第21講:曲線系理論及其應(yīng)用 173 第21講:曲線系理論及其應(yīng)用 在一個關(guān)于x,y的二元方程中,如果它含有一個不定的常數(shù),賦于這個常數(shù)一些不同的值,可以得到一系列具有某種共同性質(zhì)的曲線(包括直線),它們的全體組成的集合叫做具有某種共同性質(zhì)曲線系. 利用曲線系解題,體現(xiàn)了參數(shù)變換的數(shù)學觀點、整體處理的解題策略,以及“基本量”和“待定系數(shù)”的解題方法.這種觀點、策略、方法的三位一體,能使解題水平更高、思維更活.下面介紹幾類重要的曲線系.定理1:過曲線C1:f1(x,y)=0與C2:f2(x,y)=0的交點的曲線系方程為:f1(x,y)+f2(x,y)=0.定理2:設(shè)二次曲線C:ax2+cy2+dx+ey+f=0與直線mx+ny+p=0有兩個不同的交點,則過這兩點的圓系方程為:(ax2+cy2+dx+ey+f)+(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,這里=,t為任意實數(shù).定理3:過圓M:x2+y2+2dx+2ey+f=0外一點P(x0,y0)作圓M的兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,則雙切線PA與PB構(gòu)成的曲線方程為:(x02+y02+2dx0+2ey0+f)(x2+y2+2dx+2ey+f)-x0x+y0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f2=0,即包含切線PA:a1x+b1y+c=0與PB:a2x+b2y+c2=0的方程.定理4:設(shè)二次曲線C:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0與直線l1:m1x+n1y+p1=0,l2:m2x+n2y+p2=0都有公共點,則過這些公共點的二次曲線系方程為:(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)+(m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0.例1:過曲線交點的直線系.始源問題:(2011年北大等十三校聯(lián)考(北約)自主招生數(shù)學試題)求過拋物線y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3兩交點的直線方程.解析:由過拋物線y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3兩交點的曲線系:(2x2-2x-1-y)+(-5x2+2x+3-y)=0,即(2-5)x2+2(-1)x-(+1)y+3-1=0;令2-5=0=曲線系:6x+7y-1=0過拋物線y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3兩交點的直線方程:6x+7y-1=0.原創(chuàng)問題:已知拋物線C1:y=2x2+3x-3,C2:y=-5x2+tx+-t.()求證:過拋物線C1與C2兩交點的直線l過定點A;()過點A作斜率互為相反數(shù)的兩直線與橢圓C:+=1分別交于異于點A的點M、N,求證:直線MN的斜率為定值.解析:()由y=2x2+3x-35y=10x2+15x-15;由y=-5x2+tx+-t2y=-10x2+2tx+-2t;由+得:7y=15x+2tx-2t2(x-1)t=7y-15x+直線l過定點A(1,);()設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN:y=kx+t;由(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0x1+x2=-,x1x2=;由kAM+kAN=0+=0+=02kx1x2+(t-k)(x1+x2)-(2t-3)=0-(t-k)-(2t-3)=08k(t2-3)-8kt(t-k)-(2t-3)(3+4k2)=06(2k-1)t+12k2-24k+9=06(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0k=為定值.例2:過曲線交點的圓系. 174 第21講:曲線系理論及其應(yīng)用 始源問題:(2001年新課程高考試題)設(shè)00tan0c(81-48);f(t)的極小值=f(-2-)(t2+4t+1=0t2=-4t-1)=16c-48-810c(81+48);f(4)的極小值=16c-16180c18.綜上,c(81-48),(8148);()由過拋物線C1:y2=4x與y=x2-2x+c交點的曲線系:(x2-2x+c-y)+(y2-4x)=0,即x2+y2-2(1+2)x-y+c=0;令=1曲線系:x2+y2-6x-y+c=0為圓這4交點共圓;圓的半徑r=;由c(81-48),(81+48)r(0,).例3:過兩交點的圓系.始源問題:(2004年湖北高考試題)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.