2012年普通高等學校招生全國統一考試數學理試題（四川卷，解析版） 參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么 在次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率 其中表示球的半徑第一部分 （選擇題 共60分）注意事項：1、選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號涂在機讀卡上對應題目標號的位置上。2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。一、選擇題：每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、的展開式中的系數是（ ）A、 B、 C、 D、答案D 解析二項式展開式的通項公式為=，令k=2，則點評：高考二項展開式問題題型難度不大，要得到這部分分值，首先需要熟練掌握二項展開式的通項公式，其次需要強化考生的計算能力.2、復數（ ）A、 B、 C、 D、答案B. 解析點評突出考查知識點，不需采用分母實數化等常規方法，分子直接展開就可以.3、函數在處的極限是（ ）A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于答案A 解析分段函數在x=3處不是無限靠近同一個值，故不存在極限.點評對于分段函數，掌握好定義域的范圍是關鍵。4、如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（ ）A、 B、 C、 D、答案B 點評注意恒等式sin2+cos2=1的使用，需要用的的范圍決定其正余弦值的正負情況.5、函數的圖象可能是（ ）答案C解析采用排除法. 函數恒過（1,0），選項只有C符合，故選C.點評函數大致圖像問題，解決方法多樣，其中特殊值驗證、排除法比較常用，且簡單易用.6、下列命題正確的是（ ）A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確.點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質，需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式.7、設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）A、 B、 C、 D、且答案D解析若使成立，則選項中只有D能保證，故選D.點評本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.8、已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、答案B 解析設拋物線方程為y2=2px(p0),則焦點坐標為（），準線方程為x=, 點評本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點，F為拋物線的焦點，d為點M到準線的距離).9、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元答案C解析設公司每天生產甲種產品X桶，乙種產品Y桶，公司共可獲得 利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y且畫可行域如圖所示，目標函數Z=300X+400Y可變形為Y= 這是隨Z變化的一族平行直線解方程組 即A（4,4） 點評解決線性規劃題目的常規步驟：一列（列出約束條件）、二畫（畫出可行域）、三作（作目標函數變形式的平行線）、四求（求出最優解）.10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ）A、 B、 C、 D、答案A解析 以O為原點，分別以OB、OC、OA所在直線為x、y、z軸，則A點評本題綜合性較強，考查知識點較為全面，題設很自然的把向量、立體幾何、三角函數等基礎知識結合到了一起.是一道知識點考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎實的數學基本功.11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）A、60條 B、62條 C、71條 D、80條答案B解析方程變形得，若表示拋物線，則所以，分b=-3,-2,1,2,3五種情況：（1）若b=-3， ; （2）若b=3, 以上兩種情況下有9條重復，故共有16+7=23條；同理當b=-2,或2時，共有23條； 當b=1時，共有16條.綜上，共有23+23+16=62種點評此題難度很大，若采用排列組合公式計算，很容易忽視重復的18條拋物線. 列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法.要能熟練運用.12、設函數，是公差為的等差數列，則（ ）A、 B、 C、 D、答案D解析數列an是公差為的等差數列，且 即 得點評本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數列性質和三角函數性質的綜合使用，需考生加強知識系統、網絡化學習. 另外，隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力.第二部分 （非選擇題 共90分）注意事項：（1）必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。（2）本部分共10個小題，共90分。二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應位置上。）13、設全集，集合，則_。答案a, c, d解析 ； a,c，d點評本題難度較低，只要稍加注意就不會出現錯誤.14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是_。答案90解析方法一：連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以，DN平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DNA1D1，故夾角為90方法二：以D為原點，分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸，建立空間直角坐標系Dxyz.設正方體邊長為2，則D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）故，所以，cos0時,由（I）知，當 , (2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，數列bn是以為公差，且單調遞減的等差數列.則 b1b2b3b7=當n8時，bnb8=所以，n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7=12分點評本小題主要從三個層面對考生進行了考查. 第一，知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識；第二，能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；第三，數學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想.21、(本小題滿分12分) 如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。解析（1）設M的坐標為（x,y），顯然有x0,.當MBA=90時，點M的坐標為（2，, 3）當MBA90時；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化簡得：3x2-y2-3=0,而又經過（2，,3）綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x1）5分(II)由方程消去y，可得。（*）由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內，設所以解得，m1,且m2設Q、R的坐標分別為，由有所以由m1，且m2，有所以的取值范圍是. 12分點評本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識，考察思維能力、運算能力，考察函數、分類與整合等思想，并考察思維的嚴謹性。 22、(本小題滿分14分)已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對所有都有成立的的最小值；（）當時，比較與的大小，并說明理由。解析（1）由已知得，交點A的坐標為，對則拋物線在點A處的切線方程為（2） 由（1）知f(n)=,則即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到a當,2n3+1當n=0,1,2時，顯然故當a=時，對所有自然數都成立所以滿足條件的a的最小值是。（3）由（1）知，則，下面證明：首先證明：當0x1時，設函數當故g(x)在區間（0