第3章一次方程與方程組3.1一元一次方程及其解法第1課時一元一次方程教學目標【知識與技能】1.使學生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解.2.使學生初步了解方程的一般步驟,體會用方程解決問題的優越性.【過程與方法】1.經歷具體問題的數量關系,形成方程的模型,使學生形成利用方程觀察、認識現實世界的意識和能力.2.經歷具體實例的抽象概括過程,進一步培養學生觀察、分析、概括和轉化的能力.3.通過分組合作學習活動,學會在活動中與人合作,并能與他人交流思維的過程與結果.【情感、態度與價值觀】通過由具體實例抽象概括的獨立思考與合作學習的過程,培養學生實事求是的態度以及善于質疑和獨立思考的良好學習習慣.教學重難點【重點】方程、一元一次方程、方程的解的概念;以實際問題形成方程的模型、列方程.【難點】列方程解決實際問題.教學過程一、問題展示,引入新課師:同學們,上新課之前,我們先一起來看這一道題:一輛客車和一輛卡車同時從A地出發沿同一公路同方向行駛,客車的行駛速度是70km/h,卡車的行駛速度是60km/h,客車比卡車早1h經過B地.A、B兩地間的路程是多少?師:請同學們用算術方法解決這個問題.學生獨立思考后,與大家交流,老師再做簡單講解.師:如果設A、B兩地相距xkm,你能分別列式表示客車和卡車從A地到B地的行駛時間嗎?勻速運動中,時間=.根據問題的條件,客車和卡車從A地到B地的行駛時間,可以分別表示為h和h.因為客車比卡車早1h經過B地,所以比小1,即-=1我們已經知道,方程是含有未知數的等式.等式中的x是未知數,這個等式是一個方程.(教學過程中對學生的回答,及時給予鼓勵和表揚,激發他們對數學的興趣)師:以后我們將學習如何解方程求出未知數x,從而得出A、B兩地間的路程為420km,同學們,與算術方法相比較,用方程來解決問題具有什么特點?學生相互交流,說出自己對方程的感受.教師引出方程的概念.含有未知數的等式叫做方程.二、例題講解師:下面我們再來一起做幾個例題.【例】根據下列問題,設未知數并列出方程:(1)用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形,正方形的邊長是多少?(2)一臺計算機已使用1 700小時,預計每月再使用150小時,經過多少月這臺計算機的使用時間達到規定的檢修時間2450小時.【答案】(1)設正方形的邊長為xcm,列方程得4x=24.(2)設x月后這臺計算機的使用時間已達到2 450小時,那么在x月里這臺計算機使用了150x小時,列方程得1 700+150x=2 450.教師總結:同學們在列方程時,一定要弄清方程兩邊的代數式所表示的意義,體會列方程所依據的等量關系.師:上面各方程都含有一個未知數(元),未知數的次數都是1,這樣的方程叫做一元一次方程.那么如何從實際問題中列出方程呢?請同學們總結出列方程的一般步驟.(學生互相討論,交流合作)師:列方程解應用題的一般步驟:實際問題一元一次方程分析實際問題中的數量關系,利用其中的相等關系列出方程,是用數學知識解決實際問題的一種方法.師:當x=6時,4x的值為多少?生:24.師:也就是說x=6是方程4x=24的解.師總結:解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未值數的值,這個值就是方程的解.三、鞏固練習1.已知下列方程:(1)3x-2=6(2)x-1=(3)+1.5x=8(4)3x2-4x=10(5)x=0(6)5x-6y=8(7)=3.其中是一元一次方程的是(填序號).2.下列數中,是方程5x-3=x+1的解的是()A.-1B.0C.1D.2(學生思考,教師提問.)【答案】1.(1)(3)(5)2.C四、提升練習1.在參加2004年雅典奧運會的中國代表隊中,羽毛球運動員有18人,比跳水運動員的2倍少4人,參加奧運會跳水的運動員有多少人?2.王玲今年12歲,她爸爸36歲,問再過幾年,她爸爸的年齡是她年齡的2倍?