,應力狀態分析強度理論,75三向應力狀態研究應力圓法,1、空間應力狀態,應力狀態分析強度理論,2、三向應力分析,彈性理論證明，圖a單元體內任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區內的一點。,圖a,圖b,整個單元體內的最大剪應力為：,應力狀態分析強度理論,例4求圖示單元體的主應力和最大剪應力。（MPa）,解：由單元體圖知：yz面為主面,建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點1,得:,50,40,30,A,B,C,應力狀態分析強度理論,76復雜應力狀態下的應力-應變關系（廣義虎克定律）,一、單拉下的應力-應變關系,二、純剪的應力-應變關系,應力狀態分析強度理論,三、復雜狀態下的應力-應變關系,依疊加原理,得:,sz,sy,sx,應力狀態分析強度理論,主應力-主應變關系,四、平面狀態下的應力-應變關系:,方向一致,應力狀態分析強度理論,主應力與主應變方向一致?,應力狀態分析強度理論,五、體積應變與應力分量間的關系,體積應變：,體積應變與應力分量間的關系:,應力狀態分析強度理論,例7已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6，2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。,所以，該點處的平面應力狀態,應力狀態分析強度理論,應力狀態分析強度理論,例8圖a所示為承受內壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環向應變t=350l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內壓力。,s1,sm,p,O,圖a,應力狀態分析強度理論,1、軸向應力:(longitudinalstress),解：容器的環向和縱向應力表達式,用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據平衡方程,應力狀態分析強度理論,用縱截面將容器截開，受力如圖c所示,2、環向應力：(hoopstress),3、求內壓（以應力應變關系求之）,應力狀態分析強度理論,77復雜應力狀態下的變形比能,應力狀態分析強度理論,稱為形狀改變比能或歪形能。,應力狀態分析強度理論,例9用能量法證明三個彈性常數間的關系。,純剪單元體的比能為：,純剪單元體比能的主應力表示為：,應力狀態分析強度理論,一、引子：,78強度理論的概念,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,應力狀態分析強度理論,二、強度理論：是關于“構件發生強度失效（failurebyloststrength）起因”的假說。,1、伽利略播下了第一強度理論的種子；,三、材料的破壞形式：屈服；斷裂。,2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；,3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應力理論；,4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。,應力狀態分析強度理論,79四個強度理論及其相當應力,一、最大拉應力（第一強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。,1、破壞判據：,2、強度準則：,3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。,應力狀態分析強度理論,二、最大伸長線應變（第二強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。,1、破壞判據：,2、強度準則：,3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。,應力狀態分析強度理論,三、最大剪應力（第三強度）理論：認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。,1、破壞判據：,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。,2、強度準則：,應力狀態分析強度理論,四、形狀改變比能（第四強度）理論：認為構件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構件就破壞了。,1、破壞判據：,2、強度準則,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。,應力狀態分析強度理論,710莫爾強度理論及其相當應力,莫爾認為：最大剪應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應力及最大正應力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。,應力狀態分析強度理論,近似包絡線,極限應力圓的包絡線,O,t,s,一、兩個概念：,1、極限應力圓：,2、極限曲線：極限應力圓的包絡線（envelope）。,應力狀態分析強度理論,2、強度準則：,1、破壞判據：,二、莫爾強度理論：任意一點的應力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。,應力狀態分析強度理論,三、相當應力：（強度準則的統一形式）。,其中，*相當應力。,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件及其拉壓極限強度不等的處于復雜應力狀態的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。,應力狀態分析強度理論,711強度理論的應用,一、強度計算的步驟：,1、外力分析：確定所需的外力值。,2、內力分析：畫內力圖，確定可能的危險面。,3、應力分析：畫危面應力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主應力。,4、強度分析：選擇適當的強度理論，計算相當應力，然后進行強度計算。,應力狀態分析強度理論,二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。,1、脆性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；,3、簡單變形時：一律用與其對應的強度準則。如扭轉，都用：,2、塑性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；,4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關！,當最小主應力小于零而最大主應力大于零時，使用莫爾理論。,當最大主應力小于等于零時，使用第三或第四理論。,其它應力狀態時，使用第三或第四理論。,應力狀態分析強度理論,解：危險點A的應力狀態如圖：,例1直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構件，=40MPa,試用第一強度理論校核桿的強度。,故，安全。,應力狀態分析強度理論,例2薄壁圓筒受最大內壓時,測得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。,解：由廣義虎