2010年普通高等學校招生全國統一考試數學理試題（安徽卷，解析版）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第2頁，第II卷第3至第4頁。全卷滿分150分鐘，考試時間120分鐘。考生注意事項：1答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。務必在答題卡背面規定的地方填寫姓名和座位號后兩位。2答第卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。3答第卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。4考試結束，務必將試題卷和答題卡一并上交。參考公式：如果事件與互斥，那么 如果與是兩個任意事件，那么如果事件與相互獨立，那么 第卷（選擇題，共50分）一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、是虛數單位， A、B、C、D、1.B【解析】，選B.【規律總結】為分式形式的復數問題，化簡時通常分子與分母同時乘以分母的共軛復數，然后利用復數的代數運算，結合得結論.2、若集合，則A、 B、 C、 D、2.A5、雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為A、B、C、D、5.C【解析】雙曲線的，所以右焦點為.【誤區警示】本題考查雙曲線的交點，把雙曲線方程先轉化為標準方程，然后利用求出c即可得出交點坐標.但因方程不是標準形式，很多學生會誤認為或，從而得出錯誤結論.6、設，二次函數的圖象可能是6.D【解析】當時，、同號，（C）（D）兩圖中，故，選項（D）符合.【方法技巧】根據二次函數圖像開口向上或向下，分或兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱坐標，還要注意對稱軸的位置或定點坐標的位置等.7、設曲線的參數方程為（為參數），直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點的個數為A、1B、2C、3D、47.B【解析】化曲線的參數方程為普通方程：，圓心到直線的距離，直線和圓相交，過圓心和平行的直線和圓的2個交點符合要求，又，在直線的另外一側沒有圓上的點符合要求，所以選B.【方法總結】解決這類問題首先把曲線的參數方程為普通方程，然后利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系，這就是曲線上到直線距離為，然后再判斷知，進而得出結論.8、一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為A、280B、292C、360D、3728.C【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。.【方法技巧】把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.又三視圖很容易知道是兩個長方體的組合體，畫出直觀圖，得出各個棱的長度.把幾何體的表面積轉化為下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。9、動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周。已知時間時，點的坐標是，則當時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數的單調遞增區間是A、B、C、D、和9.D【解析】畫出圖形，設動點A與軸正方向夾角為，則時，每秒鐘旋轉，在上，在上，動點的縱坐標關于都是單調遞增的。【方法技巧】由動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，可知與三角函數的定義類似，由12秒旋轉一周能求每秒鐘所轉的弧度，畫出單位圓，很容易看出，當t在變化時，點的縱坐標關于（單位：秒）的函數的單調性的變化，從而得單調遞增區間.10、設是任意等比數列，它的前項和，前項和與前項和分別為，則下列等式中恒成立的是A、B、C、D、10.D【分析】取等比數列,令得代入驗算，只有選項D滿足。【方法技巧】對于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數字代替字母，代入驗證，若能排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數字驗證繼續排除.本題也可以首項、公比即項數n表示代入驗證得結論.第卷（非選擇題，共90分）13.4【解析】不等式表示的區域是一個四邊形，4個頂點是，易見目標函數在取最大值8，所以，所以，在時是等號成立。所以的最小值為4.【規律總結】線性規劃問題首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域）則區域端點的值是目標函數取得最大或最小值，求出直線交點坐標代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式.14、如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出值_。14.12【解析】程序運行如下:,輸出12。【規律總結】這類問題，通常由開始一步一步運行，根據判斷條件，要么幾步后就會輸出結果，要么就會出現規律，如周期性，等差或等比數列型.15、甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_（寫出所有正確結論的編號）。； ； 事件與事件相互獨立；是兩兩互斥的事件； 的值不能確定，因為它與中哪一個發生有關15.【解析】易見是兩兩互斥的事件，而。【方法總結】本題是概率的綜合問題，掌握基本概念，及條件概率的基本運算是解決問題的關鍵.本題在是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進行轉化，可知事件B的概率是確定的.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區域內。16、（本小題滿分12分） 設是銳角三角形，分別是內角所對邊長，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。17、（本小題滿分12分） 設為實數，函數。 ()求的單調區間與極值；()求證：當且時，。18、（本小題滿分12分） 如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 ()求證：平面；()求證：平面；()求二面角的大小。19、（本小題滿分13分）已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程；()在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。20、（本小題滿分12分） 設數列中的每一項都不為0。 證明：為等差數列的充分必要條件是：對任何，都有。21、（本小題滿分13分） 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試。根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為。 現設，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并