()求實數(shù)k的取值范圍;()是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.解析:()將y=kx+1代入2x2-y2=1中并化簡整理得:(2-k2)x2-2kx-2=0,由已知得此方程有兩個不小于的實根,解得:-2kb0)的離心率e=,過點A(0,-b)和B(a.0)的直線與原點的距離為.()求橢圓C的方程;()已知直線y=kx+t與橢圓交于M、N兩點,證明:對任意的t0,都存在k,使得以線段MN為直徑的圓過定點.解析:()由直線AB:bx-ay-ab=0=;又由e=a2=3,b2=1橢圓C:+y2=1;()設(shè)過M、N兩點的圓系方程為:x2+3y2-3+(kx-y+t)(kx+y+s)=0,即(1+k2)x2+(3-)y2+k(t+s)x+(t-s)y+ts-3=0(1+k2)=(3-)=圓系方程為:x2+y2+x+y+=0;由于MN是圓的直徑,故圓心(-,-)在直線y=kx+t上s=2t圓系方程為:x2+y2+x-y+=0;令y=0得:x2+x+=03(x2-1)k2+6txk+4t2+x2-3=0;令x=1得:6tk+4t2-2k=-對任意的t0,都存在k=-,使得以線段MN為直徑的圓過定點(1,0).例4:四點共圓.始源問題:(2011年全國高考試題)已知O為坐標原點,F為橢圓C:x2+=1在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為-的直線l與C交于A、B兩點,點P滿足+=0.()證明:點P在C上;()設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上.解析:()設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由F(0,1)直線l:y=-x+1,代入x2+=1得4x2-2x-1=0x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=1;由+=0=(-(x1+x2),-(y1+y2)=(-,-1)點P(-,-1)點P在C上;()(法一)直線l:y=-x+1,P(-,-1),Q(,1),過直線l與橢圓C交點的曲線系:2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y+t)=0(2+2)x2+(1-)y2+(t-1)x+(t+1)y-t-2=0,由該曲線為圓2+2=1-=-圓的方程為:4x2+4y2-(t-1)x-(t+1)y+t-6=0,若點P(-,-1)在該圓上t=0圓的方程為:4x2+4y2+x-y-6=0點Q(,1)在該圓上;(法二)直線l:y=-x+1,直線PQ:x-y=0,過直線l、PQ與橢圓C交點的曲線系:2x2+y2-2+(x+y-1)(x-y)=0(2+2)x2+(1-)y2-x+y-2=0,當=-時,曲線系:4x2+4y2+x-y-6=0為圓A、P、B、Q四點在同一圓上.原創(chuàng)問題:設(shè)A,B是橢圓3x2+y2=上的兩點,點N(1,3)是線段AB的中點,線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點.()確定的取值范圍,并求直線AB的方程; 176 第21講:曲線系理論及其應(yīng)用 ()試判斷是否存在這樣的,使得A,B,C,D四點在同一個圓上?并說明理由.解析:()3+912,直線AB:3x+3y=3+9x+y-4=0;()過直線AB、CD與橢圓C交點的曲線系:3x2+y2-+t(x+y-4)(x-y+2)=0(3+t)x2+(1-t)y2-2tx+6ty-8t-=0曲線系為圓t=-1圓的方程為:2x2+2y2+2x-3y+8-=0A,B,C,D四點在同一個圓上.例5:四點共圓的條件.始源問題:(1993年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)設(shè)0ab0)的左、右焦點,P是橢圓C上的任意一點,且的最大值是3,最小值是2.()求橢圓C的方程;()過兩點F1和A(1,1)分別引直線l和m,使與橢圓C有四個不同的交點.當這四個交點共圓時,求直線l與m的交點Q的軌跡方程.解析:()設(shè)P(acos,bsin),F1(-c,0),F2(c,0),其中a2=b2+c2,則=(acos+c)(acos-c)+b2sin2=a2cos2-c2+b2sin2=a2(1-sin2)-c2+b2sin2=(a2-c2)-(a2-b2)sin2=b2-c2sin2b2=3,b2-c2=2c2=1a2=4橢圓C:+=1;()設(shè)直線l:k1x-y+k1=0,直線m:k2x-y+1-k2=0,過這四點的曲線系:3x2+4y2-12+(k1x-y+k1)(k2x-y+1-k2)=0(3+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(4+)y2+k1x-(1+k1-k2)y+k1(1-k2)=0;該曲線系為圓3+k1k2=4+,(k1+k2)=0=,k1+k2=0;此時,由k1x-y+k1=0,k2x-y+1-k2=0(k1-k2)x+(k1+k2)-1=0x=y=k1+x(y-)=.