,第五章彎曲應力,材料力學,1,5純彎曲,1、彎曲構件橫截面上的（內力）應力,2,平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t橫力彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況),2、研究方法,縱向對稱面,P1,P2,例如：,3,某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,純彎曲(PureBending):,4,a,F,純彎曲梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪力（）。,橫力彎曲梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又有剪力（）。,例:火車輪軸,5,1、研究對象：等直細長對稱截面梁,2、前提:,(a)小變形在彈性變形范圍內，,(b)滿足平面彎曲條件，,（c）純彎曲。,3、實驗觀察:,凹邊縮短,凸邊伸長,橫截面上只有正應力無剪應力,縱向纖維間無擠壓作用,6,中性層桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不縮短的曲面。,中性軸中性層與橫截面的交線。,4、平面截面假設橫截面變形后保持為平面，只是繞中性軸旋轉了一角度。,7,（1）變形分布規律,y,y任意縱向纖維至中性層的距離,中性層的曲率半徑，,縱向纖維ab:,變形前,變形后,5-2梁的彎曲正應力,o曲率中心，,8,所以縱向纖維ab的應變為:,橫截面上距中性軸為y處的軸向變形規律。,曲率,則,曲率,則,當,(a),9,（2）應力分布規律,在線彈性范圍內，應用胡克定律,(b),對一定材料，,E=C；,對一定截面，,橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的距離y成比例。,當,10,（3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應力計算公式,y(對稱軸),由得,=0,將(b)式代入，得,因此z軸通過截面形心，即中性軸通過形心，并垂直于載荷作用面。,(c),11,考慮平衡條件,為截面對中性軸的慣性矩。,(e),12,可得撓曲線的曲率方程：,為常數，撓曲線是一條圓弧線,抗彎剛度。,正應力的計算公式為,橫截面上最大正應力為,截面的抗彎截面模量，反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響。,13,簡單截面的慣性矩,矩形截面,園形截面,14,矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：,豎放：,b,h,h,b,平放：,若hb,則。,15,16,注意：,（1）要特別注意正應力在橫截面上沿高度呈線性分布的規律，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應力最大。,（3）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。,（2）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓，正應力的正負號（拉或壓）可根據彎矩的正負及梁的變形狀態來確定。,17,梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為,例圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應力和最大壓應力。,（1）作彎矩圖，求最大彎矩,18,因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受最大拉應力，其值為,在截面的下端受最大壓應力，其值為,（2）求最大應力,19,1.C截面上K點正應力,2.C截面上最大正應力,3.全梁上最大正應力,4.C截面的曲率半徑(已知E=200GPa),1.求支反力,（壓應力）,例題,解,求:,20,2.C截面最大正應力,C截面彎矩,C截面慣性矩,解,21,3.全梁最大正應力,最大彎矩,截面慣性矩,解,22,4.C截面曲率半徑,C截面彎矩,C截面慣性矩,解,(已知E=200GPa),23,梁的最大正應力,梁的危險截面,梁的危險截面在該梁內彎矩最大的截面上,危險截面位于梁中部,危險截面位于梁根部,梁的最大正應力,梁的最大正應力發生在危險截面上離中性軸最遠處,5-3梁彎曲時的強度條件,24,彎曲正應力強度條件：,可解決三方面問題：,（1）強度校核，即已知檢驗梁是否安全；,（2）設計截面，即已知可由確定截面的尺寸；,（3）求許可載荷，即已知可由確定。,Mmax,梁內最大彎矩,WZ,危險截面抗彎截面模量,材料的許用應力,25,注意：,26,作彎矩圖，尋找需要校核的截面,要同時滿足,分析：,非對稱截面，要尋找中性軸位置,T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。,試校核梁的強度。,例題,MPa,160,MPa,30,=,=,c,t,s,s,27,（2）求截面對中性軸z的慣性矩,（1）求截面形心,解：,28,（4）B截面校核,（3）作彎矩圖,29,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作彎矩圖,30,5-4彎曲時的切應力,1.矩形截面梁,2.工字形截面梁,31,3.圓形、圓環形截面梁,32,梁的剪應力強度條件是：,下列情況須進行剪應力強度校核：若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩Mmax可能很小而最大剪力Fs,max卻相對較大，如果據此時的Mmax選擇截面尺寸,就不一定能滿足剪應力強度條件。對于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對于截面高度很小時，橫截面上可能產生較大的剪應力。對于木梁，它在順紋方向的抗剪能力較差，而由剪應力互等定理，在中性層上也同時有max作用，因而可能沿中性層發生剪切破壞，所以需要校核其剪應力強度條件。,33,解：畫內力圖求危面內力,例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0.9MPa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。,A,B,L=3m,34,求最大應力并校核強度,應力之比,35,5-6梁的優化設計,彎曲正應力強度條件：,在一定時，提高彎曲強度的主要途徑：,（一）、選擇合理截面,（1）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,1、根據應力分布的規律選擇：,36,（2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。,37,2、根據截面模量選擇：,為了比較各種截面的合理性，以來衡量。越大，截面越合理。,(d=h),38,3、根據材料特性選擇：,塑性材料：,宜采用中性軸為對稱軸的截面。,脆性材料：,宜采用中性軸為非對稱軸的截面，,例如T字形截面：,即使最大拉、壓應力同時達到許用應力值。,39,（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低值。,1、載荷盡量靠近支座：,40,41,2、將集中力分解為分力或均布力。,42,3、合理安排支座位置及增加支座減小跨度，減小。,43,（三）、選用合理結