靜安區2018學年度第一學期高中教學質量檢測高三數學試卷一、填空題（本題12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果1.函數的定義域是_【答案】【解析】【分析】對數函數滿足真數大于0，建立不等式，即可。【詳解】結合對數函數滿足真數大于0,可以得到,解得x的范圍為【點睛】本道題考查了對數函數定義域計算方法，抓住真數大于0，即可。2.已知向量，則向量的坐標是_【答案】【解析】【分析】利用，代入點坐標，即可。【詳解】【點睛】本道題考查了向量加減法運算，代入點坐標，即可。3.在二項式的展開式中，項的系數為_（結果用數值表示）【答案】10【解析】本題考查二項式展開式的通項.二項式的展開式的通項為，令得則含的項的系數是故選B4.若直線與軸平行，則a的值是_【答案】【解析】【分析】該直線與x軸平行，說明x的系數為0，y的系數不為0，建立方程，即可。【詳解】該直線與x軸平行，說明x的系數為0，y的系數不為0，建立方程，解得【點睛】本道題考查了直線方程，抓住x的系數為0，y的系數不為0，即可。5.若a、b是一元二次方程的兩個根，則_【答案】【解析】【分析】結合根與系數關系，得到，化簡，代入，即可。【詳解】結合根與系數關系可得：，而【點睛】本道題考查了一元二次方程根與系數關系，抓住，代入，屬于較容易題。6.在數列中，且是公比為的等比數列設，則_()【答案】【解析】【分析】構造新數列，計算前n項和，計算極限，即可。【詳解】構造新數列，該數列首項為1，公比為， 則 而，故【點睛】本道題考查了極限計算方法和等比數列前n項和，屬于中等難度的題目。7.某用人單位為鼓勵員工愛崗敬業，在分配方案中規定：年度考核合格的員工，從下一年一月份開始在上一年平均月工資收入基礎上增加7%作為新一年的月工資收入假設某員工自2004年一月以來一直在該單位供職，且同一年內月工資收入相同，2004年的月工資收入為5000元，則2019年一月該員工的月工資收入為_元（結果保留兩位小數）【答案】元【解析】【分析】本道題實則為一個等比數列求某一項的題，建模，得知，計算，即可。【詳解】，【點睛】本道題考查了等比數列計算某一項的內容，得出首項，公比，即可，屬于較容易的題。8.已知，則_【答案】【解析】【分析】本道題利用誘導公式和二倍角公式，即可。【詳解】利用 而【點睛】本道題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于中等難度的題。9.以兩條直線的交點為圓心，并且與直線相切的圓的方程是_【答案】【解析】【分析】本道題結合直線方程，計算圓心坐標，利用點到直線距離公式計算半徑，建立圓方程，即可。【詳解】建立方程，計算出圓心坐標為，結合點到直線距離公式 ，得到，故 圓方程為【點睛】本道題考查了點到直線距離公式以及圓方程計算問題,屬于中等難度的題,結合直線方程,計算圓心,結合點到直線距離公式,計算半徑,得到圓方程,即可.10.已知球的半徑為24cm，一個圓錐的高等于這個球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，則這個圓錐的體積是_ cm3（結果保留圓周率p）【答案】【解析】【分析】結合球的表面積等于圓錐的表面積，建立等式，計算半徑r，利用體積計算公式，即可。【詳解】結合題意可知圓錐高h=48,設圓錐 底面半徑為r，則圓錐表面積 ，計算得到 ,所以圓錐的體積【點睛】本道題考查了立體幾何表面積和體積計算公式，結合題意，建立等式，計算半徑r，即可，屬于中等難度的題。11.集合，若，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】本道題結合導函數，判斷y的單調性，進而得到y的范圍，利用，得到A為B的子集，構造二次函數，結合相關性質，建立不等式，得到t的范圍，即可。【詳解】對A,該函數在內單調遞減，所以y的范圍為，解得，結合，可知，故構造函數，該函數在恒小于等于0，所以滿足，解得。【點睛】本道題考查了導函數與原函數關系以及二次函數的性質，屬于難題。12.若定義在實數集R上的奇函數的圖像關于直線對稱，且當時，則方程在區間（）內的所有實根之和為_【答案】【解析】【分析】本道題通過奇函數和直線對稱，繪制出函數圖像，結合圖像發現該八個交點關于x=3對稱，即可得出答案。【詳解】結合題意，大致可以繪出的圖像，如圖所示： 由圖可知，一共有8個點，且這八個點關于x=3對稱，故 【點睛】本道題考查了奇函數圖像性質和關于直線對稱等性質，結合圖像，觀察，分析，即可。二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分） 每題有且只有一個正確選項考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑13.電視臺在電視劇開播前連續播放6個不同的廣告，其中4個商業廣告2個公益廣告，現要求2個公益廣告不能連續播放，則不同的播放方式共有（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先排4個商業廣告,然后利用插空法,排2個公益廣告,即可.【詳解】先排4個商業廣告,有,然后利用插空法,有5個空,插2個,有,所以共有,故選A.【點睛】本道題考查了排列問題,分2步,然后相乘,即可,屬于中等難度的題.14.已知橢圓的標準方程為，焦點在軸上，則其焦距為（）.A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道題通過題意，計算出c值，然后利用焦距為2c，計算結果，即可。【詳解】因為該橢圓焦點在x軸上，說明，則解得，故焦距為,故選B。