6-1-4.和差問題（二）教學目標1. 會判斷什么樣的應用題屬于和差問題：已知兩個數的和以及兩個數的差，要分別求這兩個數；2. 并掌握和差問題的特性，為以后繼續學習和倍、差倍問題做準備；3. 總結歸納出解決和差問題的方法，并解決一些實際問題知識精講和差問題是已知大小兩個數的和與這兩個數的差，求大小兩個數各是多少的應用題。為了解答這種應用題，首先要弄清兩個數相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數的差，而有些應用題把兩個數的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。 知道兩個數的和，以及它們的差，要求這兩個數，解決和差問題需要我們畫線段圖來分析，方法如下：(兩數的和兩數的差)2較小的數 較小的數兩數的差=較大的數 (兩數的和兩數的差)2=較大的數 較大的數兩數的差=較小的數 例題精講【例 1】 學學和思思共有87顆糖果，學學給了思思5顆后，思思比學學還多3顆，原來學學有 顆糖果，思思有 顆糖果【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，2年級，第7題【解析】 學學給了思思5顆后，思思比學學還多3顆，這說明學學比思思多顆糖果，利用和差問題，思思有顆糖果，學學有顆糖果 和差問題及移多補少問題【答案】學學顆，思思顆【例 2】 有大、小兩個油桶，一共裝油24千克，兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克問：原來大、 小兩個油桶各裝油多少千克？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克，那么也就是說大桶比小桶多4千克的油，知道這兩桶油的和，又找到了這兩桶油的差，這道題就變成了典型的和差問題的應用題了方法一：大桶：（千克） 小桶：（千克）方法二：小桶：（千克） 大桶：（千克）【答案】大桶千克，小桶千克【例 3】 小華和小敏共有鉛筆25枝，如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，小華和小敏原來各有多少枝鉛筆？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，這就說明原來小華的鉛筆比小敏的鉛筆多3枝找到了這個暗差，這道題就簡單了方法一：小華：（枝） 小敏：（枝）方法二：小敏：（枝） 小華：（枝）【答案】小華塊，小敏塊【例 4】 甲、乙兩個籠子里共有小雞20只,甲籠里新放4只,乙籠里取出1只,這時乙籠還比甲籠多1只,求甲、乙兩籠原來各有雞多少只?【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這樣想:已知甲、乙兩個籠子里小雞的和是20只,根據甲籠里放入4只,乙籠里取出1只,還剩1只可知,甲、乙兩個籠里小雞只數相差:4+1+1=6(只) 解: 1.乙籠比甲籠多多少只？4+1+1=6(只) 2.甲籠原來有小雞多少只? (20-6)2=142=7(只) 3.乙籠里原來有小雞多少只? 20-7=13(只)或(20+6)2=13(只) 答:甲籠里原有小雞7只;乙籠里原有小雞13只?！敬鸢浮考谆\只，乙籠只【例 5】 周明和王剛兩人數學成績的和是182分周明如果多考5分，就比王剛多3分周明和王剛的數學各考了多少分？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 已知周明和王剛兩人數學成績的和是182分，根據條件“周明如果多考5分，就比王剛多3分“可知，王剛的數學成績比周明多（分）轉換成和差問題解答如下：方法一：王剛：（分） 周明：（分）方法二：周明：（分） 王剛：（分）【答案】王剛分，周明分【例 6】 兔媽媽拔了29個蘿卜分給了小白兔和小黑兔，因為分的蘿卜不一樣多，兔媽媽讓小白兔給了小黑兔5個，這時再來數發現小黑兔比小白兔多出1個蘿卜，你知道原來小白兔和小黑兔各分到了多少個蘿卜嗎？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題關鍵也是要找到暗差，小白兔給了小黑兔5個后，小黑兔又比小白兔多出1個蘿卜，畫圖來分析，可以得出原來小白兔比小黑兔多個蘿卜這時就可以根據和差問題問題來解決了 方法一：小白兔：（個），小黑兔：（個） 方法二：小黑兔：（個），小白兔：（個）【答案】小白兔個，小黑兔個【鞏固】 豆豆和苗苗各有一盒玻璃球，共有粒，豆豆給了苗苗粒，豆豆剩下的玻璃球比苗苗還多粒，原來苗苗有（ ）粒玻璃球?！究键c】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽【解析】 方法一：現在喵喵有粒，因此原來有粒。