江蘇省啟東中學2018-2019學年度第二學期高二年級第二次月考數學試卷（理科）考試時間：120分鐘 滿分：160分 一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應位置1.已知集合，且，則實數的值為_.【答案】3【解析】【分析】由題意結合集合元素的互異性分類討論求解實數m的值即可.【詳解】由題意分類討論：若，則，不滿足集合元素的互異性，舍去；若，解得：或，其中不滿足集合元素的互異性，舍去，綜上可得，.【點睛】本題主要考查集合與元素的關系，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2.設全集，若，則_.【答案】【解析】【分析】求出集合B中函數的定義域，再求的集合B的補集，然后和集合A取交集.【詳解】，,故填.【點睛】本小題主要考查集合的研究對象，考查集合交集和補集的混合運算，還考查了對數函數的定義域.屬于基礎題.3.若函數滿足，則當趨向于0時，趨向于_【答案】-12【解析】【分析】由當趨向于時，再根據的定義和極限的運算，即可求解【詳解】當趨向于時，因為，則，所以【點睛】本題主要考查了導數概念，以及極限的運算，其中解答中合理利用導數的概念與運算，以及極限的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題4.已知命題：，總有，則的否定為_【答案】，使得【解析】【分析】全稱命題改否定，首先把全稱量詞改成特稱量詞，然后把后面結論改否定即可.【詳解】解：因為命題，總有，所以的否定為：，使得故答案為：，使得【點睛】本題考查了全稱命題的否定，全稱命題（特稱命題）改否定，首先把全稱量詞（特稱量詞）改成特稱量詞（全稱量詞），然后把后面結論改否定即可.5.已知命題：，命題：，若命題是命題的充分不必要條件，則實數的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】先求出命題和命題的取值范圍，再根據命題和命題的充分不必要條件，利用集合之間的關系，即可求解.【詳解】由題意，可的命題得或，即集合或命題得或，即集合或，因為命題和命題的充分不必要條件，即集合A是集合B的真子集，所以，解得，又，所以，又由當時，命題和命題相等，所以，所以實數的取值范圍是，即.【點睛】本題主要考查了充分不必要條件的應用，其中解答中正確求解命題和命題，轉化為集合之間的關系求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題.6.已知，則等于_【答案】4【解析】【分析】根據導數的運算法則，即可得到結論【詳解】f（x）tanx，f（x），則f（）4，故答案為：【點睛】本題主要考查導數的計算，要求熟練掌握常見函數的導數公式，比較基礎7.對于集合，定義，設，則_.【答案】【解析】【分析】根據題意求出集合和，然后再求出即所求【詳解】依題意得ABx|x0，xR，BA，故AB0，)故答案為.【點睛】本題是定義新運算的問題，考查接受和處理新信息的能力，解題時要充分理解題目的含義，進行全面分析，靈活處理8.已知過點恰能作曲線的兩條切線，則的值是_.【答案】-3或-2【解析】設切點為(a,a3-3a).f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3,切線的斜率k=3a2-3,由點斜式可得切線方程為y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).切線過點A(1,m),m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.過點A(1,m)可作曲線y=f(x)的兩條切線,關于a的方程2a3-3a2=-3-m有兩個不同的根.令g(x)=2x3-3x2,g(x)=6x2-6x.令g(x)=0,解得x=0或x=1,當x0,當0x1時,g(x)1時,g(x)0,g(x)在(-,0)內單調遞增,在(0,1)內單調遞減,在(1,+)內單調遞增,當x=0時,g(x)取得極大值g(0)=0,當x=1時,g(x)取得極小值g(1)=-1.關于a的方程2a3-3a2=-3-m有兩個不同的根,等價于y=g(x)與y=-3-m的圖象有兩個不同的交點,-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,實數m的值是-3或-2.9.已知函數是定義在上偶函數，若對于，都有，且當時，則_【答案】0【解析】【分析】根據條件關系得到當時,函數是周期為4的周期函數,利用函數的周期性和奇偶性進行轉化求解即可【詳解】解：對于,都有,即當時,函數是周期為4的周期函數,當時,，則故答案為：0【點睛】本題主要考查函數值的計算,根據條件求出函數的周期,以及利用函數的周期性和奇偶性進行轉化是解決本題的關鍵10.已知函數在內不單調，則實數的取值范圍是_.【答案】或【解析】【分析】求得函數的導函數，對分成兩類，根據函數在內不單調列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，當時，單調遞增，不符合題意.當時，構造函數，函數的對稱軸為，要使在內不單調，則需，即，解得或.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.11.已知函數對于任意實數都有，且當時，若實數滿足，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先證明函數在0,+ 上單調遞增，在上單調遞減，再利用函數的圖像和性質解不等式|1得解.【詳解】由題得，當x0時，因為x0，所以，所以函數在0,+ 上單調遞增，因為，所以函數是偶函數，所以函數在上單調遞減，因為，所以|1，所以-11，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的奇偶性和單調性的應用，考查對數不等式的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12.若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】關于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，進而轉化為函數的圖象恒在圖象的上方，利用指數函數與對數函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，關于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，設，因為在上恒成立，所以當時，函數的圖象恒在圖象的上方，由圖象可知，當時，函數的圖象在圖象的上方,不符合題意，舍去；當時，函數的圖象恒在圖象的上方，則，即，解得，綜上可知，實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了指數函數與對數函數的圖象與性質的應用，以及不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式恒成立轉化為兩個函數的關系，借助指數函數與對數函數的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.13.