高二數(shù)學橢圓的幾何性質知識精講一. 本周教學內(nèi)容：橢圓的幾何性質二. 教學目標：通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用通過對橢圓的幾何性質的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等三. 重點、難點：重點：橢圓的幾何性質及初步運用難點：橢圓離心率的概念的理解四. 知識梳理1、幾何性質（1）范圍，即|x|a，|y|b，這說明橢圓在直線xa和直線yb所圍成的矩形里注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點（2）對稱性把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱（3）頂點在中，須令x0，得yb，點B1（0，b）、B2（0，b）是橢圓和y軸的兩個交點；令y0，得xa，點A1（a，0）、A2（a，0）是橢圓和x軸的兩個交點橢圓有四個頂點A1（a，0）、A2（a，0）、B1（0，b）、B2（0，b）線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；（4）離心率教師直接給出橢圓的離心率的定義：橢圓的焦距與長軸的比橢圓的離心率e的取值范圍：ac0， 0e1當e接近1時，c越接近a，從而b越接近0，因此橢圓越扁；當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；當e0時，c0，ab兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2y2a2，圖形就是圓了2、性質歸納為如下表：標準方程圖像范圍，對稱性關于x軸、y軸均對稱，關于原點中心對稱頂點坐標長軸端點A1（a，0），A2（a，0）；短軸端點B1（0，b），B2（0，b）長軸端點A1（0，a），A2（0，a）；短軸端點B1（b，0），B2（b，0）焦點坐標F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）半軸長長半軸長：a，短半軸長：b焦距2ca，b，c關系離心率【典型例題】例1. 求橢圓16x225y2400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形解：（1）列表。將，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標（x，y）（2）描點作圖先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓例2. 若橢圓的離心率為e，求實數(shù)k的值。解：當焦點在x軸上時，有得k8.當焦點在y軸上時，有得k.所求的k8或。例3. 若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的距離的最小值為，求橢圓的方程。解：所求的橢圓方程為例4. 橢圓（ab0）上一點M與兩焦點F1，F(xiàn)2所成的角F1MF2，求證F1MF2的面積為b2tan.解：設M F1m，M F2n，則mn2a，且4c2m2n22mncos（mn）22mn（1cos）4b22mn（1cos）例5. 如圖，橢圓的長短軸端點為A，B，過中心O作AB的平行線，交橢圓上半部分于點P，過P作x軸的垂線恰過左焦點F1，過F1再作AB的平行線交橢圓于C，D兩點，求橢圓的方程。解：設所求的橢圓方程為（ab0）則P（c，），又ABOP直線CD的方程為y（xc），將其代入橢圓方程化簡得，2x22cxc20所求的橢圓方程為（答題時間60分鐘，滿分100分）一、選擇題（5分840分）1、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是3，則P點到另一個焦點的距離為： （ ） A、2 B、3 C、5 D、72、橢圓的一個焦點與兩個頂點為等邊三角形的三個頂點，則橢圓的長軸長是短軸長的（ ）A、倍B、2倍C、倍D、倍3、橢圓的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是：（ ） A、 B、 C、 D、4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、5、橢圓（ab0）的半焦距為c，若直線y2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為c，則橢圓的離心率為（ ）A、 B、 C、 D、6、若以橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1，則此橢圓長軸的長的最小值為（）A、1 B、 C、2 D、27、橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，以F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M，已知直線F1M與圓F2相切，則離心率為（）A、 B、 C、 D、8、設橢圓（ab0）的兩個焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，若PF1PF2，則PF1PF2等于（）A、 B、2 C、 D、2二、填空題（5分420分）9、平面上點P到兩個定點A、B的距離之和等于|AB|，則P點軌跡是 。10、已知對稱軸為坐標軸，長軸長為6，離心率為的橢圓方程為 。11、橢圓的離心率為，則實數(shù)m的值為 。12、若M為橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且MF1F22MF2F12（0），則橢圓的離心率是 。三、解答題（共40分）13、（滿分8分）已知橢圓的焦點在軸上，焦距是4，且經(jīng)過，求此橢圓的方程。14、（滿分10分）若點在橢圓上，分別是橢圓的兩個焦點，且，求的面積。15、（滿分10分）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓左頂點A，上頂點B，左焦點F1到直線AB的距離為|OB|，求橢圓的離心率。16、（滿分12分）已知F1（3，0），F(xiàn)2（3，0）分別是橢圓的左、右焦點，P是該橢圓上的點，滿足PF2F1F2，F(xiàn)1PF2的平分線交F1F2于M（1，0），求橢圓方程。參考答案一、選擇題題號12345678答案DBABDDCB二、填空題9、線段AB 10、11、m3或m12、三、解答題13、解：因為焦距為4，所以 即 3設橢圓方程為 因為在橢圓上所以 6由得 所以橢圓方程為8