規(guī)劃實質(zhì)上屬于決策范疇，主要研究在一定約束條件下，如何使目標達到最優(yōu).但是，普通的線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和0-1規(guī)劃都存在如下的問題：（1）均是靜態(tài)規(guī)劃，不能反映約束條件隨時間變化的情況；（2）當規(guī)劃模型或約束條件中出現(xiàn)灰數(shù)時，處理不便；（3）從理論上講定義在凸集上的凸函數(shù)是有解的，而實際計算中往往因技巧、技術(shù)問題使求解過程難以進行下去.灰色系統(tǒng)的思想和建模方法，可使上述問題得到一定程度的解決.本章主要研究灰參數(shù)線性規(guī)劃、灰色0-1規(guī)劃、灰色多目標規(guī)劃和灰色非線性規(guī)劃.,10.1灰參數(shù)線性規(guī)劃,定義10.1.1設(shè)均為常數(shù)，為未知變量，稱(10.1.1)(10.1.2)為線性規(guī)劃問題的一般模型，其中式(10.1.1)稱為目標函數(shù)，式(10.1.2)稱為約束條件。定義10.1.2稱為線性規(guī)劃問題的標準形式,定義10.1.3設(shè)，其中,則稱為灰參數(shù)線性規(guī)劃(LPGP)問題，并稱為灰色價格向量，為灰色消耗矩陣，為灰色資源約束向量，X為決策向量.實際上，X也是一個灰向量.,定義10.1.4設(shè)令灰參數(shù)的白化值分別為同時分別用，表示價格白化向量、資源約束白化向量和消耗白化矩陣.則稱為LPGP的定位規(guī)劃，稱為價格定位系數(shù)，為資源約束定位系數(shù)，為消耗定位系數(shù).,10.2灰色預測型線性規(guī)劃,定義10.2.1對于定義10.1.3中的灰色線性規(guī)劃問題，將其中的，先行白化，設(shè)并根據(jù)的歷史資料建立GM(1,1)模型，求出其在s+k時的預值.記稱為灰色預測型線性規(guī)劃問題.,10.3灰色漂移型線性規(guī)劃,一漂移定理灰色漂移型線性規(guī)劃也稱為灰參數(shù)線性規(guī)劃，其實，一個灰參數(shù)線性規(guī)劃問題是由有限個或無限個一般線性規(guī)劃問題構(gòu)成的集合.在以下的證明中，我們假定式(10.1.5)中的白化值和白化矩陣保持其非負性.定理10.3.1對于LPGP的定位規(guī)劃，當價格定位系數(shù)滿足時，有,定理10.3.2對于LPGP的定位規(guī)劃，當資源約束定位系數(shù)滿足，時，有定理10.3.3對于LPGP的定位規(guī)劃，當消耗定位系數(shù)滿足，時，有定義10.3.1設(shè)對和有,則稱相應(yīng)的定位規(guī)劃為定位規(guī)劃，記為LP.其最優(yōu)值稱為定位最優(yōu)值，記為.定理10.3.4對于LPGP的定位規(guī)劃，當1、時，2、時，3、時，反映了n種產(chǎn)品的綜合價格水平，反映了m種資源的總的供應(yīng)狀況，則是生產(chǎn)過程中工藝技術(shù)水平、勞動力素質(zhì)和管理水平的集中體現(xiàn).,二、LPGP的滿意解定義10.3.2當時，對應(yīng)的定位規(guī)劃LP(1,1,0)稱為LPGP的理想模型，其最優(yōu)值記為.定義10.3.3當時，對應(yīng)的定位規(guī)劃LP(0,0,1)稱為LPGP的臨界模型，其最優(yōu)值記為定義10.3.4當時，對應(yīng)的定位規(guī)劃稱為定位規(guī)劃，記為LP()，其最優(yōu)值記為.特別地，當=0.5時，對應(yīng)的定位規(guī)劃LP(0.5)稱為均值白化規(guī)劃，通常情況下，對灰參數(shù)線性規(guī)劃而言，均值白化規(guī)劃最具代表性.