已知函數，函數有四個零點，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問題轉化為與有四個不同的交點的問題；畫出圖象后可知，當與在和上分別相切時，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導數幾何意義和二次函數的知識分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個零點等價于與有四個不同的交點當時，當時，；當時，即在上單調遞減，在上單調遞增 當時，此時由此可得圖象如下圖所示：恒過，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點即臨界狀態為與兩段圖象分別相切當與相切時，可得：當與相切時設切點坐標為，則又恒過，則即，解得： 由圖象可知：【點睛】本題考查利用函數零點個數求解參數范圍的問題，其中還涉及到導數幾何意義的應用、二次函數的相關知識.解決零點問題的常用方法為數形結合的方法，將問題轉化為曲線與直線的交點問題后，通過函數圖象尋找臨界狀態，從而使問題得以求解.14.已知方程，有且僅有四個解，則_【答案】【解析】由圖可知 ,且 時, 與 只有一個交點,令 ,則由 ,再由,不難得到當 時 與 只有一個交點,即 ,因此點睛：(1)運用函數圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數的性質.(2)在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究.二解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟15.（1）已知集合，：，：，并且是的充分條件，求實數的取值范圍（2）已知：，：，若為假命題，求實數的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由二次函數的性質，求得，又由，求得集合，根據命題是命題的充分條件，所以，列出不等式，即可求解（2）依題意知，均為假命題，分別求得實數的取值范圍，即可求解【詳解】（1）由，所以集合，由，得，所以集合，因為命題是命題的充分條件，所以，則，解得或，實數的取值范圍是.（2）依題意知，均為假命題，當是假命題時，恒成立，則有，當是假命題時，則有，或.所以由均為假命題，得，即.【點睛】本題主要考查了復合命題的真假求參數，以及充要條件的應用，其中解答中正確得出集合間的關系，列出不等式，以及根據復合命題的真假關系求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題16. 某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：若，則獎勵玩具一個；若，則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.（）求小亮獲得玩具的概率；（）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.【答案】（）.（）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.【解析】試題分析：（）確定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮獲得玩具的概率；（）求出小亮獲得水杯與獲得飲料的概率，即可得出結論試題解析：(1)兩次記錄的所有結果為（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16個。滿足xy3的有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5個，所以小亮獲得玩具的概率為。4分(2) 滿足xy8的有（2,4），（3,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6個，所以小亮獲得水杯的概率為；8分小亮獲得飲料的概率為，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。10分考點：古典概型17.已知二次函數，若，且函數的值域為.（1）求，的值；（2）若，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據題意得到方程組，即可求解得值；（2）由（1）知，進而得到則，分類討論，即可求解函數的最小值【詳解】（1）由題意，顯然，由，所以，又函數的值域為，所以，由方程組，解得.（2）由（1）知，則若，則，即，又，時，；若，則，即，又，時，綜上所述，.【點睛】本題主要考查了二次函數的解析式的求解，以及二次函數的圖象與性質的應用，其中解答熟記二次函數的圖象與性質，合理分類討論是解答的關鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題18.某地擬規劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區域（區域）設計成半徑為的扇形，中心角.為方便觀賞，增加收入，在種植區域外圍規劃觀賞區（區域）和休閑區（區域），并將外圍區域按如圖所示的方案擴建成正方形，其中點，分別在邊和上已知種植區、觀賞區和休閑區每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元.（1）要使觀賞區的年收入不低于5萬元，求的最大值；（2）試問：當為多少時，年總收入最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，所以與全等.可得，根據面積公式，可求得觀賞區的面積為，要使得觀賞區的年收入不低于5萬元，則要求，解不等式即可求出結果.（2）由題意可得種植區的面積為，正方形面積為，設年總收入為萬元，則，利用導數在函數單調性中的應用，即可求出結果.【詳解】（1），所以與全等.所以，觀賞區的面積為，要使得觀賞區的年收入不低于5萬元，則要求，即，結合可知，則的最大值為.（2）種植區的面積為，正方形面積為，設年總收入為萬元，則，其中，求導可得.當時，遞增；當時，遞增.所以當時，取得最大值，此時年總收入最大.【點睛】題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想，以及導數在求最值的應用.19.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，函數在上的最小值為，若不等式有解，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出導函數，然后根據的符號進行分類討論，并借助解不等式組的方法得到單調區間；（2）根據（1）中的結論求出當時，函數在上的最小值，因此問題轉化為有解，即有解，構造函數，求出函數的最小值即可得到所求詳解】（1）由，得，當時，令，得，所以，或，即或，解得或令，得，所以或，即或，解得或所以函數的單調遞增區間為，；單調遞減區間為當時，令，得，由可知；令，得，由可知或所以函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為，綜上可得，當時，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為當時，的單調遞增區間為；單調遞減區間為，（2）由（1）可知若，則當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以不等式有解等價于有解，即有解，設，則，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以的極小值也是最小值，且最小值為，從而，所以實數的取值范圍為【點睛】（1）求函數的單調區間時，若函數解析式中含有字母、并且字母對結果產生影響時，需要對字母進行分類討論，討論時要選擇合適的標準，同時分類時要做到不重不漏（2）解答不等式有解的問題時，常用的方法是分離參數后轉化為求函數的最值的問題，解題時要用到以下結論：在上有解；在上有解若函數的最值不存在，則可