煙臺(tái)芝罘區(qū)數(shù)學(xué)橢圓常考題目解題方法及練習(xí)2016高三專題復(fù)習(xí)-解析幾何專題（2）第一部分：復(fù)習(xí)運(yùn)用的知識(shí)（1） 橢圓幾何性質(zhì)橢圓第一定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離和等于常數(shù)(大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. 橢圓的幾何性質(zhì):以為例1. 范圍: 由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，即說明橢圓位于直線和所圍成的矩形里（封閉曲線）.該性質(zhì)主要用于求最值、軌跡檢驗(yàn)等問題.2. 對(duì)稱性:關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸對(duì)稱，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。3. 頂點(diǎn)（橢圓和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)） 有四個(gè)：4. 長軸、短軸：叫橢圓的長軸，是長半軸長；叫橢圓的短軸，是短半軸長.5. 離心率 （1） 橢圓焦距與長軸的比，（2） ,，即.這是橢圓的特征三角形，并且的值是橢圓的離心率.（3） 橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定，與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān).當(dāng)接近于1時(shí)，越接近于，從而越小，橢圓越扁；當(dāng)接近于0時(shí)，越接近于0，從而越大，橢圓越接近圓。6.通徑（過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦），.7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，構(gòu)成了一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形. 依橢圓的定義知：.（二）運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)及公式1、兩條直線垂直：則；兩條直線垂直，則直線所在的向量2、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。4、弦長公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者。第二部分：橢圓常考題型解題方法典例一、橢圓定義相關(guān)題目例1、已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例2、已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍解：方程可化為 因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2) 由焦點(diǎn)在軸上，知， (3) 求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例3、 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須用點(diǎn)直線對(duì)稱就可解決解：如圖所示，焦點(diǎn)為，的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為二、橢圓與直線的位置關(guān)系及弦長相關(guān)題目例4、 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2） 設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：對(duì)比直線與橢圓和直線與圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題的解題方法？這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式例5、 已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出三、軌跡方程相關(guān)題目例6、 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：例7、 已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則（1） 將，代入，得，（2） 故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得：， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 例8、 知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡解：說明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，具體做法：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例9、 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程 分析：“設(shè)而不求”法解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則、是的兩根，為中點(diǎn)，所求直線方程為方法二：（點(diǎn)差法）設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，為中點(diǎn)，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：（數(shù)形結(jié)合）設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法四、探索問題及其他例10、 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例11 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即得所求橢圓方程為例12、 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再用橢圓定義求解由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）第三部分：橢圓常考題型解題方法針對(duì)性習(xí)題1、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。2、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論橢圓常考題型解題方法針對(duì)性習(xí)題答案1、解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得 即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為