定理10.3.5對任意的0,1時，有1、2、,定義10.3.5對于給定的0,1，稱+（10.3.1）為LP()的滿意度.命題10.3.1對于給定的0,1有定義10.3.6給定灰靶，若D，則稱與之對應(yīng)的定位最優(yōu)解為LPGP的滿意解.,10.4灰色線性規(guī)劃的準優(yōu)解,在線性規(guī)劃問題的求解過程中，常常遇到得不出最優(yōu)解的情形，此時可以考慮采用其他方法去尋求近似的最優(yōu)解。本節(jié)主要研究決策變量交替尋優(yōu)法，其步驟如下：第一步：確定灰色線性規(guī)劃的定位規(guī)劃第二步：按照常規(guī)的線性規(guī)劃方法求解，直到計算不能繼續(xù)進行設(shè)最后一個可行解為,第三步：以為起點對固定的，優(yōu)化x1，設(shè)為固定時的最優(yōu)解，然后以為起點，對x2優(yōu)化，設(shè)為固定時的最優(yōu)解，再以為起點對x3進行優(yōu)化,如此等等,直到求出第四步：以為新的起點,重復第三步中的探索，得直到或與充分接近，且對應(yīng)的目標函數(shù)值充分接近為止。,定義10.4.1稱交替尋優(yōu)法所得的最終解為灰色線性規(guī)劃的準優(yōu)解，與之相應(yīng)的目標函數(shù)值稱為準優(yōu)值。,10.5灰色0-1規(guī)劃,0-1規(guī)劃中最典型的是分配問題.本節(jié)著重討論灰色預測型分配問題的求解.定義10.5.1將n項任務(wù)分配給m個承擔者，約定每個承擔者只能完成一項任務(wù)，當n=m時，稱此類分配問題為平衡分配問題.定義10.5.2在平衡分配問題中，令設(shè)為第j個承擔者完成第i項任務(wù)所需費用，i,j=1,2,n，則稱,為分配問題的數(shù)學模型.其中約束條件表示一項任務(wù)僅指派一位承擔者，而約束條件則表示每個承擔者只完成一項任務(wù).定義10.5.3稱方陣為效率矩陣,定理10.5.1對效率矩陣C之各行或各列的元素分別加上或減去一個常數(shù)，新的效率矩陣解得的最優(yōu)分配與從C解得的最優(yōu)分配相同.定義10.5.4當效率矩陣中的元素為效率序列的灰色預測值或灰色發(fā)展系數(shù)時，稱相應(yīng)的0-1規(guī)劃為灰色0-1規(guī)劃.灰色0-1規(guī)劃的求解步驟如下：第一步：給出效益時間序列第二步：建立的GM(1,1)模型,設(shè)時間響應(yīng)式為第三步：寫出效益矩陣C=(cij),可令，也可令第四步：求第五步：令，于是灰色0-1規(guī)劃模型為第六步：變換效率矩陣,在效率矩陣之各行各列中分別減去其最小元，使得每行每列至少有一個零元素.若不同行、不同列的零元素個數(shù)等于效率矩陣的階數(shù)n，則停止變換；否則反復進行上述變換，直到不同行、不同列的零元素個數(shù)等于效率矩陣的階數(shù)n為止.第七步：對不同行、不同列的n個零元素加上“（）”，并稱之為獨立零，令則即為所求的最優(yōu)解.,10.6灰色多目標規(guī)劃,一般灰色線性規(guī)劃模型能解決資源合理利用與調(diào)配問題，但也有局限性，一是目標較單一；二是求解困難，一定要形成可行解域，才能得到灰色線性規(guī)劃解.如果目標函數(shù)與約束條件有矛盾，不能形成可行解域時，灰色線性規(guī)劃就顯得無能為力了，這就使一些具體問題得不到滿意的結(jié)果.灰色多目標規(guī)劃就是針對灰色線性規(guī)劃存在的問題而發(fā)展起來的.灰色多目標規(guī)劃以灰色線性規(guī)劃為基礎(chǔ)，是灰色線性規(guī)劃的延伸和發(fā)展.灰色多目標規(guī)劃的顯著特征是允許有序解.