動態模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規律,預報對象特征的未來性態,研究控制對象特征的手段,根據函數及其變化率之間的關系確定函數,微分方程建模,根據建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內在規律或用類比法建立微分方程,微分方程模型,微分方程,微分方程作為數學科學的中心學科，已經有三百多年的發展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數學內涵。我們要掌握常微分方程的一些基礎知識，對一些可以求解的微分方程及其方程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。,微分方程模型分為：1.常微分方程(組)模型;2.偏微分方程(組)模型在常微分方程（組）中影響結果的變量只有一個；而偏微分方程研究的是有多個變量影響結果時的規律。,常數變易法：它是由線性齊次方程（一階或高階）或方程組的解經常數變易后求相應的非齊次方程或方程組的解的一種方法。初等積分法：掌握變量可分離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分方程（含積分因子）的解法，會一些一階隱式微分方程的解法（參數法），會幾類可以降階的高階方程的解法（恰當導數方程）。,分離變量法：(1)可分離變量方程：(2)齊次方程：常數變易法：(1)線性方程，(2)伯努里方程，積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。,對于一階隱式微分方程有參數法：(1)不含x或y的方程:(2)可解出x或y的方程：對于高階方程，有降階法：恰當導數方程一階方程的應用問題（即建模問題）。,2一階線性微分方程組;3.高階線性微分方程;n階線性常系數微分方程解法;4.常微分方程的基本定理;5.常微分方程的穩定性理論;6.常微分方程的定性理論;7.差分方程;8.偏微分方程。,微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的數學手段，對于現實世界的變化，人們關注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發展規律，其規律一般可以用微分方程或方程組表示.,微分方程建模法總述,微分方程建模適用的領域:1.純數學（特別是幾何）,2.物理學（如動力學、電學、核物理學等）3.航空航天（火箭、宇宙飛船技術），4.考古（鑒定文物年代），5.交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間），6.生態（人口、種群數量），7.環境（污染），8.資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調度、工業生產管理），,9.生物（遺傳問題、神經網絡問題、動植物循環系統），10.醫學（流行病、傳染病問題），11.經濟（商業銷售、財富分布、資本主義經濟周期性危機），12.戰爭（正規戰、游擊戰）等。,微分方程模型是連續性模型中最主要的部分，模型的建立主要是基于機理分析的方法，利用所研究問題內部的聯系，利用微元法，通過建立微分方程或微分方程組描述問題的本質。所謂微元法就是考察變量的一個微小變動對結果的影響，進而得到反映變化規律的微分方程。,求解微分方程的方法大致有兩類：1.得到顯式表示的完全解，進而通過解的表達式分析模型結果；2.數值解法，這種解法通常需要計算軟件的協助，解的結果通常使用圖形的方式表示，或者可以求出某些關鍵點的函數值。,大多數微分方程模型的建立是基于平衡原理的分析。平衡原理:指自然界的任何物質在其變化的過程中一定受到某種平衡關系的支配。注意發掘實際問題中的平衡原理是從物質運動機理的角度組建數學模型的一個關鍵問題。,因為許多實際問題的數學描述將導致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步：1.根據實際要求確定要研究的量(自變量、未知函數、必要的參數等)并確定坐標系。2.找出這些量所滿足的基本規律(物理的、幾何的、化學的或生物學的等等)。3.運用這些規律列出方程和定解條件。,大體來說列常微分方程常見的方法有：（i）按規律直接列方程在數學、力學、物理、化學等學科中許多自然現象所滿足的規律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質的放射性規律等。我們常利用這些規律對某些實際問題列出微分方程。,（ii）微元分析法與任意區域上取積分的方法自然界中也有許多現象所滿足的規律是通過變量的微元之間的關系式來表達的。例如上面提到的水池問題等。,（iii）模擬近似法在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規律并不很清楚而且相當復雜，因而需要根據實際資料或大量的實驗數據，提出各種假設。