廣東省佛山市順德區均安中學高中數學 3.2.2 立體幾何中的向量方法學案 新人教A版選修2-1【學習目標】會建立空間直角坐標系，用空間向量方法解決異面直線所成角，線面角、面面角的問題.【探索新知】 1異面直線所成角：設異面直線所成的角的取值范圍是 ，直線的方向向量分別為，兩向量的夾角的取值范圍是0，則： 或 終有cos |cos |=_ ，如圖：2直線與平面所成角：設直線PA與平面所成的角為，直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦為與關系為：_3平面與平面所成角：設分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有（圖4）或 （圖5） 圖4 圖5二面角l 的大小為(),【基礎自測】2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A B C D 3在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是( ) A BCD4 直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120，則直線l與平面所成角等于()A120 B30 C60 D以上均不對2若平面的一個法向量n(2,1,1)，直線l的一個方向向量為a(1,2,3)，則l與所成角的正弦值為()A B C D1平面的一個法向量n1(1,0,1)，平面的一個法向量n2(3,1,3)，則與所成的角是()A30 B45 C60 D901二面角l中，平面的一個法向量n1，平面的一個法向量n2，則二面角l的大小為() A120 B150 C30或150 D60或120【合作學習】例1已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側棱PA平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側棱PC上的兩個三等分點.（1）求證：AN平面 MBD; （2）求異面直線AN與PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值.例2如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F為CD的中點(1)求證：AF平面BCE； (2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值【檢測反饋】3 在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于()A B C D3在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC，BD的交點，則C1O與A1D所成角的余弦值為()A B C D4已知三棱錐OABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，E為OC的中點，且OA1，OBOC2，則平面EAB與平面ABC夾角的余弦值是_7如圖所示，ABCD為直角梯形，ABC90，ABBCaAD2a，E是AD的中點，PA平面ABCD，PAa，則PC和BE是否垂直_ (填“是”或“否”)4若一個二面角的兩個面的法向量分別為m(0,0,3)，n(2,1,2)，則這個銳二面角的余弦值為_5已知PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC則二面角APBC的余弦值_5在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為_12.如圖，在圓錐中，已知的直徑的中點（I）證明：（II）求二面角的余弦值1如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是的中點，D為AC的中點(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值10四面體SABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，SBA45，SBC60，(1)求BC與平面SAB所成的角； (2)SC與平面ABC所成角的正弦值13.如圖5，在直棱柱（I）證明：；（II）求直線所成角的正弦值。2013遼寧卷 如圖14，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(1)求證：平面PAC平面PBC； (2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值圖1418解： (1)證明：由AB是圓的直徑，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因為BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)方法一：過C作CMAP，則CM平面ABC.如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB，CA，CM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系因為AB2，AC1，所以BC.因為PA1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)故(，0，0)，(0，1，1)設平面BCP的法向量為n1(x，y，z)則所以不妨令y1，則n1(0，1，1)因為(0，0，1)，(，1，0)，設平面ABP的法向量為n2(x，y，z)，則所以不妨令x1，n2(1，0)于是cosn1，n2，所以由題意可知二面角CPBA的余弦值為.2.【廣東汕頭金山中學2013-2014高二下期末考試數學理試題】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，分別為的中點.（）求證:平面平面;（）求二面角的平面角的大小.5.【山東省濰坊市重點中學2013-2014學年高二下學期入學考試數學試題】（14分）在正方體中，如圖、分別是 ，CD的中點，（1）求證：；（2）求 1.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分別為A1B1、A1A的中點.(1)求的長；(2)求的值；(3)求證：A1BC1M.(1)解：以C為原點建立空間直角坐標系Oxyz.依題意得B(0, 1, 0), N(1, 0, 1).(2)解：依題意得A1(1, 0, 2), B(0,