二次函數y=ax2 的圖像與性質教學設計 定遠縣郭集學校 謝輝一、教材分析：本節是學生學習了二次函數的概念之后，對其圖象及性質逐步進行探究的一個內容，在此之前學生已經對正比例函數、一次函數和反比例函數的概念及圖象與性質進行了學習，因此在本節課的學習方法上學生已經有了一定的經驗。但二次函數，它是進一步學習函數知識，體現函數知識螺旋發展的一個重要環節。同時在此節后，我們還將循序漸進，在此基礎上由簡到繁逐步展開二次函數的研究。二次函數的圖像是拋物線，是人們最為熟悉的曲線之一，同時拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應用，如拋物線型拱橋、拋物線型隧道等。可以說這節課既是承上啟下，同時本節課的學習也能讓學生體會到數學的實用及美感。其地位及作用不可小看。二、設計思想1.函數及其圖象在初中數學中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發學生的求知欲望持久的好奇心。我們知道，函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，初二時的函數的學習大多只關注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數，具有一定的片面性。本節課，力圖讓初三學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方位的研究，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去。2.結合新課程實施的教學理念，在本課的教學中我努力實踐以下兩點：（1）在課堂活動中通過同伴合作、自主探究嘗試培養學生積極主動、勇于探索的學習方式。（2）在教學過程中努力做到師生的互動，并且在對話之后重視體會、總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握一些學習、研究數學的方法。（3）通過課堂教學活動向學生滲透數學思想方法。三、教學目標 1、知識技能：經歷探索二次函數y=x2的圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數性質的經驗。直接給學生出示y= x2，并作圖及觀察性質，這樣，讓學生能通過運用過去的知識經驗去發現新知識，解決新知識，從而實現由掌握到遷移運用的過程。 2、數學思考：能夠利用描點法作出y= x2的圖象，并能根據圖象認識和理解二次函數y= x2的性質。學生通過畫圖，觀察，分析，得出有關結論，培養學生觀察，比較，概括的邏輯思維能力。3、解決問題：能夠作出二次函數y=- x2的圖象，并能夠比較與y=x2的圖象的異同，初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系。提高學生的觀察、交流、概括、總結及表達的能力，而且更進一步讓學生體會到數、形的轉化。4、數學體驗：學生通過自己畫圖，觀察，比較得出有關結論，使學生有一種獲得成功的喜悅，提高學生的學習積極性；通過畫圖使學生更能體會到數形可以互相轉化的關系，激發了學生探究新知的欲望。 四、教學重點 會畫y=ax2的圖象，通過觀察圖象理解其性質。五、教學難點 描點法畫y=ax2的圖象，體會數與形的相互聯系。 六、教學方法：學習二次函數關鍵是學習其性質（開口方向，頂點坐標，對稱軸，單調區間等），而用描點法畫函數圖像是我們發現函數圖象的特征和了解其性質的一個重要途徑。因此，在教學過程中應讓學生畫出函數圖象，引導學生觀察圖像的特點，概括出函數的性質。在此過程中，可用“特殊-一般，具體-抽象“的方法來學習二次函數的圖像和性質，給學習足夠的探索和交流的時間，讓學生在自己動手體驗中得出結果。七、教學過程 一 復習舊知，引入新課1.提問：請同學們回顧二次函數的概念和一般形式是什么？2.下列函數中哪些是二次函數？ x（） 一次函數的圖像，正比例函數的圖像，反比例函數的圖像各是怎么樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質呢?上節課我們學習了二次函數的概念，掌握了他的一般形式，這節課我們先來探究二次函數中最簡單的y=ax2的圖像和性質。（設計說明：利用前面學過的函數的圖像啟發學生思考二次函數的圖像。將本節課的內容與已有知識聯系起來，便于學生類比學習。同時，通過設問讓學生了解本節課所要探索的問題，激發學生的探索興趣。）二 探究活動：二次函數的圖像與性質1、引導學生畫出函數的圖像。(1)：在x的取列表值范圍內列出函數對應值表：x32 10123y9410149 (2)在直角坐標系中描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描點(3)連線：用光滑的曲線順次連結各點，得到函數y=x2的圖象，如圖所示。（4）讓學生概括圖像的特點，提示學生從開口方向、對稱性等方面考慮。