(學生合作、討論,教師再做講解)【答案】1.112.12五、課堂小結這一節課你獲得了哪些知識?有什么感受?(教師引導學生一起回顧這節課所學知識,鼓勵學生用自己的語言進行回答)第2課時等式的性質教學目標【知識與技能】1.理解等式的基本性質.2.會根據等式的基本性質解方程.【過程與方法】經歷探索等式的基本性質的過程,培養學生動手的能力以及對數學的興趣.【情感、態度與價值觀】通過由具體實驗操作與合作探索的過程,培養學生實事求是的態度.教學重難點【重點】等式的基本性質.【難點】用等式的基本性質解方程.教學過程一、溫故知新師:同學們,你們知道什么叫方程嗎?方程的解呢?那么什么又是等式?學生回答,教師點評.二、講授新課1.合作探究.師:像m+n=n+m,x+2x=3x,33+1=52等都是等式.通過下面的實驗,我們一起來探究等式的一些性質,同學們看,這是一臺天平,請仔細觀察實驗過程.請同學們用語言敘述這個實驗過程.生:天平兩邊分別放入一個鐵球和砝碼,天平平衡,再在兩邊都加上相同的木塊,天平仍平衡,再拿掉木塊天平仍平衡.師:這位同學回答得完全正確.如果我們把天平看成是等式,那么又會得到什么結論呢?小組討論,合作交流.師:總結得出等式的性質1:等式兩邊都加上(或減去)同一個數(或整式),結果仍是等式.師:請同學們繼續觀察下面的實驗.請同學們用語言表達出這個實驗過程.生:天平兩邊各放入一個小球和砝碼,天平平衡,如果把兩邊小球和砝碼的數量都變成原來的3倍,那么天平仍平衡.師:與上面一樣,如果我們把天平看成是等式,那么又有什么結論呢?小組討論,合作交流.師:我們可以得出等式的性質2:等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(除數不能為0),所得結果仍是等式.性質3如果a=b,那么b=a.(對稱性)例如,由-4=x,得x=-4.性質4如果a=b,b=c,那么a=c.(傳遞性)例如,如果x=3,又y=x,所以y=3.在解題的過程中,根據等式的這一性質,一個量用與它相等的量代替,簡稱等量代換.三、例題講解【例】利用等式的性質解下列方程:(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-x-5=4.分析要使方程x+7=26轉化為x=a的形式,要去掉方程左邊的7,因此兩邊要同時減7,你會類似地思考另外兩個方程如何轉化為x=a的形式嗎?【答案】(1)兩邊同時減7,得x+7-7=26-7,于是x=19.(2)兩邊同時除以-5,得=,于是x=-4.(3)兩邊同時加5,得-x-5+5=4+5,化簡,得-x=9.兩邊同乘-3,得x=-27.四、鞏固練習1.下列等式的變形正確的是()A.若m=n,則m+2a=n+2aB.若x=y,則x+a=y-aC.若x=y,則xm=ym,=D.若(k2+1)a=-2(k2+1),則a=22.利用等式的基本性質解方程:(1)10x-3=9;(2)5x-2=8;(3)x-1=5.【答案】1.A2.(1)x=1.2(2)x=2(3)x=9五、課堂小結本節課主要學習了哪些知識?你在探索新知的過程中得到哪些啟示?與同伴交流.第3課時解一元一次方程合并同類項與移項(1)教學目標【知識與技能】理解合并同類項法則,會用合并同類項法則解一元一次方程,并在此基礎上探索一元一次方程的一般解法.【過程與方法】通過探索合并同類項法則的過程,培養學生觀察、思考、歸納的能力,積累數學探究活動的經驗.【情感、態度與價值觀】通過探索合并同類項法則,并進一步探索一元一次方程一般解法的過程,感受數學活動充滿創造性,激發學生學習數學的興趣.教學重難點【重點】合并同類項法則的探索及應用.【難點】合并同類項法則的理解和靈活運用.教學過程一、溫故知新1.師:你們知道等式的基本性質是什么嗎?生:性質1:等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式,所得結果仍是等式.性質2:等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(除數不能為0),所得結果仍是等式.