方法二：原來豆豆比苗苗多粒，因此原來苗苗有?！敬鸢浮苛！眷柟獭?甲乙兩個倉庫共存大米56包，從乙倉庫調8包到甲倉庫，兩個倉庫大米的包數就同樣多了，甲、乙兩個倉庫原有大米各多少包？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 乙比甲多（包） 甲：（包） 乙：（包）答：甲倉庫有大米20包，乙倉庫有大米36包【答案】甲倉庫，乙倉庫包【鞏固】 兩箱圖書共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本甲、乙兩箱原有圖書各多少本？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 已知甲箱借出10本圖書后，比乙箱少4本，可知甲箱原來比乙箱多（本）圖書 方法一：甲箱：（本） 乙箱：（本）方法二：乙箱：（本） 甲箱：（本）【答案】甲箱本，乙箱本【鞏固】 方方和圓圓共有圖書70本，如果方方給圓圓5本，那么圓圓就比方方多4本問：方方和圓圓原來各有圖書多少本？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方方給圓圓5本后，圓圓比方方多4本，那么芳芳比圓圓多（本）圖書原來方方有：（本），圓圓有：（本）【答案】方方有本，圓圓有本【鞏固】 甲、乙兩校共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學生多少人？ 【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 甲、乙兩校學生人數的和是864人，根據由甲校調入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 322+48112（人）. 112是兩校人數差。乙校原有的學生：（864-322-48）2376（人）甲校原有學生：864-376=488（人）答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人?！敬鸢浮考仔Ｔ袑W生488人，乙校原有學生376人【鞏固】 小猴和小熊到動物商店一共買了30塊糖，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊小熊比小猴少買幾塊糖？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 一共買了30塊糖是一個多余的條件，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊，說明小猴的糖比小熊一共多22塊，可畫圖分析列式：（塊）,小熊比小猴少買22塊糖【答案】小熊比小猴少買22塊糖【例 7】 二年級原來女同學比男同學多25人，今年二年級又增加了80個男同學和65個女同學，請問：現在是男同學多還是女同學多？多幾人？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題有兩種思維方法：方法一：如果原來女同學與男同學人數同樣多，那么增加后的人數男同學比女同學多 (人)，實際上“原來女同學比男同學多25人”，盡管男同學人數比女同學多增加了15人，結果還是女同學人數多，多 (人)說明： 我們也可以這樣思考：如果今年二年級增加的男同學人數和女同學人數同樣多，都增加65人，那么女同學仍比男同學多25人，實際上男同學比女同學多增加了 (人)，由于“原來女同學比男同學多25人”，所以，增加后的人數女同學仍比男同學多，多 (人)列式：（人） （人）方法二：我們先不看男同學的變化，先觀察女同學的變化，二年級原來女同學比男同學多25人，今年二年級又增加了65個女同學，如果男同學人數不增加，女同學就要比男同學增加（人）而男同學又增加了80人，現在女同學就比男同學多人列式：（人）（人）答：現在女同學多，多10人【答案】現在女同學多，多10人【例 8】 第七屆“小機靈杯”數學競賽復賽）甲校原來比乙校多人，為方便就近入學，甲校有若干人轉入乙校，這時甲校反而比乙校少人甲校有多少人轉入乙校？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 利用移多補少思想思考，（人），當甲校轉入乙校24人時，那么甲乙兩校的人數就一樣多，當甲校繼續有同學轉入到乙校時，每轉入一個同學，甲校就比乙校少2人，當再從甲校轉入6人到乙校時，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共轉入乙校（人）時，甲校就比乙校少12人【答案】人【鞏固】 甲、乙兩筐蘋果，甲筐比乙筐多19千克，從甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 從甲筐取出放入乙筐，總數不變。