學生互相交流、討論、回答：圖像是曲線，開口向上；它是軸對稱圖形，對稱軸是y軸。（5）肯定學生的表現，講解：拋物線。它有一條對稱軸，拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。（6）請學生對照解析式對得出的性質進行一些解釋（對稱性、頂點、開口方（設計說明：在此問題上，教師不必按課本上的問題一一疊列給學生，而是充分發揮學生的觀察能力；再者學生已研究過正比例函數、一次函數、反比例函數，已經積累了一定的研究函數圖象的方法和能力，積累了研究函數圖象要“研究什么”的經驗，有了一定“模式”，即： 圖象形狀：拋物線（教師給出） 與x、y軸交點； y隨x的增減性； 圖象的對稱性。及系數與圖象的關系。 請每組的學生代表一一發表自己的觀察結果，（在此過程中，教師不能作裁判，應及時表揚學生，同時把評判權交給學生，注意培養學生語言的規范化、條理化。）然后按課本的問題加以總結和整理，做到有放有收。注意學生的解析式方式思考解釋。） 2.指導學生“做一做”。讓學生在同一坐標系中分別畫出題目y=x2與y=-x2中函數的圖像，概括出他們的共同點和不同點。學生積極動手，在同一坐標系內畫出函數的圖像。通過比較發現：（1），（2）中兩個函數圖像關于x軸對稱，開口方向相反；兩個函數圖像的對稱軸都是軸，頂點是原點。（提示學生從圖像開口方向，頂點坐標，對稱軸幾方面分析函數圖象的共同點和不同點。）肯定學生的表現，總結：函數x2的圖像是一條拋物線，它關于軸對稱，它的頂點坐標是（，）。4.提問：在同一坐標系中畫出, y=2x2的圖像，試比較其與y=x2反應了什么性質？你能通過解析式說明嗎？學生互相交流，討論，嘗試歸納總結。5.肯定學生的表現，指出y=x2, y=2x2的圖像特點是：當a0時，拋物線x2開口向上，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降：在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升。頂點是拋物線上位置最低的點。當 a0 時，二次函數x2具有這樣的性質：當 x 0 時，函數值 y 隨 x 的增大而減小：當 x0 時，函數值 y 隨 x 的增大而增大：當x=0 時，函數取最小值y=0.(引導學生從兩個方面分別總結函數圖象的性質。在學生總結的過程中，可以提示學生從函數單調性和頂點方面考慮，從而讓學生能夠順利的發現函數圖象的性質。同時讓學生用解析式特征進行淺析)6.讓學習觀察函數y= - x2, y= -2 x2的圖像，思考：當a0時，拋物線x2有哪些特點？它反映了當 a0 時，函數x2 具有哪些性質?（學生互相交流，討論，然后舉手回答：）當 a0 時，拋物線x2開口向下，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降。頂點是拋物線上位置最高的點。當 a0 時，二次函數x2具有這樣的性質：當 x 0 時，函數值 y 隨 x 的增大而增大；當 x0 時，函數值 y 隨 x 的增大而減少；當x=0 時，函數取最小值y=0。（學生對比前面的總結，歸納方式概括出當 a0 時函數圖象的性質，既讓學生掌握了知識，又提高了學生歸納，總結的能力。）（設計說明：主要以小組討論完成，將四種形式的函數圖象放在一個坐標系內，并發表自己的意見。從而加強學生的完善性思維訓練。在語言問題上，為了規范化，教師要給以糾正。（如：開口方向，開口大小等語言） 完成二次函數y=ax2中系數a的變化，引出圖象一些性質的變化。） 三 鞏固練習1.拋物線y=1/2 x2 的圖像的對稱軸是（ ），頂點坐標是（ ），當x（ ）時，y 隨x的增大而（ ）,當x（ ）時，y 隨x的增大而（ ）。2.拋物線y=-5 x2 的圖像的開口向（ ），圖像的對稱軸是（ ） ，除了他的頂點，拋物線上的點都在（ ） 的（ ）方，它的頂點是圖像的最（ ）點；當x（ ）時，y 隨x的增大而（ ）,當x（ ）時，y 隨x的增大而（ ）。3 已知，點（，1），（，2），（，3）都在函數y=2x2上的圖像上，則1、2、3的大小關系是什么？4.指導學生完成課后練習。若正方形的邊長為a，面積為s，試求出面積s與邊長a的關系式，并畫出圖象。(設計說明：在實際應用的問題上，教師先不要進行過多的提醒，讓學生進一步體會自變量“x”的取值范圍的特殊性。學生獨立完成以后，讓他們發表自己的看法，辨證出圖象只在第一象限存在。) 四 課堂總結 布置作業1、學生談一談收獲我們通過觀察總結得出二次函數y=ax2的圖象的一些性質：、圖象“拋物線”是軸對稱圖形； 、與x、y軸交點（0，0）即原點； 、a的絕對值越大拋物線開口越大，a0，開口向上， 當x0時，（對稱軸左側），y隨x的增大而減小 （y隨x的減小而增大） 當x0時，（對稱軸右側），y隨x的增大而增大 （y隨x的減小而減小） a0，開口向下， 當x0時，（對稱軸左側），y隨x的增大而增大 （y隨x的減小而減小） 當x0時，（對稱軸右側），y隨x的增大而減小 （y隨x的減小而增大） 2、今天我們通過觀察收獲不小，其實只