性質3:如果a=b,那么b=a.(對稱性)性質4:如果a=b,b=c,那么a=c.(傳遞性)2.利用等式的基本性質解方程:(1)2x+3=x+4;(2)5x+4=5-3x.問題展示:問題1:某校三年共購買計算機140臺,去年購買數量是前年的2倍,今年購買數量又是去年的2倍,前年這個學校購買了多少臺計算機?師:設前年購買計算機x臺,那么去年購買計算機多少臺?生:2x.師:今年購買計算機多少臺?生:4x.師:題目中的等量關系是什么?師生共同分析,列出方程:x+2x+4x=140.用框圖表示出解這個方程的具體過程:x+2x+4x=1407x=140x=20二、例題講解【例】解下列方程:(1)2x-x=6-8;(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-154-63.【答案】(1)合并同類項,得-x=-2.系數化為1,得x=4.(2)合并同類項,得6x=-78.系數化為1,得x=-13.三、鞏固練習解下列方程:1.3x+4x-2x=18-7.2.y-y+y=6-1.【答案】1.x=2.y=四、課堂小結這節課你學習了哪些知識?獲得了哪些經驗?第4課時解一元一次方程合并同類項與移項(2)教學目標【知識與技能】使學生掌握移項的概念,并用移項解方程.【過程與方法】根據具體問題的數量關系,形成方程模型,使學生形成利用方程的觀點認識現實世界的意識和能力.【情感、態度與價值觀】通過由具體實例的抽象概括的獨立思考與合作學習的過程,培養學生實事求是的態度以及善于質疑和獨立思考的良好學習習慣.教學重難點【重點】移項法則的探索及其應用.【難點】對移項法則的理解和靈活應用.教學過程一、新課引入師:新課開始之前,我們先來看這樣一個問題.問題展示:【例1】把一些圖書分給某班學生閱讀,如果每人分3本,則剩余20本;如果每人分4本,則還缺25本,這個班有多少學生?問題分析:教師:設這個班有x名學生,如果每人分3本,這批書共本.生:(3x+20)本.師:每人分4本,這批書共本.生:(4x-25)本.師:這批書的總數有幾種表示法?它們之間有什么關系?本題哪個相等關系可作為列方程的依據呢?學生分組討論,合作探究,教師總結.師:我們可以列出方程3x+20=4x-25師:我們可以利用等式的性質解這個方程,得3x-4x=-25-20.師:請同學們仔細觀察上面的變形,你發現了什么?學生分組合作、討論,教師總結.師:上面的變形,相當于把原方程左邊的20移到右邊變成-20,把4x從右邊移到左邊變成-4x.即時引出移項的概念:把等式一邊的某項變號后移到另一邊,叫做移項.教師即時總結并強調移項要變號.【例2】解下列方程:(1)3x+7=32-2x;(2)x-3=x+1.【答案】(1)移項,得3x+2x=32-7.合并同類項,得5x=25.系數化為1,得x=5.(2)移項,得x-x=1+3.合并同類項,得-x=4.系數化為1,得x=-8.【例3】有一列數,按一定規律排列成1,-3,9,-27,81,-243,其中某三個相鄰數的和是-1701,這三個數各是多少?師:同學們這列數的變化規律是什么?生:前面一個數乘以-3得到后面的數.師:如果設第一個數是x,那么第二、三個數怎么表示呢?生:-3x,9x.師:請同學思考列出方程.生:x-3x+9x=-1701.【例4】某制藥廠制造一批藥品,如用舊工藝,則廢水排量要比環保限制的最大量還多200t;如用新工藝,則廢水排量比環保限制的最大量少100t.新舊工藝的廢水排量之比為25,兩種工藝的廢水排量各是多少?分析因為新舊工藝的廢水排量之比為25,所以可設它們分別為2xt和5xt,再根據它們與環保限制的最大量之間的關系列方程.【答案】設新、舊工藝的廢水排量分別為2xt和5xt.根據廢水排量與環保限制最大量之間的關系,得5x-200=2x+100.移項,得5x-2x=100+200.合并同類項,得3x=300.系數化為1,得x=100.所以2x=200,5x=500.