甲筐原來比乙筐多19千克，后來比乙筐少3千克，也即對19千克進行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，問題就變成最和差問題：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，從甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克?！敬鸢浮考卓鹑〕?1千克【例 9】 哥哥今年14歲，妹妹今年8歲，當兄妹倆歲數的和是42歲時，倆人各應該是多少歲？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于“年齡差”不隨年份的推移而變化，所以，兄妹的年齡差始終是 (歲)當兄妹的歲數和是42歲時，由和差公式可以求解哥哥為 (歲)， 妹妹為 (歲) 答：那時哥哥24歲，妹妹18歲【答案】那時哥哥24歲，妹妹18歲【鞏固】 兄弟倆現在年齡和是28歲，3年前哥哥比弟弟大2歲，兄弟倆現在各多少歲？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 3年前哥哥比弟弟大2歲，現在哥哥仍比弟弟大2歲，他們的年齡差不變 哥哥： (歲) 弟弟： (歲)答：哥哥現在15歲，弟弟現在13歲【答案】哥哥現在15歲，弟弟現在13歲【鞏固】 今年小玲6歲,她父親34歲,當兩人年齡和是58歲時,兩人年齡各多少歲?【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 題中沒有給出小玲和父親的年齡之差,但是已知兩人今年的年齡,那么兩人的年齡差是34-6=28(歲),不論再過多少年,兩人的年齡差是保持不變的,所以當兩人年齡和為58歲時,他們的年齡差仍是28歲,根據和差問題就可解此題。 解: 1.父親的年齡：58+(34-6)2=58+282=862=43(歲) 2.小玲的年齡：58-43=15(歲) 答:當兩人年齡和為58歲時,父親的年齡是43歲,小玲的年齡是15歲。【答案】父親的年齡是43歲,小玲的年齡是15歲【鞏固】 今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲. 爸爸的年齡：58（35-7）2=58282=862=43（歲）小強的年齡：58-4315（歲）答：當父子兩人的年齡和是58歲時，小強15歲，他爸爸43歲?！敬鸢浮啃?5歲，他爸爸43歲【例 10】 請根據圖7中的信息計算，白兔原有胡蘿卜 個，灰兔原有胡蘿卜 個。圖7【考點】復雜的和差問題 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 灰兔的胡蘿卜比白兔的多50個.白兔的胡蘿卜比灰兔的一半多50個，所以灰兔的胡蘿卜的一半為50+50=100個,灰兔的胡蘿卜有1002=200個，白兔有20050=150個.【答案】白兔個，灰兔個【例 11】 有三塊布料一共190米，第二塊比第一塊長20米，第三塊比第二塊長30米每塊布料各長多少米？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 先畫線段圖，從線段圖可以看出，以第一塊為標準，第二塊減少20米，第三塊減少 (米)，總和減少 (米)，即(米)120米相當于第一塊布料長的3倍，求出第一塊布料的長度，第二塊、第三塊就可以求出 第一塊布料長度的3倍是： (米) 第一塊布料的長度是： (米) 第二塊布料的長度是： (米) 第三塊布料的長度是： (米)【答案】第一塊布料的長度米，第二塊布料的長度米，第三塊布料的長度米【鞏固】 甲、乙、丙三個數的和是105，甲數比乙數多4，乙數比丙數多4，求丙數【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 已知甲數比乙數多4，乙數比丙數多4，可求出甲數比丙數多如果甲數少8，乙數少4，則甲、乙、丙三數相等，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙數 丙數 答：丙數是31?！敬鸢浮勘麛凳?1【鞏固】 有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 以第一條繩子為標準，變化后的繩子總長 95-78=96（米）第二條繩長： 96（11+1）=32（米）。第一條繩長：327=39（米）。第三條繩長：32-8=24（米）.