簡單地說，決策者雖不能精確地決定目標或子目標的數(shù)值或邊際效用，但是能給出每一個子目標規(guī)劃的一個上限和下限，供決策者選定.,定義10.6.1設(shè)滿足稱為目標白化的灰色多目標規(guī)劃定義10.6.2設(shè),滿足稱為約束白化的灰色多目標規(guī)劃.定義10.6.3設(shè)滿足其中,皆為區(qū)間灰數(shù)，稱為灰色多目標規(guī)劃問題.灰色多目標規(guī)劃突出之處在于它解決了約束白化的多目標規(guī)劃問題.它不是單純地提出某些折中解或滿意解，而是為決策者更加清楚地展現(xiàn)未來可能發(fā)生的多種情形，以及不同情形下的對策.,10.7灰色非線性規(guī)劃,定義10.7.1設(shè)為決策向量，為灰參數(shù)集，則稱(10.7.1)為灰色無約束非線性規(guī)劃問題，其中為灰色價格或消耗泛函.定義10.7.2白化中的灰元,稱所得規(guī)劃問題為的白化規(guī)劃，記為.定義10.7.3設(shè)f(X)為可微函數(shù)，則稱梯度向量grad（10.7.2）的解為f(X)的駐點.定理10.7.1設(shè)f(X)二階可微，海賽(Hesse)矩陣,若X0為f(X)的駐點，則當1、H(X0)為正定矩陣時，X0為極小值點；2、H(X0)為負定矩陣時，X0為極大值點；3、H(X0)為半正定矩陣時，若存在X0的鄰域，使對，H(X)為半正定矩陣，則X0為極小值點；4、H(X0)為半負定矩陣時，若存在X0的鄰域，使對，H(X)為半負定矩陣，則X0為極大值點；5、H(X0)為非定矩陣時，X0不是f(X)的極值點；,定義10.7.4設(shè)為決策向量，,(j=1,2,m；i=1,2,s)皆為灰參數(shù)集，則稱為灰色約束非線性規(guī)劃問題，其中為灰色消耗泛函,，為灰色約束泛函.,10.8灰色動態(tài)規(guī)劃,定義10.8.1設(shè)有區(qū)間灰數(shù)，定義灰數(shù)運算滿足（10.8.6）稱為灰數(shù)取小運算。定義10.8.2設(shè)有一組區(qū)間灰數(shù)，其可能度矩陣的排序向量的最小分量為即，則定義稱之為灰數(shù)的取小運算。,定義10.8.3設(shè)有區(qū)間灰數(shù)，定義灰數(shù)取大運算滿足(10.8.7)定義10.8.4設(shè)有一組區(qū)間灰數(shù)，其可能度矩陣的排序向量的最大分量為即，則定義稱之為灰數(shù)的取大運算。,10.9應(yīng)用實例,例10.9.1科技資源配置規(guī)劃在我國建設(shè)社會主義現(xiàn)代化強國的過程中,隨著市場經(jīng)濟體制的形成和發(fā)展,科技資源的稀缺性日益突出.如何有效地配置十分有限的科技資源,加快科技事業(yè)的發(fā)展,促進社會、經(jīng)濟各項事業(yè)的全面振興，已成為擺在科技管理部門面前的一項重要任務(wù)。本節(jié)運用灰參數(shù)線性規(guī)劃(LPGP)模型，對河南省的科技人才、研究經(jīng)費、科研儀器設(shè)備和科技信息資源進行優(yōu)化配置，并據(jù)此提出了河南省2000年及2010年的科技資源配置及調(diào)整方案。,例10.9.2灌區(qū)灌溉規(guī)劃2一個灌區(qū)的灌溉規(guī)劃要涉及許多因素，如灌區(qū)的自然特性、作物品種、灌水和施肥的時間及數(shù)量、可利用的土地、勞力和機械以及灌區(qū)的管理水平等.一般而言,這些因素以及他們之間的相互作用與相互影響大都具有不確定性.傳統(tǒng)的確定性規(guī)劃方法和隨機規(guī)劃方法存在以下不足：(1)對主觀因素及客觀不確定性因素重視不夠；(2)為得到各個因素的隨機特性,對原始信息的要求過高，許多實際問題，難以獲得符合要求的信息；(3)無法處理系統(tǒng)中的未確知信息等.事實上,一個灌溉系統(tǒng)就是一個典型的灰色系統(tǒng),因此,可用灰色系統(tǒng)理論建立灌區(qū)