高二數學暑期專題輔導材料 函數一、 要點透視函數是高中數學最重要的內容之一，它內涵豐富，不僅其自身涉及到較多的思想方法，而且運用函數去分析與解決其他數學問題也是歷來高考熱點之一。函數思想是解決數學問題的重要教學思想之一，它是一根主線，貫穿整個高中數學的全過程。 主要內容包括：映射、函數、反函數、函數的奇偶性、單調性（周期性）、幾個基本初等函數 一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及它們的圖象與性質定義域、值域、奇偶性、單調性、圖象的對稱性等。數形結合思想是本章的最基本的數學思想，另外，分類討論思想、化歸思想等也是本章的基本思想。二、 典型例題解析例1已知集合，。其中，若，映射使B中元素和A中元素對應。求和的值。解：A中元素對應B中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。或 又 無解，而由解得，那么的象是，故 綜上所述：例2判斷下列各題中，函數與是不是同一函數？說明理由。，；，；，；，；，； ，解：的定義域是，而的定義域是R，與的定義域不同，與是兩個不同的函數。與的定義域都是R，又，即與的對應法則邊相同，所以與是相同函數。由于，它們對應法則不同，所以與是不同函數。是不同函數，的定義域是R，而的定義域是是相同函數，與的定義域都，又，所以它們的對應法則也相同。說明：定義域、值域、對應法則是函數的三大要素，定義域與對應法則確定則值域也隨而定，故兩個函數是相同函數的充要條件是它們的定義域與對應法則（在本質上）相同。例3求下列函數的定義域解：由 結合右圖：故原不等式的解集是由或或解之得：或或或由有， 當時，當時，則與同正或同負，故定義域為。說明：求由函數解析規定的定義域，主要考慮以下幾個因素分式的分母不為0；偶次根式被開方式大于等于0；對數真數大于0，底數大于0且不等于1等。例4已知函數定義域為R，則的取值范圍是 已知函數的定義域是，則函數的定義域是 若函數定義域是，則函數的定義域是 函數定義域是，則函數定義域是 解：由，則當時，顯然；當時，要使，對任意恒成立，當且僅當即 綜上所述：的范圍是由，則，即函數的定義域是由的定義域是，則，的定義域是由得，故的定義域是例5函數的定義域是R，求實數m的取值范圍。解：由對恒成立，即對任意恒成立。而（當且僅當時取“”） 的取值范圍是說明：對于恒成立問題，一般地，若，恒成立，的取值范圍是；若，恒成立，則的取值范圍是，。例6求下列函數的值域解：由，故的值域是令，則結合二次函數的圖象得出函數值域是 y由 8圖象如右 3 0 5 x故的值域是 函數的定義域是R。由有當時，無解，當時，即 綜上原函數的值域是。例7是R上奇函數，解關于的不等式函數的定義域為R，對任意，都有，且時，。求在上的最值。解：是奇函數，對任意，即，故 設，則 由于， 故在R上是單調增函數，其值域為又由由即 故的解集是說明：本題在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解時，也可如下處理：節R上單調增，由則即又 的解集是由于對任意、，都有 又 是奇函數。又設 即即是R上單調減函數 ，而 ，例8設，且，如果的定義域為，求的取值范圍。解：由題意，得的解集為，即在上恒成立。令，是減函數又， 得的取值范圍為 當時，取最大值，故說明：轉化為恒成立問題，再求的最大值利用單調性例9對的哪些值，函數的值域包含？解：當時，若，則無解；若，則總有解。故。當時，則方程，為使方程對有解，則對恒成立。 設，則在上是兩個減函數的和，也是減函數，故 當時，對總成立，方程總有解。綜上所述，當且時，函數的值域包含例10已知，試證明的圖象上不存在兩點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直。解：由得，故函數的定義域是設圖象上存在不同兩點，且，則 ， 故函數在上為減函數，則垂直于y軸的直線與的圖象至多有一個交點。所以，函數圖象上不存在兩點A、B，使直線AB與y軸垂直。說明：問題的實質是證明函數具有某種單調性。例11已知在上為單調函數，求的取值范圍。