【答案】第一條繩長39米，第二條繩長32米，第三條繩長24米【鞏固】 學而思學校新進99本書，分給三、四、五三個年級，三年級比四年級多分了2本，四年級比五年級多分了5本，三個年級各分得多少本書?【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們用圖來表示題意：此題從兩個數量擴展到三個數量已知三年級比四年級 多分了2本，四年級比五年級多分了5本，從線段圖上可以清楚地看出：三年級比五年級多分了257(本)如果三年級少拿7本，四年級少拿5本，那么書的總數就要減少7512(本)，總共就是991287(本)87本相當于五年級所有的書本數的3倍，由此可以算出三年級四年級五年級三人各自書本的數量五年級：99(25)5329(本)四年級：29534(本) 三年級：34236(本)【答案】三年級36本，四年級34本 ，五年級29本【鞏固】 草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只黑兔、白兔、灰兔各有多少只？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 畫圖分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，補到灰兔比白免少的部分，這樣黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔這么多，因此可以先求出白兔的只數列式：白兔：（只）黑兔：（只） 灰兔：（只）【答案】白兔只，黑兔只， 灰兔只【鞏固】 小琴、小靜、小蓮三人年齡和是20歲，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲三人的年齡各是幾歲？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 以小靜為標準，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲，把小琴比小靜大的1歲，補給小蓮，那么小琴現在和小靜一樣大，而小蓮比小靜就只小1歲，如果再加上1歲，也和小靜一樣大那么現在小靜年齡的3倍就應該是（歲）接下來就可以分別求出三人的年齡 小靜年齡的3倍是：（歲） 小靜現在的年齡是：（歲） 小琴現在的年齡是：（歲） 小蓮現在的年齡是：（歲）【答案】小靜年齡歲，小琴年齡歲，小蓮年齡歲【鞏固】 三個小組共有180人，一、二兩個小組人數之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數。 【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 先將一、二兩個小組作為一個整體，這樣就可以利用基本和差問題公式得出第一、二兩個小組的人數和，然后對第一、二兩個組再作一次和差基本問題計算，就可以得出第一小組的人數。一、二兩個小組人數之和=（180+20）/2=100人，第一小組的人數=（100-2）/2=49人?！敬鸢浮康谝恍〗M的人數49人【鞏固】 一個三層書架共放書108本上層比中層多放11本，下層比中層少放5本，上、中、下三層各放書多少本?【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 中：（108-11+5）3=34（本），上：34+11=45（本），下：345=29（本）。評析：（1）此題用畫線段圖的方法會更直觀，易懂。 （2）這道題原題的解法是先求中層的書，這樣比較簡單.為了更好的鍛煉學生對這道題的理解，建議老師可以讓學生自己練習先求上層的書的數量，或者先求下層書的數量。【答案】上45本，中34本，下29本【例 12】 四（1）班投票選舉班長，小明得到的選票比小華多14張，小華得到的選票比小玲多8張。如果這3人共得選票54張，那么他們各得選票多少張？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 小玲得到選票最少，我們以小玲得到選票張數為標準，畫出線段圖如下：可以先求出小玲獲票張數，再求出另外兩個人的獲票張 數。觀察線段圖，把小玲獲票張數看作1份，把小華獲票 張數去掉8張，把小明獲票張數去掉（8+14）張，都湊成1份，總張數減少為：54-8-（8+14）=24（張）。所以小玲獲票張數為：243=8（張）；小華獲票張數為： 8+8=16（張）；小明獲票張數為：16+14=30（張）?！敬鸢浮啃×岖@票張數為8張；小華獲票張數為16張；小明獲票張數為30張。【例 13】 星期天小明、小強和小佳一起去采摘。小強說：“我摘的蘋果最多了，比你們倆摘的蘋果總和還多1個。”小明回答說：“是啊。你比我多摘了l0個，但我比小佳多摘了l0個?！蹦敲此麄內斯舱?個蘋果?！