【點睛】本道題考查了橢圓性質，屬于較容易題，注意焦點在x軸上，說明15.已知下列4個命題：若復數的模相等，則是共軛復數都是復數，若是虛數，則的共軛復數復數是實數的充要條件是（是的共軛復數）已知復數（是虛數單位），它們對應的點分別為A，B，C. O為坐標原點若（），則.則其中正確命題的個數為（ ）.A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個【答案】B【解析】【分析】本道題結合復數的概念和向量的加減法，代入，即可。【詳解】1號可能復數相等，故錯誤。2號明顯正確，因為如果為共軛復數，則相加為實數，不會為虛數。4號,計算得到b=0,故正確。3號，由題可知，建立等式,建立等式，得到，解得，故錯誤。故選B。【點睛】本道題考查了復數的概念和向量坐標運算，代入，即可得出答案。16.設都是小于9的正整數，且滿足，則的夾角大小為（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道題目利用都為正整數，建立方程，排除，即可得到相應的值，代入題目第二個方程，計算結果，即可。【詳解】由，可得 1. 2. 3. 4. 而需要滿足，解上面四個方程，發現只有4號方程滿足條件 故 由，可得，代入 得到，則，故選C。【點睛】本道題考查了向量數量積，結合題目，采取試誤法，計算結果，即可，難度偏難。三、解答題（本大題共有5題，滿分76分） 解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟17.如圖，自動卸貨汽車采用液壓機構，設計時需要計算油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角為60，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為620，AC的長為1.40米，計算BC的長（結果保留3個有效數字，單位:米）【答案】米【解析】【分析】結合題意，計算的大小，利用余弦定理，即可得出答案。【詳解】解：根據題意，在ABC中，BAC=66O20/，由余弦定理，得 計算得：. 答：頂桿BC約長1.89米【點睛】本道題考查了余弦定理，運用余弦定理，需要知道夾角和兩條邊，即可以計算出第三邊，即可。18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，、分別是、的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別證明CD垂直平面PAE的兩條直線，結合直線與平面垂直判定，即可得出答案。（2）設PA=a,用a分別表示AF,FG,AG，結合余弦定理，計算結果，即可。【詳解】解：（1）由題意，是等邊三角形，因為是的中點，所以， 又平面，所以，所以平面 （2）取中點，連結，則，所以，為異面直線與所成角， 設，在中， 所以， 所以，異面直線與所成角的大小為【點睛】本道題考查了余弦定理和直線與平面垂直判定定理，難度中等。19.設，（1）求函數的最大值；（2）對（1）中的，是否存在常數（），使得當時，有意義，且的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設，運用換元思想，得到解析式，結合二次函數性質，計算最值，即可。（2）針對，在第一問基礎上得到M的解析式，代入，發現M這個函數當時遞減，當時遞增，故得到，建立等式，計算b值，即可。【詳解】解： (1) 設，因為，所以. . (2)當時，該函數當時遞減，當時遞增。要使有意義且取得最大值，關于自變量的單調性必是當時增, 當時遞減，所以根據題意得：，于是，得所以存在，使得當時，的最大值是【點睛】本道題考查了二次函數性質、換元思想、復合函數單調性以及對數方程計算，屬于難題。20.設，橢圓：與雙曲線：的焦點相同（1）求橢圓與雙曲線的方程；（2）過雙曲線的右頂點作兩條斜率分別為，的直線，分別交雙曲線于點，（，不同于右頂點），若，求證：直線的傾斜角為定值，并求出此定值；（3）設點，若對于直線，橢圓上總存在不同的兩點與關于直線對稱，且，求實數的取值范圍【答案】（1）橢圓的方程為，雙曲線的方程為；（2）詳見解析.（3）見解析。【解析】【分析】（1）利用橢圓和雙曲線的性質，結合焦點相同，建立方程，計算m值，即可。（2）設出直線方程，代入雙曲線方程，建立等式，計算P的坐標，同理得到Q的坐標，結合，可以得到，發現直線PQ與x軸平行，故證之。（3）結合題意，設出直線AB的方程，代入橢圓解析式中，建立方程，計算出AB的中點M坐標，而M又在直線l上，代入，結合題目所提供的不等式，建立不等關系，即可得到b的范圍。【詳解】解：（1）由題意，所以 所以橢圓的方程為，雙曲線的方程為（2）雙曲線的右頂點為，因為，不妨設，則，設直線的方程為，由,得， 則,()，.同理， 又，所以，.因為，所以直線與軸平行，即為定值，傾斜角為0 ，（3）設，直線的方程為，由整理得，故， 設的中點為，則， 又在直線 上，所以，因為，所以，所以又，。即.【點睛】本道題考查了橢圓與雙曲線的性質，直線與圓錐曲線位置關系，難度較大。21.將個數，的連乘積記為，將個數，的和記為（）（1）若數列滿足，設，求；（2）用表示不超過的最大整數，例如，若數列滿足，求的值；（3）設定義在正整數集上的函數滿足：當（）時，問是否存在正整數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（已知）【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）結合題意，處理得到，可以采取逐項消元法，計算結果，即可。（2）處理得到