解：在區間上任取、，則 要使在上單調增，即當時，要，只要恒成立，由，應有，但條件，故與題設矛盾，舍去。同理，要使在上是減函數，即恒成立，即在恒成立，又由可得綜上所述，時函數在上為單調減函數。說明：本題針對函數單調性，作逆向分析，將問題轉化為恒成立問題，對函數單調性的概念考查深入。例12解方程；設、是三角形的三邊長，求證：解：原方程即為構造函數，易知函數在R上是增函數，于是原方程化為 由是單調增函數，故原方程的解是設，則，在上是增函數，又 即 又 說明：本題是函數單調性的應用。例13動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發順次經過B、C、D，再回到A，設x表示點P的行程，y表示PA的長，求y關于x的函數式。 解：如圖，當點P在AB邊上運動點，； 當點P在BC邊上運動時，； P 當點P在CD邊上運動時，；當點P在DA邊上運動時， 故所求函數式為 D P C PA B例14已知是定義在上偶函數，當時是減函數，如果不等式恒成立，求實數的取值范圍。解：是偶函數 不等式等價于 即 解之得：說明：本題充分利用偶函數的性質：，簡化分解過程中繁瑣的討論。例15若函數的圖象與其反函數的圖象完全重合，其中實數、滿足：，則此函數應具有怎樣的解析式？解：由得， 函數的反函數由題設的圖象與的圖象完全重合可知，對定義域內的一切實數都有即 即 當，時；當，時，當，時，因此函數具有以下三種形式：，例16已知二次函數滿足，且方程有等根。求、；是否存在實數、，使得函數在定義域內值域為。如果存在，求出、的值，如果不存在，請說明理由。解： 的圖象關于直線對稱，即 即有等根， 由三個式得，由得 ， 在上是單調增函數即 、是方程的兩個不等根。解得 ，答：存在，滿足條件鞏固練習1已知映射，其中，B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的，在B中和它對應的元素是，則B中元素的個數是（ ）A4 B5 C6 D72設集合A和B都是，映射把集合A中的元素n映射到B中元素是在映射f下，象20的原象是（ ）A2 B3 C4 D53從集合到集合的映射共有（ ）個A2 B3 C4 D54下列四組函數中，表示同一個函數的是（ ）A， B，C， D，5下列圖象中，不可能是函數的圖象是（ ） y y y y0 x 0 x 0 x 0 x A B C D6函數的定義域是（ ）A B C D7如果函數滿足，則（ ）A3 B3 C3或3 D5或38若函數的定義域為，則函數的定義域是（ ）A B C D9已知函數，那么，當時，（ ）A B C D10函數滿足，且，則 11由一個正方體的三個頂點所構成的正三角形的個數為 。12函數的定義域是 13函數的定義域是R，則的取值范圍是 14值域是 15，則方程的解集是 16已知定義域是求的定義域； 定義域；17若的定義域和值域都是，求參考答案1A 2C 3C 4A 5D6C 7B 8B 9B10111213141516 當時，當時，17能力提高1已知函數的定義域是，則的定義域為（ ）A B C D2已知函數是偶函數，定義域為R，且在上遞減，則下列各式正確的是（ ）A BC D3在區間上，函數與在同一點處取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）A B C D4已知函數的定義域是，則實數的取值范圍是（ ）A B C D5對于滿足的所有實數，使不等式都成立的的取值范圍是（ ）A B C D6現有一組實驗數據如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12：1.5 4.04 7.5 12 18.01準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是（ ）A B C D7，的值域是 8的單調增區間是 9若為奇函數，則實數 10若函數在上單調遞減，則的取值范圍是 11設二次函數，若存在使，則實數的取值范圍是 12若關于的方程有正數解，則的取值范圍是 13若且，則、的大小關系是 14設是正數，記的最