例6:圓的雙切線方程.始源問題:(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)如圖,P是拋物線y2=2x上的動點,點B,C在y軸上,圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于PBC,求PBC面積的最小值.解析:由拋物線的對稱性知,不妨設(shè)P(2t2,2t)(t0),圓(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0雙切線PB與PC的方程為:4t4(x2+y2-2x)-2t2x+2ty-(x+2t2)2=0,令x=0得:4t4y2-(2ty-2t2)2=0(t0)(ty)2=(y-t)2.因為當t=1時,只有切線PB與y軸相交;當0t1,且yB=,yC=|BC|=|yB-yC|=SPBC=|BC|xP|=22+(t2-1)+8.當且僅當t=時,等號成立.原創(chuàng)問題:設(shè)P是拋物線C1:x2=4y上的點.過點P做圓C2:x2+(y+1)2=1的兩條切線,交直線l:y=-1于A,B兩點.()若拋物線C1在P處的切線l1分別與x、y軸交于點M、N,求證:M是PN的中點;()是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線l1平分？若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由. 第21講:曲線系理論及其應(yīng)用 177 解析:()設(shè)P(2t,t2),則拋物線C1在P處的切線l1:2tx=2(y+t2),即y+t2=txM(t,0),N(0,-t2)M是PN的中點;()圓C2:x2+y2+2y=0雙切線PA與PB的方程為:(t4+6t2)(x2+y2+2y)-2tx+t2y+y+t22=0;令y=-1得:(t4+6t2)(x2-1)-(2tx-1)2=0(t4+2t2)x2+4tx-(t4+6t2+1)=0xA+xB=-=-AB的中點為(-,-1);線段AB被拋物線C1在點P處的切線l1平分點(-,-1)在y+t2=tx直線上-1+t2=-t=0,矛盾.不存在.例7:橢圓合成的二次曲線分解為直線.始源問題:(2011年四川高考試題)橢圓有兩頂 y點A(-1,0)、B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l D與橢圓交與C、D兩點,并與x軸交于點P.直線 CAC與直線BD交于點Q. A O B P x()當|CD|=時,求直線l的方程; ()當點P異于A、B兩點時,求證:為定值.解析:()橢圓x2+=1,設(shè)直線l:y=kx+1,由(2+k2)x2+2kx-1=0|CD|=k=直線l:y=x+1;()設(shè)直線AC:y-k1x-k1=0,直線BD:y-k2x+k2=0則過A,B,C,D四點的曲線系:2x2+y2-2+(y-k1x-k1)(y-k2x+k2)=0(2+k1k2)x2+(1+)y2-(k1+k2)xy-(k1-k2)y-k1k2-2=0;該曲線系變?yōu)橹本€AB與CD2+k1k2=0,此時曲線系:y(1+)y-(k1+k2)x-(k1-k2)=0直線CD:(1+)y-(k1+k2)x-(k1-k2)=0xP=;又由直線AC:y-k1x-k1=0,直線BD:y-k2x+k2=0k1xQ+k1=k2xQ-k2xQ=xPxQ=1.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率e=,長軸的左、右端點分別為A(-2,0)、B(2,0).()求橢圓C的方程;()設(shè)直線x=ky+1與橢圓C交于M、N兩點,求證:直線AM與BN的交點P在定直線上.解析:()由e=;又由a=2b2=3橢圓C:+=1;()設(shè)P(x,y),直線PA:y-k1x-2k1=0,直線PB:y-k2x+2k2=0過A、M、B、N四點的二次曲線系:3x2+4y2-12+(y-k1x-2k1)(y-k2x+2k2)=0(3+k1k2)x2-(k1+k2)xy+(4+)y2+2(k2-k1)y-4k1k2-12=0;該曲線系變?yōu)橹本€AB與MN3+k1k2=0,此時曲線系:y(k1+k2)x-(4+)y-2(k2-k1)=0直線MN:(k1+k2)x-(4+)y-2(k2-k1)=0;由直線MN過點(1,0)k1+k2=2(k2-k1)+=2(-)x=4點P在定直線x=4上.例8:雙曲線合成的二次曲線分解為直線.始源問題:(2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽初賽試題)設(shè)點A(-1,0),B(1,0),C(2,0), y PD在雙曲線x2-y2=1的左支上,DA,直線CD交雙曲線x2-y2=1的右支于點E,求證:直線AD與BE的交點P在直線x=上. A B C x解析:設(shè)P(x0,y0),直線AD:y-k1x-k