答:新、舊工藝產生的廢水排量分別為200t和500t.二、鞏固練習解下列方程:1.4x-20-x=6x-5-x.2.32y+1=21y-3y-13.3.2|x|-1=3-|x|.【答案】1.x=-2.y=-13.x=-或三、課堂小結學習了移項法則后,你認為用逆運算的方法和用移項的方法解方程哪個更簡便?對于解一元一次方程,你有了哪些新的領悟?第5課時解一元一次方程去括號與去分母(1)教學目標【知識與技能】掌握解含有括號的一元一次方程的方法,能用多種方法靈活地解一元一次方程.【過程與方法】經歷對一元一次方程解法的探究過程,深入理解等式基本性質在解方程中的作用,學會多角度尋求解決問題的方法.【情感、態度與價值觀】通過探索含有括號的一元一次方程的解法,體驗整體探索思想的意義,培養學生善于觀察、總結的良好思維習慣.教學重難點【重點】含括號的一元一次方程的解法.【難點】結合方程的特點選擇不同的方法解方程,并解釋解法的合理性.教學過程一、例題講解教師出示例題.【例1】解下列方程:(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3);(3)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).【答案】(1)去括號,得2x-x-10=5x+2x-2.移項,得2x-x-5x-2x=-2+10.合并同類項,得-6x=8.系數化為1,得x=-.(2)去括號,得3x-7x+7=3-2x-6.移項,得3x-7x+2x=3-6-7.合并同類項,得-2x=-10.系數化為1,得x=5.(3)去括號,得2x-4-12x+3=9-9x.移項,得2x-12x+9x=9+4-3.合并同類項,得-x=10.兩邊同除以-1,得x=-10.注意:(1)用分配律去括號時,不要漏乘括號中的項,并且不要搞錯符號;(2)-x=10不是方程的解,必須把x的系數化為1,才算完成解的過程.【例2】一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛,用了2小時;從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛,用了2.5小時,已知水流的速度是3千米/小時,求船在靜水中的速度.師:如果設船在靜水中的平均速度為x千米/小時,那么請同學們回答下列問題.船順流速度為多少?生甲:(x+3)千米/小時.師:逆流速度為多少?生乙:(x-3)千米/小時.師:那么這個方程的等量關系是什么?生丙:往返的路程相等.師生共同探討,列出方程:2(x+3)=2.5(x-3)師:下面請一位同學上黑板寫出這道題的解題過程.二、鞏固練習解下列方程:1.2y+3=8(1-y)-5(y-2).2.3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).【答案】1.y=12.y=8三、課堂小結1.本節課主要學習了什么內容?2.在去括號時應注意什么?第6課時解一元一次方程去括號與去分母(2)教學目標【知識與技能】會解含分母的一元一次方程,掌握解一元一次方程的基本步驟和方法,能根據方程的特點靈活地選擇解法.【過程與方法】經歷一元一次方程一般解法的探究過程,理解等式基本性質在解方程中的作用,學會通過觀察,結合方程的特點選擇合理的思考方向進行新知識探索.【情感、態度與價值觀】通過嘗試從不同角度尋求解決問題的方法,體會解決問題策略的多樣性;在解一元一次方程的過程中,體驗“化歸”的思想.教學重難點【重點】解一元一次方程的基本步驟和方法.【難點】含有分母的一元一次方程的解題方法.教學過程一、新課引入師:同學們,我們先來看這樣一道題.教師出示問題:一個數,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部加起來總共是33,求這個數.師:設這個數為x,那么它的三分之二、二分之一怎么表示?生:x+x+x+x=33解這個方程關鍵是去分母,那么怎樣才能去掉分母?根據是什么?學生