在一定的假設下，給出實際現象所滿足的規律，然后利用適當的數學方法列出微分方程。,在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應用。不論應用哪種方法，通常要根據實際情況，作出一定的假設與簡化，并要把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證，以修改模型使之更準確地描述實際問題并進而達到預測預報的目的。,涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運動”、“追趕”、“逃跑”、等等詞語的確定性連續問題。,b、微分方程建模的基本手段微元法等,簡單來說：a、微分方程建模的對象,1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。,c、微分方程建模的基本規則,2、對問題中的特征進行數學刻畫,3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數值解或定性理論）；6、模型和結果的討論與分析。,具體建立微分方程模型的方法如下：1利用題目本身給出的或隱含的等量關系建立微分方程模型。這就需要我們仔細分析題目，明確題意，找出其中的等量關系，建立數學模型。,例如：在光學里面，旋轉拋物面能將放在焦點處的光源經鏡面反射后成為平行光線，證明其具有這一性質的曲線只有拋物線。,我們就是利用了題目中隱含的條件入射角等于反射角來建立微分方程模型的。,例如：在天文學、氣象學中常用到的等角軌線。已知曲線或曲線族(c)，求曲線（等角軌線或正交軌線），使與(c)中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，）即曲線的切線相交成給定的角度。,我們可在它們的導數之間建立聯系，又題目中隱含的條件是：在與(c)中曲線相交點處，它們的函數值相等；這樣，我們只要求出已知曲線或曲線族的微分方程，根據它們之間的聯系，就可以建立等角軌線的微分方程模型，從而求出等角軌線的方程。,2從一些已知的基本定律或基本公式出發建立微分方程模型。我們要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。,例如：1.從幾何觀點看，曲線y=y(x)上某點的切線斜率即函數y=y(x)在該點的導數；2.力學中的牛頓第二運動定律：f=ma,其中加速度a就是位移對時間的二階導數，也是速度對時間的一階導數；3.電學中的基爾霍夫定律等。從這些知識出發我們可以建立相應的微分方程模型。,例:在動力學中，如何保證高空跳傘者的安全問題。,解:對于高空下落的物體，我們可以利用牛頓第二運動定律建立其微分方程模型。設物體質量為m，空氣阻力系數為k，在速度v不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設時刻t時物體的下落速度為，初始條件：,由牛頓第二運動定律建立其微分方程模型：,求解模型可得：,由上式可知，當時，物體具有極限速度：,其中，阻力系數,為與物體形狀有關的常數，為介質密度，s為物體在地面上的投影面積。根據極限速度求解式子，在一定時，要求落地速度不是很大時，我們可以確定出s來，從而設計出保證跳傘者安全的降落傘的直徑大小來。,3利用導數的定義建立微分方程模型。,導數是微積分中的一個重要概念，其定義為：,商式單位自變量的改變量對應的函數改變量，即函數的瞬時平均變化率。其極限值函數的變化率。函數在某點的導數函數在該點的變化率。,例如：在考古學中，為了測定某種文物的絕對年齡，我們可以考察其中的放射性物質（如鐳、鈾等），已經證明其裂變速度（單位時間裂變的質量，即其變化率）與其存余量成正比。,由于一切事物都在不停地發展變化，變化就必然有變化率，也就是變化率是普遍存在的，因而導數也是普遍存在的。這就很容易將導數與實際聯系起來，建立描述研究對象變化規律的微分方程模型。,我們假設時刻t時該放射性物質的存余量R是t的函數，由裂變規律，我們可以建立微分方程模型:其中是k一正的比例常數，與放射性物質本身有關。求解該模型，我們解得：其中c是由初始條件確定的常數。從這個關系式出發，我們就可以測定某文物的絕對年齡。（參考碳定年代法）,另外，在經濟學領域中，導數概念有著廣泛的應用，將各種函數的導函數（即函數變化率）稱為該函數的邊際函數，從而得到經濟學中的邊際分析理論。,對于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數及其變化率之間的關系式，而是通過微元分析法，利用已知的規律建立一些變量（自變量與未知函數）的微元之間的關系式，然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地通過任意區域上取積分的方法來建立微分方程。,4利用微元法建立微分方程模型。,一般的，如果某一實際問題中所求的變量p符合下列條件：1)p是與一個變量t的變化區間a,b有關的量；2)p對于區間a,b具有可加性；3)部分量的近似值可表示為。