代數推理題怎么解陜西永壽縣中學 特級教師安振平數學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.例1設函數，已知，時恒有，求a的取值范圍. 講解: 由 ,從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.當直線與半圓相切時，易求得舍去）.故.本例的求解在于 關鍵在于構造新的函數, 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.例2 已知不等式對于大于1的正整數n恒成立，試確定a的取值范圍.講解: 構造函數，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數. n是大于1的 正整數，對一切大于1的正整數恒成立，必須,即這里的構造函數和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請提煉你的小結論.例3 已知函數在區間b，1b上的最大值為25，求b的值.講解: 由已知二次函數配方, 得 時，的最大值為4b2+3=25. 上遞增， 上遞增， . 關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區間b，1b, 自然引出解題形態的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.例4已知 的單調區間；（2）若講解: （1） 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 ,（2）首先證明任意事實上,而 .函數與不等式證明的綜合題在高考中常考常新,是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓練價值.針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!例5 已知函數f(x)=（，）(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P()對稱(2) 令an，對一切自然數n，先猜想使an成立的最小自然數a,并證明之(3) 求證：).講解: (1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M（，）， (1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入an的表達式，化簡可得an猜a=3,即3下面用數學歸納法證明設n=k(k)時，3那么n=k+1，3又3k（）（）（，）.(3)令k=1,2,，n，得n個同向不等式，并相加得：函數與數列綜合型問題在高考中頻頻出現,是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.例6 已知二次函數，設方程的兩個實根為x1和x2. （1）如果，若函數的對稱軸為x=x0，求證：x01； （2）如果，求b的取值范圍.講解:（1）設，由得, 即 ，故；（2）由同號.若.又，負根舍去）代入上式得，解得；若 即4a2b+30.同理可求得. 故當對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.例7 對于函數，若存在成立，則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0，2，且（1）求函數的解析式；（2）已知各項不為零的數列，求數列通項；（3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.講解: 依題意有,化簡為 由違達定理, 得 解得 代入表達式，由得 不止有兩個不動點，（2）由題設得 （*）且 （*）由（*）與（*）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，即是以-1為首項，-1為公差的等差數列，； （3）采用反證法，假設則由（1）知,有，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:由得t； （3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，并說明理由.講解 （1）為求f(1)的值，需令令.令. （2）令().由,于是對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)t. （3）由及（1）可知.下面證明當整數.()得即，將諸不等式相加得 .綜上，滿足條件的整數只有t=1，.本題的求解顯示了對函數方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.例10 已知函數f（x）在（1，1）上有定義，且滿足x、y（1，1） 有（1）證明：f（x）在（1，1）上為奇函數；（2）對數列求；（3）求證 講解 （1）令則 令