究键c】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，3題【解析】 如圖所示，小強比小明和小佳摘的蘋果總和還多1個，即小佳摘的蘋果數為10-1=9（個），小明摘的蘋果數為10+9=19（個），小強摘的蘋果數為19+10=29（個），三人共摘9+19+29=57（個）.【答案】個【例 14】 甲的書比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有書47本問：甲、乙、丙各有多少本書？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 和差問題是指兩個數的和與差，現在出現了三個數，需要化為兩個數的和差問題因為“甲的書比乙多9本，比丙多2本”，說明乙的書比丙少 (本)由“乙、丙共有書47本”，乙比丙少7本，可用和差公式求解乙有書 (本)， 丙有書 (本)， 甲有書 (本) 答：甲有29本，乙有20本，丙有27本【答案】甲有29本，乙有20本，丙有27本【例 15】 大象、老虎、猴子三只動物的年齡中，大象和老虎共90歲，大象和猴子共70歲，老虎和猴子共40歲，請你算一算，三只動物各多少歲？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 大象、老虎、猴子三只動物的年齡和：（只） 大象的年齡：（歲） 老虎的年齡：（歲） 猴子的年齡：（歲）答：大象60歲，老虎30歲，猴子10歲【答案】大象60歲，老虎30歲，猴子10歲【鞏固】 小強、中強、大強去稱體重，大強和小強一起稱是50千克，小強和中強一起稱是49千克，三個人一起稱是76千克三人的體重各是多少千克？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 解答這道題，要用比較的方法，要抓住“三個人一起稱76千克”這個重要條件又知“大強和小強一起稱50千克”，這樣就可先求出中強的體重，或者根據“小強和中強一起稱是49千克”可求出小強的體重方法一：中強的體重：（千克） 小強的體重：（千克） 大強的體重：（千克）方法二：大強的體重：（千克） 小強的體重：（千克） 中強的體重：（千克）答：小強23千克，大強27千克，中強26千克【答案】小強23千克，大強27千克，中強26千克【鞏固】 甲乙共儲蓄32元，乙丙共儲蓄30元，甲丙共儲蓄22元，三人各儲蓄多少元?【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元) 即2倍的(甲+乙+丙)等于84元 甲+乙+丙=842=42(元) 丙:4232=10(元) 甲:4230=12(元) 乙:4222=20(元)【答案】 甲12元，丙10元，乙20元【鞏固】 大明、小榮、豆豆三個小朋友去稱體重，大明和小榮一起稱是55千克，大明和豆豆一起稱是49千克，小榮和豆豆一起稱是 56千克三人的體重各是多少千克？【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題是上一題的拓展，看起來無從下手，但是把50千克、49千克、61千克加起來，其實就是三個人體重的2倍，這樣我們就可以先求出三個人的總重量，接下來的思路就跟例10一樣了列式：三個人的總重量： （千克） 豆豆的體重： （千克） 小榮的體重： （千克） 大明的體重： （千克）答：大明24千克，小榮31千克，豆豆25千克【答案】大明24千克，小榮31千克，豆豆25千克【例 16】 老師桌上有一大疊作業本，其中有162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班的共有87本那么二班的作業本共有 本【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，5題【解析】 設其他班的作業本數為A，則二班A162(本)，一班A143(本)，可得出二班與一班作業本數的差為：16214319（本），又知道一班和二班共87本，利用和差公式：可求出二班的本數（8719）253（本）.【例 17】 某校三年級和四年級各有兩個班三年級一班比三年級二班多4人，四年級一班比四年級二班少5人，三年級比四年級少17人，那么三年級一班比四年級二班少 人【考點】復雜的和差問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，4題【解析】 （1）把人數最少的三二班看成1份，三一班則為1份多4人，則四年級總共為2份多41721人，（2）因為四二班比四一班多5人，所以利用和差公式得出：（215）213（人）即四二班為1份多13人，四一班為1份多8人.（3）三一班比四二班少1349（人）【答案】【例 18】 四年