,那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型，其步驟是：首先根據問題的具體情況，選取一個變量例如t為自變量，并確定其變化區間a,b；其次在區間a,b中隨便選取一個任意小的區間并記作，求出相應于這個區間的部分量的近似值。,如果能近似的表示為a,b上的一個連續函數在t處的f(t)值與dt的乘積，我們就把f(t)dt稱為量p的微元且記作dp。這樣，我們就可以建立起該問題的微分方程模型：dp=f(t)dt。對于比較簡單的模型，兩邊積分就可以求解該模型。,例如:1.在幾何上求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉曲面的面積、旋轉體體積、空間立體體積；2.代數方面求近似值以及流體混合問題；3.物理上求變力做功、壓力、平均值、靜力矩與重心；這些問題都可以先建立他們的微分方程模型，然后求解其模型。,例高為1m的半球形容器，其底部有橫截面積為1cm2的小孔，水從小孔流出（見圖），開始時容器內盛滿了水，求水面高度變化規律及水流完所需時間。既可用我們在高等數學中學過的微元法來求解。,例求一個離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止開始落向地面，求它落到地面時的速度和所需的時間（空氣阻力忽略不計）。,解：取連接地球中心與該物體的直線為y軸，其方向鉛直向上，地球中心為原點。,5熟悉一些經典的微分方程模型，對一些類似的問題，經過稍加改進或直接套用這些模型。,多年來，在各種領域里，人們已經建立起了一些經典的微分方程模型，熟悉這些模型對我們是大有裨益的。接下來，我們將重點了解一些著名的、經典的微分方程模型，例如生物種群模型、人口問題模型、傳染病模型、經濟增長模型：,應用微分方程的各種模型1.純數學（特別是幾何）模型,2.物理學（如動力學、電學、核物理學等）模型，3.航空航天（火箭、宇宙飛船技術）模型，4.考古（鑒定文物年代）模型，5.交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間）模型，6.生態（人口、種群數量）模型，7.環境（污染）模型，8.資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調度、工業生產管理）模型，,9.生物（遺傳問題、神經網絡問題、動植物循環系統）模型，10.醫學（流行病、傳染病問題）模型，11.經濟（商業銷售、財富分布、資本主義經濟周期性危機）模型，12.戰爭（正規戰、游擊戰）模型等。(其中的連續模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。下面，我們給出如何利用方程知識建立數學模型的幾種方法。),熟悉一些經典的微分方程模型，對一些類似的問題，經過稍加改進或直接套用這些模型。,多年來，在各種領域里，人們已經建立起了一些經典的微分方程模型，熟悉這些模型對我們是十分有益的。我們將重點了解一些著名的、經典的微分方程模型，例如：人口問題模型、傳染病模型、經濟增長模型等。,問題的提出假設和定義模型的建立分析和求解結論和討論,人口預測和控制,1.問題的提出,人口問題是當今世界上最令人關注的問題之一，一些發展中國家的人口出生率過高，越來越威脅著人類的正常生活，有些發達國家的自然增長率趨于零，甚至變為負數，造成勞動力緊缺，也是不容忽視的問題。另外，在科學技術和生產力飛速發展的推動下，世界人口以空前的規模增長，統計數據顯示：,可以看出，人口每增長十億的時間，由一百年縮短為十二三年。我們賴以生存的地球，已經帶著它的60億子民踏入了21世紀。長期以來，人類的繁衍一直在自發地進行著。只是由于人口數量的迅速膨脹和環境質量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關系，人口數量的變化規律，以及如何進行人口控制等問題。,我國是世界第一人口大國，地球上每九個人中就有二個中國人，在20世紀的一段時間內我國人口的增長速度過快，如下表：,有效地控制人口的增長，不僅是使我國全面進入小康社會、到21世紀中葉建成富強民主文明的社會主義國家的需要，而且對于全人類社會的美好理想來說，也是我們義不容辭的責任。,認識人口數量的變化規律，建立人口模型，作出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提，下面介紹兩個最基本的人口模型。,2.模型1(Malthus模型)18世紀末，英國人Malthus在研究了百余年的人口統計資料后認為，在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（出生率減去死亡率為凈增長率）是常數。,返回,這個模型可以與19世紀以前歐洲一些地區的人口統計數據很好地吻合，但是當后來人們用它與19世紀的人口資料比較時，卻發現了相當大的差異。人們還發現，遷往加拿大的法國移民后代的人口比較符合指數增長模型。而同一血統的法國本土居民人口的增長卻與指數模型大相徑庭。,分析表明，以上這些現象的主要原因是隨著人口的增長，